Teorema de morera

In complex analysis, a branch of mathematics, Morera 's theorem, named after Giacinto Morera, gives an important criterion for proving that a function is holomorphic.

Moreira 's theorem states that a continuous, complex-valued function f defined on an open set D in the complex plane that satisfies

∮ ∮ γ γ f()z)dz=0{displaystyle oint _{gamma }f(z),dz=0}

γ γ {displaystyle gamma }

The assumption of Moreira 's theorem is equivalent to f locally having an antiderivative on D.

Lo contrario del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no necesita poseer una antiderivada en su dominio, a menos que se impongan supuestos adicionales. Lo contrario se cumple, p. si el dominio es simplemente conexo; Este es el teorema integral de Cauchy, que establece que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero.

El contraejemplo estándar es la función f(z) = 1/z, que es holomorfo en C − {0}. En cualquier vecindario U simplemente conectado en C − {0}, 1/z tiene una antiderivada definida por L(z) = ln(r) + iθ, donde z = re^iθ. Debido a la ambigüedad de θ hasta la suma de cualquier múltiplo entero de 2π, cualquier continuo la elección de θ en U será suficiente para definir una antiderivada de 1/z en U. (El hecho de que θ no pueda definirse continuamente en una curva cerrada simple que contenga el origen en su interior es la raíz de por qué 1/z no tiene antiderivada en su interior. dominio completo C − {0}.) Y debido a que la derivada de una constante aditiva es 0, se puede agregar cualquier constante a la antiderivada y el resultado seguirá siendo una antiderivada de 1/z .

En cierto sentido, el contraejemplo 1/z es universal: para cada función analítica que no tiene antiderivada en su dominio, la razón es que 1/z en sí mismo no tiene una antiderivada en C − {0}.

Prueba

There is a relatively elementary proof of the theorem. One constructs an antiderivative for <if explicitly.

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que D está conectado. Arregla un punto z₀ dentro D, y para cualquier z▪ ▪ D{displaystyle zin D}, vamos γ γ :[0,1]→ → D{displaystyle gamma:[0,1]to D} ser un poco sencillo C¹ curva tal que γ γ ()0)=z0{displaystyle gamma (0)=z_{0} y γ γ ()1)=z{displaystyle gamma (1)=z}. Luego definir la función F para ser

F()z)=∫ ∫ γ γ f()Especificaciones Especificaciones )dEspecificaciones Especificaciones .{displaystyle F(z)=int _{gamma }f(zeta),dzeta.}

Para ver que la función está bien definida, suponga τ τ :[0,1]→ → D{displaystyle tau:[0,1]to D} es otra pieza C¹ curva tal que τ τ ()0)=z0{displaystyle tau (0)=z_{0} y τ τ ()1)=z{displaystyle tau (1)=z}. La curva γ γ τ τ − − 1{displaystyle gamma tau ^{-1} (es decir, la curva que combina γ γ {displaystyle gamma } con τ τ {displaystyle tau } en el reverso) es una pieza cerrada C¹ curva D. Entonces,

∫ ∫ γ γ f()Especificaciones Especificaciones )dEspecificaciones Especificaciones +∫ ∫ τ τ − − 1f()Especificaciones Especificaciones )dEspecificaciones Especificaciones =∮ ∮ γ γ τ τ − − 1f()Especificaciones Especificaciones )dEspecificaciones Especificaciones =0.{displaystyle int _{gamma }f(zeta),dzeta +int _{tau ^{-1}}f(zeta),dzeta =oint _{gammatau ^{-1}f(zeta),dzeta =0.}

Y se deduce que

∫ ∫ γ γ f()Especificaciones Especificaciones )dEspecificaciones Especificaciones =∫ ∫ τ τ f()Especificaciones Especificaciones )dEspecificaciones Especificaciones .{displaystyle int _{gamma }f(zeta),dzeta =int _{tau }f(zeta),dzeta.}

Luego, usando la continuidad de f para estimar los cocientes de diferencias, obtenemos que F′(z) = f(z). Si hubiéramos elegido un z₀ diferente en D, F cambiaría en una constante: es decir, el resultado de integrando f a lo largo de cualquier curva regular por partes entre el nuevo z₀ y el antiguo, y esto no cambia la derivado.

Dado que f es la derivada de la función holomorfa F, es holomorfa. El hecho de que las derivadas de funciones holomorfas sean holomorfas se puede demostrar utilizando el hecho de que las funciones holomorfas son analíticas, es decir, pueden representarse mediante una serie de potencias convergentes, y el hecho de que las series de potencias pueden diferenciarse término por término. Esto completa la prueba.

Aplicaciones

Moreira 's theorem is a standard tool in complex analysis. It is used in almost any argument that involves a non-algebraic construction of a holomorphic function.

Límites uniformes

Por ejemplo, supongamos que f₁, f₂,... es una secuencia de secuencias holomorfas. funciones, convergiendo uniformemente en una función continua f en un disco abierto. Por el teorema de Cauchy, sabemos que

∮ ∮ Cfn()z)dz=0{displaystyle oint _{C}f_{n}(z),dz=0}

∮ ∮ Cf()z)dz=∮ ∮ Climn→ → JUEGO JUEGO fn()z)dz=limn→ → JUEGO JUEGO ∮ ∮ Cfn()z)dz=0{displaystyle oint _{C}f(z),dz=oint ¿Por qué?

Sumas infinitas e integrales

El teorema de Morera también se puede utilizar junto con el teorema de Fubini y la prueba M de Weierstrass para mostrar la analiticidad de funciones definidas por sumas o integrales, como la función zeta de Riemann.

Especificaciones Especificaciones ()s)=.. n=1JUEGO JUEGO 1ns{displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}{infty }{frac {1} {fn}}}

.. ()α α )=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO xα α − − 1e− − xdx.{displaystyle Gamma (alpha)=int ¿Qué?

Específicamente uno muestra que

∮ ∮ C.. ()α α )dα α =0{displaystyle oint "Gamma" =0}

∮ ∮ C.. ()α α )dα α =∮ ∮ C∫ ∫ 0JUEGO JUEGO xα α − − 1e− − xdxdα α {displaystyle oint "Gamma" ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué?

∫ ∫ 0JUEGO JUEGO ∮ ∮ Cxα α − − 1e− − xdα α dx=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO e− − x∮ ∮ Cxα α − − 1dα α dx.{displaystyle int _{0}{infty }oint ¿Por qué? -1}e^{-x},dalpha ,dx=int ¿Qué? ¿Por qué?

Entonces se usa la analiticidad de α ↦ x^α−1>span> para concluir que

∮ ∮ Cxα α − − 1dα α =0,{displaystyle oint ¿Por qué?

Debilitamiento de hipótesis

The hypothesis of Moreira 's theorem can be weakened considerably. In particular, it suffices for the integral

∮ ∮ ∂ ∂ Tf()z)dz{displaystyle oint _{partial T}f(z),dz}