Teorema de Liouville (análisis complejo)

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Teorema en análisis complejo

En análisis complejos, Teorema de Liouville, nombrado por Joseph Liouville (aunque el teorema fue probado por primera vez por Cauchy en 1844), afirma que cada función entera ligada debe ser constante. Es decir, cada función holomorfa $f$ para el cual existe un número positivo $M$ tales que $|f(z)|leq M$ para todos ${displaystyle zin mathbb {C} }$ es constante. Funciones holomorfológicas no constantes en $mathbb{C}$ tienen imágenes sin límites.

Did you mean:

The theorem is considerably improved by Picard 's little theorem, which says that every entire function whose image omits two or more complex numbers must be constant.

Prueba

Este importante teorema tiene varias demostraciones.

Una prueba analítica estándar utiliza el hecho de que las funciones holomorfas son analíticas.

Prueba

Si $f$ es una función completa, puede ser representado por su Taylor series sobre 0:

$f(z)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}z^{k}$

donde (por la fórmula integral de Cauchy)

${displaystyle a_{k}={frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 over 2pi i}oint _{C_{r}}{frac {f(zeta)}{zeta ^{k+1}}},dzeta }$

y $C_{r}$ es el círculo alrededor de 0 de radio $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ . Suppose $f$ está atado: i.e. existe una constante $M$ tales que ${displaystyle |f(z)|leq M}$ para todos $z$ . Podemos estimar directamente

${displaystyle |a_{k}|leq {frac {1}{2pi }}oint _{C_{r}}{frac {|f(zeta)|}{|zeta |^{k+1}}},|dzeta |leq {frac {1}{2pi }}oint _{C_{r}}{frac {M}{r^{k+1}}},|dzeta |={frac {M}{2pi r^{k+1}}}oint _{C_{r}}|dzeta |={frac {M}{2pi r^{k+1}}}2pi r={frac {M}{r^{k}}},}$

donde en la segunda desigualdad hemos utilizado el hecho de que ${displaystyle |z|=r}$ sobre el círculo $C_{r}$ . Pero la elección de $r$ in the above is an arbitrary positive number. Por lo tanto, dejando $r$ tienden al infinito (dejemos $r$ tienden a infinito desde $f$ es analytic en todo el plano) da $a_{k}=0$ para todos $kgeq 1$ . Así ${displaystyle f(z)=a_{0}}$ y esto prueba el teorema.

Otra prueba utiliza la propiedad del valor medio de las funciones armónicas.

Prueba

Dados dos puntos, elija dos bolas con los puntos dados como centros y de igual radio. Si el radio es lo suficientemente grande, las dos bolas coincidirán excepto por una proporción arbitrariamente pequeña de su volumen. Desde $f$ está atado, los promedios de él sobre las dos bolas son arbitrariamente cercanos, y así $f$ asume el mismo valor en cualquier dos puntos.

La prueba se puede adaptar al caso en que la función armónica $f$ se limita arriba o abajo. Ver el teorema de la función armónica#Liouville.

Corolarios

Teorema fundamental del álgebra

Showing translation for

There is a short proof of the fundamental theorem of algebra based upon Liouville 's theorem.

Ninguna función completa domina a otra función completa

Una consecuencia del teorema es que las funciones enteras "genuamente diferentes" no pueden dominarse entre sí, es decir, si $f$ y $g$ son completos, y ${displaystyle |f|leq |g|}$ en todas partes, entonces ${displaystyle f=alpha g}$ para un número complejo $alpha$ . Considerar eso $g=0$ el teorema es trivial así que asumimos ${displaystyle gneq 0}$ . Considerar la función ${displaystyle h=f/g}$ . Es suficiente para probar que $h$ se puede ampliar a toda una función, en cuyo caso el resultado sigue por el teorema de Liouville. La holomorfa de $h$ está claro excepto en puntos $g^{{-1}}(0)$ . Pero... $h$ está atado y todos los ceros de $g$ están aislados, cualquier singularidad debe ser extraíble. Así $h$ puede extenderse a toda una función ligada que por el teorema de Liouville implica que es constante.

Si f es menor o igual que un escalar multiplicado por su entrada, entonces es lineal

Supongamos que $f$ es entera y ${displaystyle |f(z)|leq M|z|}$ , para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M■0{displaystyle M confidencial0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f423ab77b3411ec2803520a07c0dfae6ceb826" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.703ex; height:2.176ex;"/>$ . Podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy; tenemos eso

{displaystyle |f'(z)|={frac {1}{2pi }}left|oint _{C_{r}}{frac {f(zeta)}{(zeta -z)^{2}}}dzeta right|leq {frac {1}{2pi }}oint _{C_{r}}{frac {|f(zeta)|}{left|(zeta -z)^{2}right|}}|dzeta |leq {frac {1}{2pi }}oint _{C_{r}}{frac {M|zeta |}{left|(zeta -z)^{2}right|}}left|dzeta right|={frac {MI}{2pi }}}

Donde $I$ es el valor del resto integral. Esto demuestra que $f$ está atado y completo, así que debe ser constante, por el teorema de Liouville. Integrar entonces muestra que $f$ es afine y luego, al referirse a la desigualdad original, tenemos que el término constante es cero.

Las funciones elípticas no constantes no se pueden definir en ℂ

El teorema también se puede utilizar para deducir que el dominio de una función elíptica no constante $f$ no puede ser $mathbb{C}$ . Supongamos que lo fue. Entonces, si $a$ y $b$ son dos períodos $f$ tales que ${tfrac {a}{b}}$ no es real, considerar el paralelogramo $P$ cuyos vértices son 0, $a$ , $b$ , y $a+b$ . Entonces la imagen de $f$ es igual a $f(P)$ . Desde $f$ es continuo y $P$ es compacto, $f(P)$ es también compacto y, por lo tanto, está atado. Entonces, $f$ es constante.

El hecho de que el dominio de una función elíptica no constante $f$ no puede ser $mathbb{C}$ es lo que Liouville demostró, en 1847, usando la teoría de las funciones elípticas. De hecho, fue Cauchy quien probó el teorema de Liouville.

Las funciones completas tienen imágenes densas

Si $f$ es una función entera no constante, entonces su imagen es densa en $mathbb{C}$ . Esto podría parecer un resultado mucho más fuerte que el teorema de Liouville, pero en realidad es un corolario fácil. Si la imagen de $f$ no es denso, entonces hay un número complejo $w$ y un número real $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r]0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ tal que el disco abierto centrado en $w$ con radio $r$ no tiene elemento de la imagen $f$ . Define

{displaystyle g(z)={frac {1}{f(z)-w}}.}

Entonces... $g$ es una función entera ligada, ya que para todos $z$ ,

<math alttext="{displaystyle |g(z)|={frac {1}{|f(z)-w|}}Silenciog()z)Silencio=1Silenciof()z)− − wSilencio.1r.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {1} {r}}<img alt="{displaystyle |g(z)|={frac {1}{|f(z)-w|}}

Entonces, $g$ es constante, y por lo tanto $f$ es constante.

Sobre superficies compactas de Riemann

Cualquier función holomorfa en una superficie compacta de Riemann es necesariamente constante.

Vamos $f(z)$ ser holomorfo en una superficie compacta Riemann $M$ . Por compactidad, hay un punto ${displaystyle p_{0}in M}$ Donde ${displaystyle |f(p)|}$ alcanza su máximo. Entonces podemos encontrar una carta de un barrio $p_{0}$ al disco de unidad $mathbb {D}$ tales que ${displaystyle f(phi ^{-1}(z))}$ es holomorfa en el disco de unidad y tiene un máximo ${displaystyle phi (p_{0})in mathbb {D} }$ , por lo que es constante, por el principio del módulo máximo.

Observaciones

Vamos ${displaystyle mathbb {C} cup {infty }}$ ser la compactación de un punto del plano complejo $mathbb{C}$ . En lugar de funciones holomorfas definidas en regiones $mathbb{C}$ , uno puede considerar regiones ${displaystyle mathbb {C} cup {infty }}$ . Visto así, la única singularidad posible para funciones enteras, definidas en ${displaystyle mathbb {C} subset mathbb {C} cup {infty }}$ , es el punto $infty$ . Si una función entera $f$ está atado en un barrio $infty$ , entonces $infty$ es una singularidad extraíble $f$ , es decir. $f$ no puede volar o comportarse erróneamente $infty$ . A la luz de la expansión de la serie de energía, no es sorprendente que el teorema de Liouville tenga.

Del mismo modo, si toda una función tiene un polo de orden $n$ a $infty$ —es decir, crece en magnitud comparable con $z^n$ en algún barrio $infty$ Entonces $f$ es un polinomio. Esta versión ampliada del teorema de Liouville puede ser más precisa: si ${displaystyle |f(z)|leq M|z|^{n}}$ para $|z|$ suficientemente grande, entonces $f$ es un polinomio de grado en la mayoría $n$ . Esto puede probarse como sigue. Nuevamente tome la representación de la serie Taylor $f$ ,

f(z)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}z^{k}.

El argumento utilizado durante la prueba usando estimaciones de Cauchy muestra que para todos $kgeq 0$ ,

{displaystyle |a_{k}|leq Mr^{n-k}.}

Entonces, si $n}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■n{displaystyle k]n}n}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e81682bf174c978e9008ffb557ba4da2cf7478" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.704ex; height:2.176ex;"/>$ , entonces

{displaystyle |a_{k}|leq lim _{rto infty }Mr^{n-k}=0.}

Por lo tanto, ${displaystyle a_{k}=0}$ .

Did you mean:

Liouville 's theorem does not extend to the generalizations of complex numbers known as double numbers and dual numbers.

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