Teorema de mercer

En matemáticas, específicamente en análisis funcional, el teorema de Mercer es una representación de una función definida positiva simétrica en un cuadrado como la suma de una secuencia convergente de funciones producto. Este teorema, presentado en (Mercer 1909), es uno de los resultados más notables del trabajo de James Mercer (1883-1932). Es una herramienta teórica importante en la teoría de ecuaciones integrales; se utiliza en la teoría espacial de procesos estocásticos de Hilbert, por ejemplo, el teorema de Karhunen-Loève; y también se utiliza para caracterizar un núcleo definido positivo simétrico.

Introducción

Did you mean:

To explain Mercer 's theorem, we first consider an important special case; see below for a more general formulation. A kernel, in this context, is a symmetric continuous function

K:[a,b]× × [a,b]→ → R{displaystyle K:[a,b]times [a,b]rightarrow mathbb {R}

donde simétrica significa que K()x,Sí.)=K()Sí.,x){displaystyle K(x,y)=K(y,x)} para todos x,Sí.▪ ▪ [a,b]{displaystyle x,yin [a,b].

K se dice que es positivo-definido si y solo si

.. i=1n.. j=1nK()xi,xj)cicj≥ ≥ 0{displaystyle sum - ¿Qué? ¿Qué? 0}

para todas las sucesiones finitas de puntos x₁,..., x_n de [a, b] y todas las opciones de números reales c₁,..., c_n. Tenga en cuenta que el término "definido positivo" está bien establecida en la literatura a pesar de la débil desigualdad en la definición.

Asociado a K hay un operador lineal (más específicamente, un operador integral de Hilbert-Schmidt) en funciones definidas por la integral

[TKφ φ ]()x)=∫ ∫ abK()x,s)φ φ ()s)ds.{displaystyle [T_{K}varphi ](x)=int _{a}K(x,s)varphi (s),ds.}

Para consideraciones técnicas asumimos φ φ {displaystyle varphi } puede variar a través del espacio L²[a,b] (ver espacio Lp) de funciones de valor real integrado cuadrado. Desde T_K es un operador lineal, podemos hablar de eigenvalues y eigenfunctions de T_K.

Teorema. Supongamos que K es un núcleo definido positivo simétrico continuo. Entonces hay una base ortonormal {e_i}_i de L²[a, b] que consta de funciones propias de T_K tal que la correspondiente secuencia de valores propios {λ_i}_i es no negativa. Las funciones propias correspondientes a valores propios distintos de cero son continuas en [a, b] y K tiene la representación

K()s,t)=.. j=1JUEGO JUEGO λ λ jej()s)ej()t){displaystyle K(s,t)=sum _{j=1}{infty }lambda ¿Qué?

donde la convergencia es absoluta y uniforme.

Detalles

Did you mean:

We now explain in greater detail the structure of the proof of Mercer 's theorem, particularly how it relates to spectral theory of compact operators.

• El mapa K ↦ T_K es inyectable.
• T_K es un operador compacto simétrico no negativo en L²[a,b]; más K()x, x) ≥ 0.

Para mostrar la compacidad, demuestre que la imagen de la bola unitaria de L²[a,b ] bajo T_K equicontinua y aplicar el teorema de Ascoli, para mostrar que la imagen de la bola unitaria es relativamente compacta en C([a,b]) con la norma uniforme y a fortiori en L²[a,b].

Ahora aplique el teorema espectral para operadores compactos en Hilbert espacios a T_K para mostrar la existencia de la base ortonormal {e_i}_i de L²[a,b]

λ λ iei()t)=[TKei]()t)=∫ ∫ abK()t,s)ei()s)ds.{displaystyle lambda ¿Qué?

Si λ_i ≠ 0, se ve que el vector propio (función propia) e_i es continuo en [a,b]. Ahora

.. i=1JUEGO JUEGO λ λ iSilencioei()t)ei()s)Silencio≤ ≤ Supx▪ ▪ [a,b]SilencioK()x,x)Silencio,{displaystyle sum _{i=1}{infty }lambda _{i} bendiciones_{i}(t)e_{i}(s) sufrimientoleq sup _{xin [a,b]}

lo que muestra que la secuencia

.. i=1JUEGO JUEGO λ λ iei()t)ei()s){displaystyle sum _{i=1}{infty }lambda ¿Qué?

converge absoluta y uniformemente a un kernel K₀ que se ve fácilmente para definir el mismo operador que el kernel K. Por lo tanto K=K₀ de donde se sigue el teorema de Mercer.

Finalmente, para mostrar no negativo de los eigenvalues uno puede escribir λ λ .. f,f.. =.. f,TKf.. {displaystyle lambda langle f,frangle =langle f,T_{K}frangle } y expresando el lado derecho como una integral bien aproximada por sus sumas Riemann, que no son negativas por la definición positiva K, implicando λ λ .. f,f.. ≥ ≥ 0{displaystyle lambda langle f,frangle geq 0}, implicando λ λ ≥ ≥ 0{displaystyle lambda geq 0}.

Rastrear

Lo siguiente es inmediato:

Teorema. Supongamos que K es un núcleo definido positivo simétrico continuo; T_K tiene una secuencia de no negativos valores propios {λ_i}_i. Entonces

∫ ∫ abK()t,t)dt=.. iλ λ i.{displaystyle int _{a}{b}K(t,t),dt=sum _{i}lambda _{i}

Esto muestra que el operador T_K es un operador de clase de seguimiento y

rastro⁡ ⁡ ()TK)=∫ ∫ abK()t,t)dt.{displaystyle operatorname {trace} (T_{K})=int _{a}^{b}K(t,t),dt.}

Generalizaciones

Did you mean:

Mercer 's theorem itself is a generalization of the result that any symmetric positive-semidefinite matrix is the Gramian matrix of a set of vectors.

La primera generalización reemplaza el intervalo [a, b] con cualquier espacio compacto de Hausdorff y medida de Lebesgue en [a, b] se reemplaza por una medida aditiva numerable finita μ en el álgebra de Borel de X cuyo soporte es X. Esto significa que μ(U) > 0 para cualquier subconjunto abierto no vacío U de X.

Una generalización reciente reemplaza estas condiciones por las siguientes: el conjunto X es un primer espacio topológico numerable dotado de una medida Borel (completa) μ. X es el soporte de μ y, para todo x en X, hay un conjunto abierto U que contiene x y de medida finita. Entonces esencialmente se mantiene el mismo resultado:

Teorema. Supongamos que K es un núcleo definido positivo simétrico continuo en X. Si la función κ es L¹_μ(X), donde κ(x)=K(x, x), para todo x en X, entonces hay un conjunto ortonormal {e_i}_i de L²_μ(X) que consta de funciones propias de T_K tal que correspondiente secuencia de valores propios {λ_i}_i es no negativa. Las funciones propias correspondientes a valores propios distintos de cero son continuas en X y K tiene la representación

K()s,t)=.. j=1JUEGO JUEGO λ λ jej()s)ej()t){displaystyle K(s,t)=sum _{j=1}{infty }lambda ¿Qué?

donde la convergencia es absoluta y uniforme en subconjuntos compactos de X.

La siguiente generalización se ocupa de las representaciones de núcleos medibles.

Sea (X, M, μ) un espacio de medida σ-finita. Un núcleo L² (o de integración cuadrada) en X es una función

K▪ ▪ Lμ μ ⊗ ⊗ μ μ 2()X× × X).{displaystyle Kin L_{muotimes mu }{2}(Xtimes X).}

Los núcleos

L² definen un operador acotado T_K mediante la fórmula

.. TKφ φ ,↑ ↑ .. =∫ ∫ X× × XK()Sí.,x)φ φ ()Sí.)↑ ↑ ()x)d[μ μ ⊗ ⊗ μ μ ]()Sí.,x).{displaystyle langle T_{K}varphipsi rangle =int _{Xtimes X}K(y,x)varphi (y)psi (x),d[muotimes mu ](y,x). }

T_K es un operador compacto (en realidad es incluso un operador de Hilbert-Schmidt). Si el núcleo K es simétrico, según el teorema espectral, T_K tiene una base ortonormal de vectores propios. Los vectores propios que corresponden a valores propios distintos de cero se pueden organizar en una secuencia {e_i}_i (independientemente de la separabilidad).

Teorema. Si K es un kernel definido positivo simétrico en (X, M, μ), entonces

K()Sí.,x)=.. i▪ ▪ Nλ λ iei()Sí.)ei()x){displaystyle K(y,x)=sum _{iin mathbb {N}lambda ¿Qué?

donde la convergencia en la norma L². Tenga en cuenta que cuando no se supone la continuidad del kernel, la expansión ya no converge uniformemente.

Did you mean:

Mercer 's condition

Did you mean:

In mathematics, a real-valued function K(x,y) is said to fulfill Mercer 's condition if for all square-integrable functions g(x) one has

∫ ∫ g()x)K()x,Sí.)g()Sí.)dxdSí.≥ ≥ 0.{displaystyle iint g(x)K(x,y)g(y),dx,dygeq 0.}

Analógica discreta

(feminine)

Esto es análogo a la definición de una matriz positiva-semidefinita. Esta es una matriz K{displaystyle K} de la dimensión N{displaystyle N}, que satisface, para todos los vectores g{displaystyle g}, la propiedad

()g,Kg)=gT⋅ ⋅ Kg=.. i=1N.. j=1NgiKijgj≥ ≥ 0{displaystyle (g,Kg)=g^{T}{cdot }Kg=sum ##{i=1} {N}sum ¿Por qué? 0}.

Ejemplos

Una función constante positiva

K()x,Sí.)=c{displaystyle K(x,y)=c,}

satisface la condición de Mercer, ya que entonces la integral se vuelve por el teorema de Fubini

∫ ∫ g()x)cg()Sí.)dxdSí.=c∫ ∫ g()x)dx∫ ∫ g()Sí.)dSí.=c()∫ ∫ g()x)dx)2{displaystyle iint g(x),c,g(y),dxdy=cint !g(x),dxint !g(y),dy=cleft(int !g(x),dxright)^{2}

que de hecho no es negativo.