Teorema de los números primos

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Este artículo utiliza notación matemática técnica para los logaritmos. Todas las instancias de registro(x) sin una base de subscript debe ser interpretado como un logaritmo natural, comúnmente notado como ln(x) o log_e()x).

En matemáticas, el teorema de los números primos (PNT) describe la distribución asintótica de los números primos entre los enteros positivos. Formaliza la idea intuitiva de que los primos se vuelven menos comunes a medida que se hacen más grandes al cuantificar con precisión la velocidad a la que esto ocurre. El teorema fue demostrado de forma independiente por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée Poussin en 1896 utilizando ideas introducidas por Bernhard Riemann (en particular, la función zeta de Riemann).

La primera distribución de este tipo encontrada es $π (N) ~ N / log(N)$ , donde $π (N)$ es el función de conteo de números primos (el número de números primos menores o iguales a N) y $log(N)$ es la función natural logaritmo de $N$ . Esto significa que para $N$ lo suficientemente grande, la probabilidad de que un número entero aleatorio no sea mayor que $N$ es primo está muy cerca de $1 / log(N)$ . En consecuencia, un número entero aleatorio con un máximo de $2 n$ dígitos (para un $n$ ) tiene aproximadamente la mitad de probabilidades de ser primo que un entero aleatorio con un máximo de $n$ dígitos. Por ejemplo, entre los enteros positivos de 1000 dígitos como máximo, aproximadamente uno en 2300 es primo ( $log(10 1000) \approx 2302.6$ ), mientras que entre enteros positivos de 2000 dígitos como máximo, aproximadamente uno en 4600 es primo ( $log(10 2000) \approx 4605.2$ ). En otras palabras, la brecha promedio entre números primos consecutivos entre los primeros $N$ enteros es aproximadamente $log (N)$ .

Declaración

Gráfico de la relación de la función de venta anticipada $π () x)$ a dos de sus aproximaciones, $x / log x$ y $Li(x)$ . As $x$ aumentos (nota $x$ axis es logarítmico), ambos ratios tienden hacia 1. La relación entre $x / log x$ converge de arriba muy lentamente, mientras que la relación para $Li(x)$ converge más rápidamente desde abajo.

Parcela de registro mostrando error absoluto $x / log x$ y $Li(x)$ , dos aproximaciones a la función de venta anticipada $π () x)$ . A diferencia de la relación, la diferencia entre $π () x)$ y $x / log x$ aumentos sin límites $x$ aumenta. Por otro lado, $Li(x) - π () x)$ los interruptores firman infinitamente muchas veces.

Sea $π (x)$ la función de conteo de primos definida como el número de primos menor que o igual a $x$ , para cualquier número real $x$ . Por ejemplo, $π (10) = 4$ porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales que 10. El teorema de los números primos establece que $x / log x$ es una buena aproximación a $π (x)$ (donde log aquí significa el logaritmo natural), en el sentido de que el límite del cociente del dos funciones $π (x)$ y $x / log x$ a medida que $x$ aumenta sin límite es 1:

${displaystyle lim _{xto infty }{frac {;pi (x);}{;left[{frac {x}{log(x)}right];}=1,} {fnMientras no lo sé.$

conocida como la ley asintótica de la distribución de los números primos. Usando notación asintótica, este resultado se puede reformular como

${displaystyle pi (x)sim {frac {x}{log x}}}$

Esta notación (y el teorema) no dice nada sobre el límite de la diferencia de las dos funciones como $x$ aumenta sin límite. En cambio, el teorema establece que $x / log x$ se aproxima a $π(x)$ en el sentido de que el error relativo de esta aproximación se aproxima a 0 cuando $x$ aumenta sin límite.

El teorema de los números primos es equivalente a afirmar que el $n$ ésimo número primo $p n$ satisface

${displaystyle p_{n}sim nlog(n),}$

la notación asintótica significa, de nuevo, que el error relativo de esta aproximación se aproxima a 0 cuando $n$ aumenta sin límites. Por ejemplo, 2×10¹⁷el número primo es 8512677386048191063, y (2×10¹⁷)log(2×10¹⁷) se redondea a 7967418752 291744388, un pariente error de alrededor del 6,4%.

Por otro lado, las siguientes relaciones asintóticas son lógicamente equivalentes:

${displaystyle {begin{aligned}lim {xgnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros {pi (x)log pi (x)}{x}} {=1.end{aligned}}}}}}$

Como se describe a continuación, el teorema de los números primos también es equivalente a

${displaystyle lim _{xto infty }{frac {vartheta (x)}{x}=lim _{xto infty }{frac {psi (x)}{x}=1,}$

donde $ϑ$ y $ψ son la primera y la segunda funciones de Chebyshev respectivamente, y para$

${displaystyle lim _{xto infty}{frac {M(x}{x}=0,}$

Donde ${displaystyle M(x)=sum _{nleq x}mu (n)}$ es la función Mertens.

Historia de la demostración de la ley asintótica de los números primos

Basándose en las tablas de Anton Felkel y Jurij Vega, Adrien-Marie Legendre conjeturó en 1797 o 1798 que $π (a)$ se aproxima mediante la función $a / (A log a + B)$ , donde $A$ y $B$ son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro sobre teoría de números (1808), hizo una conjetura más precisa, con $A = 1$ y $B = -1.08366$ . Carl Friedrich Gauss consideró la misma pregunta a los 15 o 16 años 'en el año 1792 o 1793', según sus propios recuerdos en 1849. En 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ideó su propia función de aproximación, el logarítmico integral $li(x)$ (bajo la forma ligeramente diferente de una serie, que le comunicó a Gauss). Tanto la fórmula de Legendre como la de Dirichlet implican la misma equivalencia asintótica conjeturada de $π (x)$ y $x / log(x)$ indicados anteriormente, aunque resultó que la aproximación de Dirichlet es considerablemente mejor si uno considera las diferencias en lugar de los cocientes.

En dos artículos de 1848 y 1850, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev intentó probar la ley asintótica de la distribución de los números primos. Su trabajo se destaca por el uso de la función zeta $ζ (s)$ , para valores reales del argumento &# 34; $s$ ", como en las obras de Leonhard Euler, ya en 1737. Los documentos de Chebyshev son anteriores Las célebres memorias de Riemann de 1859, y logró demostrar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite es $x$ va al infinito de $π (x) / (x / log(x))$ existe en absoluto, entonces es necesariamente igual a uno. Pudo demostrar incondicionalmente que esta relación está limitada por arriba y por abajo por dos constantes dadas explícitamente cerca de 1, para todas las $x$ suficientemente grandes.. Aunque el artículo de Chebyshev no probó el teorema de los números primos, sus estimaciones para $π (x)$ fueron sólidas. suficiente para probar el postulado de Bertrand de que existe un número primo entre $n$ y $2 n$ para cualquier entero $n \geq 2$ .

Un artículo importante sobre la distribución de los números primos fue el libro de memorias de Riemann de 1859 "Sobre el número de primos menores que una magnitud dada", el único artículo que escribió sobre el tema. Riemann introdujo nuevas ideas en el tema, principalmente que la distribución de números primos está íntimamente relacionada con los ceros de la función zeta de Riemann analíticamente ampliada de una variable compleja. En particular, es en este trabajo que la idea de aplicar métodos de análisis complejo al estudio de la función real $π (x)$ se origina. Ampliando las ideas de Riemann, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée Poussin encontraron de forma independiente dos pruebas de la ley asintótica de la distribución de los números primos y aparecieron en el mismo año (1896). Ambas pruebas utilizaron métodos de análisis complejo, estableciendo como paso principal de la prueba que la función zeta de Riemann $ζ (s)$ es distinto de cero para todos los valores complejos de la variable $s$ que tienen la forma $s = 1 + eso$ con $t > 0$ .

Durante el siglo XX, el teorema de Hadamard y de la Vallée Poussin también se conoció como el teorema de los números primos. Se encontraron varias pruebas diferentes, incluida la "elemental" pruebas de Atle Selberg y Paul Erdős (1949). Las demostraciones originales de Hadamard y de la Vallée Poussin son largas y elaboradas; las pruebas posteriores introdujeron varias simplificaciones mediante el uso de teoremas de Tauber, pero siguieron siendo difíciles de digerir. Una prueba breve fue descubierta en 1980 por el matemático estadounidense Donald J. Newman. Podría decirse que la prueba de Newman es la prueba conocida más simple del teorema, aunque no es elemental en el sentido de que utiliza el teorema integral de Cauchy de un análisis complejo.

Boceto de prueba

Aquí hay un bosquejo de la prueba a la que se hace referencia en una de las conferencias de Terence Tao. Como la mayoría de las pruebas del PNT, comienza reformulando el problema en términos de una función de conteo de primos menos intuitiva, pero de mejor comportamiento. La idea es contar los números primos (o un conjunto relacionado, como el conjunto de potencias principales) con pesos para llegar a una función con un comportamiento asintótico más suave. La función de conteo generalizada más común es la función Chebyshev $ψ (x)$ , definida por

${displaystyle psi (x)=!!!sum _{stackrel {p^{k}leq x,} {p{text{ is prime}}!!!!log p;.}$

Esto a veces se escribe como

${displaystyle psi (x)=sum _{nleq x}Lambda (n);,}$

donde $Λ (n)$ es la función de von Mangoldt, a saber

${displaystyle Lambda (n)={begin{cases}log p reducida{text{ if }n=p^{k}{text{ for some prime }p{text{ and integer }kgeq 1,$

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