Teorema de Liouville (Hamiltoniano)

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Resultado clave en mecánica Hamiltoniana y mecánica estadística

En física, el teorema de Liouville, llamado así por el matemático francés Joseph Liouville, es un teorema clave en la estadística clásica y la mecánica hamiltoniana. Afirma que la función de distribución del espacio de fase es constante a lo largo de las trayectorias del sistema, es decir, que la densidad de los puntos del sistema en la vecindad de un punto del sistema dado que viaja a través del espacio de fase es constante con el tiempo.. Esta densidad independiente del tiempo se conoce en mecánica estadística como la probabilidad a priori clásica.

Did you mean:

There are related mathematical results in symplectic topology and ergodic theory; systems obeying Liouville 's theorem are examples of incompressible dynamical systems.

Did you mean:

There are extensions of Liouville 's theorem to stochastic systems.

Ecuación de Liouville

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fase (top). Cada sistema consiste en una partícula masiva en un pozo potencial único (curva roja, figura inferior). Mientras que el movimiento de un miembro individual del conjunto es dado por las ecuaciones de Hamilton, la ecuación de Liouville describe el flujo de toda la distribución. El movimiento es análogo a un tinte en un líquido incompresible.

La ecuación de Liouville describe la evolución del tiempo función de distribución espacial. Aunque la ecuación se conoce generalmente como la "ecuación de Liouville", Josiah Willard Gibbs fue el primero en reconocer la importancia de esta ecuación como la ecuación fundamental de la mecánica estadística. Se conoce como la ecuación de Liouville porque su derivación para sistemas no canónicos utiliza una identidad primero derivada de Liouville en 1838. Considere un sistema dinámico Hamiltoniano con coordenadas canónicas $q_{i}$ and conjugate momenta $p_{i}$ , donde $i=1,dotsn$ . Luego la distribución espacial de fase $rho(p,q)$ determina la probabilidad ${displaystyle rho (p,q);mathrm {d} ^{n}q,mathrm {d} ^{n}p}$ que el sistema se encontrará en el volumen espacial fase infinitesimal ${displaystyle mathrm {d} ^{n}q,mathrm {d} ^{n}p}$ . El Ecuación de Liouville gobierna la evolución de $rho(p,q;t)$ en el tiempo $t$ :

frac{drho}{dt}= frac{partialrho}{partial t} +sum_{i=1}^nleft(frac{partialrho}{partial q_i}dot{q}_i +frac{partialrho}{partial p_i}dot{p}_iright)=0.

Las derivadas temporales se indican con puntos y se evalúan de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton para el sistema. Esta ecuación demuestra la conservación de la densidad en el espacio de fase (que era el nombre de Gibbs para el teorema). El teorema de Liouville establece que

La función de distribución es constante a lo largo de cualquier trayectoria en el espacio de fase.

Una prueba del teorema de Liouville utiliza el teorema de divergencia n-dimensional. Esta prueba se basa en el hecho de que la evolución $rho$ obedece a un 2n- versión dimensional de la ecuación de continuidad:

frac{partialrho}{partial t}+sum_{i=1}^nleft(frac{partial(rhodot{q}_i)}{partial q_i}+frac{partial(rhodot{p}_i)}{partial p_i}right)=0.

Es decir, el 3-tuple $(rho, rhodot{q}_i,rhodot{p}_i)$ es una corriente conservada. Observe que la diferencia entre esto y la ecuación de Liouville son los términos

rhosum_{i=1}^nleft( frac{partialdot{q}_i}{partial q_i} +frac{partialdot{p}_i}{partial p_i}right) =rhosum_{i=1}^nleft( frac{partial^2 H}{partial q_i,partial p_i} -frac{partial^2 H}{partial p_i partial q_i}right)=0,

Donde $H$ es el Hamiltonian, y las ecuaciones de Hamilton así como la conservación del Hamiltonian a lo largo del flujo se han utilizado. Es decir, viendo el movimiento a través del espacio de fase como un "fluido" de puntos del sistema, el teorema que el derivado convectivo de la densidad, $d rho/dt$ , es cero sigue de la ecuación de continuidad notando que el campo de la 'velocity ' $(dot p dot q)$ en el espacio de fase tiene cero divergencia (que sigue de las relaciones de Hamilton).

Otra ilustración es considerar la trayectoria de una nube de puntos a través del espacio de fase. Es sencillo mostrar que a medida que la nube se extiende en una coordenadas – $p_{i}$ decir – se encoge en el correspondiente $q^i$ dirección para que el producto $Delta p_i , Delta q^i$ permanece constante.

Otras formulaciones

Corchete Poisson

El teorema anterior a menudo se reformula en términos del corchete de Poisson como

frac{partialrho}{partial t}=-{,rho,H,}

o, en términos del operador lineal Liouville o Liouvillian,

{displaystyle mathrm {i} {widehat {mathbf {L} }}=sum _{i=1}^{n}left[{frac {partial H}{partial p_{i}}}{frac {partial }{partial q^{i}}}-{frac {partial H}{partial q^{i}}}{frac {partial }{partial p_{i}}}right]={bulletH}}

como

{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}+{mathrm {i} {widehat {mathbf {L} }}}rho =0.}

Teoría ergódica

En la teoría ergódica y los sistemas dinámicos, motivados por las consideraciones físicas dadas hasta ahora, existe un resultado correspondiente también denominado teorema de Liouville. En la mecánica hamiltoniana, el espacio de fase es una variedad suave que viene naturalmente equipada con una medida suave (localmente, esta medida es la medida de Lebesgue de 6n dimensiones). El teorema dice que esta medida suave es invariante bajo el flujo hamiltoniano. De manera más general, se puede describir la condición necesaria y suficiente bajo la cual una medida suave es invariante bajo un flujo. El caso hamiltoniano se convierte entonces en un corolario.

Geometría simpléctica

También podemos formular el teorema de Liouville en términos de geometría simpléctica. Para un sistema dado, podemos considerar el espacio de fase ${displaystyle (q^{mu },p_{mu })}$ de un particular Hamiltonian $H$ como un manifold $(M,omega)$ dotada de una forma simple 2

{displaystyle omega =dp_{mu }wedge dq^{mu }.}

La forma de volumen de nuestra variedad es la potencia exterior superior de la forma simpléctica de 2, y es solo otra representación de la medida en el espacio de fase descrito anteriormente.

En nuestro múltiple espacio de fase podemos definir un campo vectorial Hamiltoniano generado por una función ${displaystyle f(q,p)}$ como

{displaystyle X_{f}={frac {partial f}{partial p_{mu }}}{frac {partial }{partial q^{mu }}}-{frac {partial f}{partial q^{mu }}}{frac {partial }{partial p_{mu }}}.}

Específicamente, cuando la función generadora es la misma Hamiltoniana, ${displaystyle f(q,p)=H}$ , tenemos

{displaystyle X_{H}={frac {partial H}{partial p_{mu }}}{frac {partial }{partial q^{mu }}}-{frac {partial H}{partial q^{mu }}}{frac {partial }{partial p_{mu }}}={frac {dq^{mu }}{dt}}{frac {partial }{partial q^{mu }}}+{frac {dp^{mu }}{dt}}{frac {partial }{partial p_{mu }}}={frac {d}{dt}}}

Did you mean:

where we utilized Hamilton 's equations of motion and the definition of the chain rule.

En este formalismo, el Teorema de Liouville afirma que el derivado de Lie del volumen es cero a lo largo del flujo generado por el $X_{H}$ . Es decir, $(M,omega)$ un manifold symplectic de 2n dimensiones,

{displaystyle {mathcal {L}}_{X_{H}}(omega ^{n})=0.}

De hecho, la estructura simpléctica $omega$ en sí se conserva, no sólo su potencia exterior superior. Es decir, el teorema de Liouville también da

{displaystyle {mathcal {L}}_{X_{H}}(omega)=0.}

Ecuación cuántica de Liouville

El análogo de la ecuación de Liouville en la mecánica cuántica describe la evolución temporal de un estado mixto. La cuantización canónica produce una versión mecánica cuántica de este teorema, la ecuación de von Neumann. Este procedimiento, a menudo utilizado para diseñar análogos cuánticos de sistemas clásicos, implica describir un sistema clásico utilizando la mecánica hamiltoniana. Luego, las variables clásicas se reinterpretan como operadores cuánticos, mientras que los corchetes de Poisson se reemplazan por conmutadores. En este caso, la ecuación resultante es

{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}={frac {1}{ihbar }}[H,rho ],}

donde ρ es la matriz de densidad.

Did you mean:

When applied to the expectation value of an observable, the corresponding equation is given by Ehrenfest 's theorem, and takes the form

{displaystyle {frac {d}{dt}}langle Arangle =-{frac {1}{ihbar }}langle [H,A]rangle}

Donde $A$ es un observable. Tenga en cuenta la diferencia de signo, que se deriva de la suposición de que el operador es estacionario y el estado es dependiente del tiempo.

En la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica, la sustitución de los corchetes de Poisson por los corchetes de Moyal en el análogo del espacio de fase de la ecuación de von Neumann da como resultado la compresibilidad del fluido de probabilidad y, por lo tanto, violaciones de la incompresibilidad del teorema de Liouville.. Esto, entonces, conduce a dificultades concomitantes para definir trayectorias cuánticas significativas.

Ejemplos

Volumen de espacio de fase SHO

La evolución del tiempo del espacio de fase para el simple oscilador armónico (SHO). Aquí hemos tomado ${displaystyle m=omega =1}$ y están considerando la región ${displaystyle p,qin [-1,1]}$ .

Considerar un $N$ - sistema de partículas en tres dimensiones, y centrarse en sólo la evolución de ${displaystyle mathrm {d} {mathcal {N}}}$ partículas. Dentro del espacio de fase, estos ${displaystyle mathrm {d} {mathcal {N}}}$ partículas ocupan un volumen infinitesimal dado por

{displaystyle mathrm {d} Gamma =displaystyle prod _{i=1}^{N}d^{3}p_{i}d^{3}q_{i}.}

Queremos ${displaystyle {frac {mathrm {d} {mathcal {N}}}{mathrm {d} Gamma }}}$ permanecer lo mismo a lo largo del tiempo, de modo que ${displaystyle rho (Gammat)}$ es constante a lo largo de las trayectorias del sistema. Si permitimos que nuestras partículas evolucionen por un paso del tiempo infinitesimal $delta t$ , vemos que cada fase de partículas cambia la ubicación del espacio

{displaystyle {begin{cases}q_{i}'=q_{i}+{dot {q_{i}}}delta t,\p_{i}'=p_{i}+{dot {p_{i}}}delta t,end{cases}}}

Donde ${dot {q_{i}}}$ y ${displaystyle {dot {p_{i}}}}$ denota ${displaystyle {frac {dq_{i}}{dt}}}$ y ${displaystyle {frac {dp_{i}}{dt}}}$ respectivamente, y sólo hemos mantenido los términos lineales en $delta t$ . Extender esto a nuestra hipercubina infinitesimal ${displaystyle mathrm {d} Gamma }$ , las longitudes laterales cambian como

{displaystyle {begin{cases}dq_{i}'=dq_{i}+{frac {partial {dot {q_{i}}}}{partial q_{i}}}dq_{i}delta t,\dp_{i}'=dp_{i}+{frac {partial {dot {p_{i}}}}{partial p_{i}}}dp_{i}delta t.end{cases}}}

Para encontrar el nuevo volumen de fase-espacio infinitesimal ${displaystyle mathrm {d} Gamma '}$ , necesitamos el producto de las cantidades anteriores. Para el primer orden $delta t$ , obtenemos lo siguiente:

{displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}left[1+left({frac {partial {dot {q_{i}}}}{partial q_{i}}}+{frac {partial {dot {p_{i}}}}{partial p_{i}}}right)delta tright].}

Hasta ahora, todavía no hemos hecho ninguna especificaciones sobre nuestro sistema. Vamos a especializarnos ahora en el caso de $N$ $3$ - osciladores armónicos isotrópicos dimensionales. Es decir, cada partícula en nuestro conjunto puede ser tratada como un simple oscilador armónico. El Hamiltonian para este sistema es dado por

{displaystyle H=displaystyle sum _{i=1}^{3N}left({frac {1}{2m}}p_{i}^{2}+{frac {momega ^{2}}{2}}q_{i}^{2}right).}

Did you mean:

By using Hamilton 's equations with the above Hamiltonian we find that the term in parentheses above is identically zero, thus yielding

{displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}.}

De esto podemos encontrar el volumen infinitesimal del espacio de fase:

{displaystyle mathrm {d} Gamma '=displaystyle prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=mathrm {d} Gamma.}

Por lo tanto, finalmente hemos encontrado que el volumen del espacio de fase infinitesimal no cambia, lo que produce

{displaystyle rho (Gamma ',t+delta t)={frac {mathrm {d} {mathcal {N}}}{mathrm {d} Gamma '}}={frac {mathrm {d} {mathcal {N}}}{mathrm {d} Gamma }}=rho (Gammat),}

Did you mean:

demonstrating that Liouville 's theorem holds for this system.

La pregunta sigue siendo cómo el volumen de fase-espacio evoluciona realmente en el tiempo. Por encima hemos demostrado que el volumen total es conservado, pero no dijo nada sobre lo que parece. Para una sola partícula podemos ver que su trayectoria en el espacio de fase es dada por la elipse de constante $H$ . Explícitamente, uno puede resolver las ecuaciones de Hamilton para el sistema y encontrar

{displaystyle {begin{aligned}q_{i}(t)&=Q_{i}cos {omega t}+{frac {P_{i}}{momega }}sin {omega t},\p_{i}(t)&=P_{i}cos {omega t}-momega Q_{i}sin {omega t},end{aligned}}}

Donde $Q_{i}$ y $P_{i}$ denota la posición inicial y el impulso de la $i$ - la partícula. Para un sistema de múltiples partículas, cada una tendrá una trayectoria espacial que rastrea una elipse correspondiente a la energía de la partícula. La frecuencia en la que se rastrea la elipse es dada por la $omega$ in the Hamiltonian, independent of any differences in energy. Como resultado, una región de espacio de fase simplemente girará sobre el punto ${displaystyle (mathbf {q}mathbf {p})=(0,0)}$ con frecuencia dependiente $omega$ . Esto se puede ver en la animación anterior.

Oscilador armónico amortiguado

La evolución del volumen de fase-espacio para el oscilador armónico húmedo. Los mismos valores de los parámetros se utilizan como en el caso SHO, con ${displaystyle gamma =0.5 (alpha =0.25)}$ .

Una de las suposiciones fundamentales del teorema de Liouville es que el sistema obedece la conservación de la energía. En el contexto del espacio de fase, es decir, $rho$ es constante en superficies espacio-fase de energía constante $E$ . Si rompemos este requisito considerando un sistema en el que la energía no se conserva, encontramos que $rho$ tampoco es constante.

Como ejemplo de esto, considere nuevamente el sistema $N$ partículas cada una en $3$ - potencial armónico isotrópico dimensional, el Hamiltoniano para el cual se da en el ejemplo anterior. Esta vez, agregamos la condición de que cada partícula experimenta una fuerza friccional. Como esta es una fuerza no conservadora, necesitamos extender las ecuaciones de Hamilton como

{displaystyle {begin{aligned}{dot {q_{i}}}&={frac {partial H}{partial p_{i}}},\{dot {p_{i}}}&=-{frac {partial H}{partial q_{i}}}-gamma p_{i},end{aligned}}}

Donde $gamma$ es una constante positiva dictando la cantidad de fricción. Siguiendo un procedimiento muy similar al caso de oscilador armónico sin trabas, llegamos de nuevo a

{displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}left[1+left({frac {partial {dot {q_{i}}}}{partial q_{i}}}+{frac {partial {dot {p_{i}}}}{partial p_{i}}}right)delta tright].}

Did you mean:

Plugging in our modified Hamilton 's equations, we find

{displaystyle {begin{aligned}dq_{i}'dp_{i}'&=dq_{i}dp_{i}left[1+left({frac {partial ^{2}H}{partial q_{i}partial p_{i}}}-{frac {partial ^{2}H}{partial p_{i}partial q_{i}}}-gamma right)delta tright],\&=dq_{i}dp_{i}left[1-gamma delta tright].end{aligned}}}

Calculando nuestro nuevo volumen de espacio fase infinitesimal, y manteniendo sólo el primer orden $delta t$ encontramos el siguiente resultado:

{displaystyle mathrm {d} Gamma '=displaystyle prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=left[1-gamma delta tright]^{3N}prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=mathrm {d} Gamma left[1-3Ngamma delta tright].}

Hemos descubierto que el volumen del espacio de fase infinitesimal ya no es constante y, por lo tanto, la densidad del espacio de fase no se conserva. Como se puede ver en la ecuación, a medida que aumenta el tiempo, esperamos que nuestro volumen de espacio de fase disminuya a cero a medida que la fricción afecta al sistema.

En cuanto a cómo el volumen de fase-espacio evoluciona en el tiempo, todavía tendremos la rotación constante como en el caso sin mancha. Sin embargo, el amortiguamiento introducirá una disminución constante en los radios de cada elipse. De nuevo podemos resolver para las trayectorias explícitamente utilizando las ecuaciones de Hamilton, cuidando de usar las modificadas anteriores. Letting ${displaystyle alpha equiv {frac {gamma }{2}}}$ para comodidad, encontramos

{displaystyle {begin{aligned}q_{i}(t)&=e^{-alpha t}left[Q_{i}cos {omega _{1}t}+B_{i}sin {omega _{1}t}right]&&omega _{1}equiv {sqrt {omega ^{2}-alpha ^{2}}},\p_{i}(t)&=e^{-alpha t}left[P_{i}cos {omega _{1}t}-m(omega _{1}Q_{i}+2alpha B_{i})sin {omega _{1}t}right]&&B_{i}equiv {frac {1}{omega _{1}}}left({frac {P_{i}}{m}}+2alpha Q_{i}right),end{aligned}}}

donde los valores $Q_{i}$ y $P_{i}$ denota la posición inicial y el impulso de la $i$ - la partícula. A medida que el sistema evoluciona el volumen total del espacio-fase en espiral hacia el origen. Esto se puede ver en la figura anterior.

Observaciones

La ecuación Liouville es válida tanto para sistemas de equilibrio como para sistemas de noquilibrio. Es una ecuación fundamental de la mecánica estadística de no equilibrio.
La ecuación de Liouville es parte integral de la prueba del teorema de fluctuación de la que puede derivarse la segunda ley de la termodinámica. También es el componente clave de la derivación de las relaciones entre Green-Kubo para los coeficientes de transporte lineal, como la viscosidad, la conductividad térmica o la conductividad eléctrica.
Prácticamente cualquier libro de texto sobre mecánica Hamiltoniana, mecánica estadística avanzada, o geometría simpática derivará el teorema de Liouville.

Contenido relacionado

Más resultados...