Teorema de maxwell
En teoría de probabilidad, Teorema de Maxwell (conocido también como Teorema de Herschel-Maxwell y La derivación de Herschel-Maxwell) afirma que si la distribución de probabilidad de un vector aleatorio en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} no cambia por rotaciones, y si los componentes son independientes, los componentes se distribuyen de forma idéntica y se distribuyen normalmente.
Declaraciones equivalentes
Si la distribución de probabilidad de una variable aleatoria vectorial X = (X1,..., Xn)T es la misma que la distribución de GX para toda matriz ortogonal n×n G y las componentes son independientes, entonces las componentes X1,..., Xn se distribuyen normalmente con valor esperado 0 y todos tienen la misma varianza. Este teorema es una de las muchas caracterizaciones de la distribución normal.
Las únicas distribuciones de probabilidad rotacionalmente invariantes en Rn que tienen componentes independientes son distribuciones normales multivariadas con valor esperado 0 y varianza σ2In, (donde I n = la matriz identidad n×n), para algún número positivo σ 2.
Historia
James Clerk Maxwell demostró el teorema en la Proposición IV de su artículo de 1860.
Diez años antes, John Herschel también demostró el teorema.
Los detalles lógicos e históricos del teorema se pueden encontrar en.
Prueba
Solo necesitamos probar el teorema para el caso bidimensional, ya que luego podemos generalizarlo a n dimensiones aplicando el teorema secuencialmente a cada par de coordenadas.
Desde la rotación de 90 grados preserva la distribución conjunta, ambos X1,X2{displaystyle X_{1},X_{2} tiene la misma medida de probabilidad. Que sea μ μ {displaystyle mu }. Si μ μ {displaystyle mu } es una distribución delta Dirac a cero, entonces es una distribución gaussiana, simplemente degenerada. Ahora asume que no lo es.
Por el teorema de descomposición de Lebesgue, lo descomponemos a una suma de medida regular y una medida atómica: μ μ =μ μ r+μ μ s{displaystyle mu =mu _{r}+mu ¿Qué?. Tenemos que demostrarlo. μ μ s=0{displaystyle mu _{s}=0}, con una prueba por contradicción.
Suppose μ μ s{displaystyle mu _{s}} contiene una parte atómica, entonces existe x▪ ▪ R{displaystyle xin mathbb {R} tales que 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">μ μ s(){}x})■0{displaystyle mu _{s}({x})} {fnMicrosoft}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e71e8c439e615cd2c1c897a5db4a95dde72045" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.13ex; height:2.843ex;"/>. Por independencia X1,X2{displaystyle X_{1},X_{2}, la variable condicional X2Silencio{}X1=x}{displaystyle ¡Oh! se distribuye de la misma manera que X2{displaystyle X_{2}. Suppose x=0{displaystyle x=0}, entonces desde que asumimos μ μ {displaystyle mu } no se concentra en cero, 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Pr()X2ل ل 0)■0{displaystyle Pr(X_{2}neq 0) título0}
0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf89311d062513d555042d6adf4f33e15205fe2" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.104ex; height:2.843ex;"/>, y así el doble rayo {}()x1,x2):x1=0,x2ل ل 0}{displaystyle {(x_{1},x_{2}:x_{1}=0,x_{2}neq. tiene probabilidad no cero. Ahora por simetría rotacional μ μ × × μ μ {displaystyle mu times mu}, cualquier rotación del doble rayo también tiene la misma probabilidad no cero, y ya que hay dos rotaciones descomunadas, su unión tiene una probabilidad infinita, contradicción.
(En cuanto podemos encontrar, no hay literatura sobre el caso donde μ μ s{displaystyle mu _{s}} es singularmente continuo, así que vamos a dejar ir ese caso.)
Así que ahora μ μ {displaystyle mu } tienen función de densidad de probabilidad *** *** {displaystyle rho }, y el problema se reduce a la solución de la ecuación funcional
Enlaces externos
- Teorema de Maxwell en un video por 3blue1brown