Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

G es el grupo ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$, los enteros mod 8 bajo adición. El subgrupo H contiene sólo 0 y 4, y es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$. Hay cuatro cosets izquierdos de H: H en sí, 1+H, 2+H y 3+H (escrito con notación aditiva ya que es un grupo aditivo). Juntos particionan todo el grupo G en conjuntos de tamaño igual y sin superposición. Así el índice [G: H] es 4.

En el campo matemático de la teoría del grupo, Teorema de Lagrange es un teorema que declara que para cualquier grupo finito G, el orden (número de elementos) de cada subgrupo G divide el orden de G. El teorema es nombrado por Joseph-Louis Lagrange. La siguiente variante establece que para un subgrupo ${displaystyle H.$ de un grupo finito ${displaystyle G.$, no sólo es ${displaystyle SilencioG vidas/resistentes$ un entero, pero su valor es el índice ${displaystyle [G:H]}$, definido como el número de cosets izquierdos ${displaystyle H.$ dentro ${displaystyle G.$.

Esta variante sostiene incluso si ${displaystyle G.$ es infinita, siempre que ${displaystyle SilencioG$, ${displaystyle TENSIA$, y ${displaystyle [G:H]}$ son interpretados como números cardinales.

Prueba

Los cosets izquierdos H dentro G son las clases de equivalencia de una relación de equivalencia determinada G: específicamente, llamar x y Sí. dentro G equivalente si existe h dentro H tales que x = Sí.. Por lo tanto, los cosets izquierdos forman una partición de G. Cada conjunto izquierdo aH tiene la misma cardinalidad H porque ${displaystyle xmapsto ax}$ define una bijeción ${displaystyle Hto aH}$ (el inverso es ${displaystyle ymapsto a^{-1}y}$). El número de cosets izquierdos es el índice [G: H]. Por las tres oraciones anteriores,

${displaystyle left WordPressGright WordPress=left[G:Hright]cdot lefttenciónHright sobrevivir.}$

Extensión

El teorema de Lagrange se puede extender a la ecuación de índices entre tres subgrupos de G.

Si tomamos K = {e} (e es el elemento de identidad de G), entonces [G: {e}] = |G| y [H: {e}] = |H|. Por lo tanto, podemos recuperar la ecuación original |G| = [G: H] |H|.

Aplicaciones

Una consecuencia del teorema es que el orden de cualquier elemento a de un grupo finito (es decir, el número entero positivo más pequeño k with a^k = e, donde e es el elemento de identidad del grupo) divide el orden de ese grupo, ya que el orden de a es igual al orden del subgrupo cíclico generado por a. Si el grupo tiene n elementos, sigue

${displaystyle displaystyle a^{n}=e{mbox{}}}$

Esto se puede usar para demostrar el pequeño teorema de Fermat y su generalización, el teorema de Euler. Estos casos especiales se conocían mucho antes de que se demostrara el teorema general.

El teorema también muestra que cualquier grupo de orden primo es cíclico y simple, ya que el subgrupo generado por cualquier elemento sin identidad debe ser el grupo completo en sí.

El teorema de Lagrange también se puede utilizar para demostrar que hay infinitamente muchos primos: si había un mayor primo p, entonces un divisor primo q del número Mersenne ${displaystyle 2^{p}-1}$ sería tal que el orden 2 en el grupo multiplicativo ${displaystyle (mathbb {Z}/qmathbb {Z} {}} {}}}$ (ver aritmética modular) divide el orden de ${displaystyle (mathbb {Z}/qmathbb {Z} {}} {}}}$, que es ${displaystyle q-1}$. Por lo tanto p. q, contradiciendo el supuesto de que p es el mejor.

Existencia de subgrupos de orden dado

El teorema de Lagrange plantea la pregunta inversa de si todo divisor del orden de un grupo es el orden de algún subgrupo. Esto no se cumple en general: dado un grupo finito G y un divisor d de |G|, no existe necesariamente un subgrupo de G con orden d. El ejemplo más pequeño es A₄ (el grupo alterno de grado 4), que tiene 12 elementos pero ningún subgrupo de orden 6.

Un "inverso del teorema de Lagrange" (CLT) grupo es un grupo finito con la propiedad de que por cada divisor del orden del grupo, existe un subgrupo de ese orden. Se sabe que un grupo CLT debe ser soluble y que todo grupo supersoluble es un grupo CLT. Sin embargo, existen grupos resolubles que no son CLT (por ejemplo, A₄) y grupos CLT que no son supersolubles (por ejemplo, S ₄, el grupo simétrico de grado 4).

Hay recíprocos parciales del teorema de Lagrange. Para grupos generales, el teorema de Cauchy garantiza la existencia de un elemento, y por tanto de un subgrupo cíclico, de orden cualquier primo que divida el orden del grupo. El teorema de Sylow extiende esto a la existencia de un subgrupo de orden igual a la potencia máxima de cualquier número primo que divide el orden del grupo. Para grupos solubles, los teoremas de Hall afirman la existencia de un subgrupo de orden igual a cualquier divisor unitario del orden del grupo (es decir, un divisor coprimo de su cofactor).

Contraejemplo del inverso del teorema de Lagrange

El inverso del teorema de Lagrange establece que si d es un divisor del orden de un grupo G, entonces existe un subgrupo H donde |H| = d.

Examinaremos el grupo alterno A₄, el conjunto de permutaciones pares como el subgrupo del grupo simétrico S₄.

A₄ =e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}.

|A₄| = 12 por lo que los divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 12. Asuma por el contrario que existe un subgrupo H en A ₄ con |H| = 6.

Sea V el subgrupo no cíclico de A₄ llamado grupo de cuatro de Klein.

V =e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.

Sea K = H ⋂ V. Dado que tanto H como V son subgrupos de A₄, K también es un subgrupo de A₄.

Del teorema de Lagrange, el orden de K debe dividir a ambos 6 y 4, las órdenes de H y V respectivamente. Los únicos dos enteros positivos que dividen 6 y 4 son 1 y 2. Entonces |K| = 1 o 2.

Suponga que |K| = 1, luego K = {e}. Si H no comparte ningún elemento con V, luego los 5 elementos en H además del elemento de Identidad e debe tener la forma (a b c) donde < i>a, b, c son elementos distintos en {1, 2, 3, 4}.

Dado que cualquier elemento de la forma (a b c) al cuadrado es (a c b), y (a b c)(a c b) = e, cualquiera elemento de H en la forma (a b c) debe estar emparejado con su inversa. Específicamente, los 5 elementos restantes de H deben provenir de distintos pares de elementos en A₄ que no están en V. Esto es imposible ya que los pares de elementos deben ser pares y no pueden sumar hasta 5 elementos. Por lo tanto, las suposiciones de que |K| = 1 es incorrecto, por lo que |K| = 2.

Entonces, K = {e, v} donde v ∈ V, v debe tener la forma (a b)(c d) donde a, b, c, d son elementos distintos de {1, 2, 3, 4}. Los otros cuatro elementos en H son ciclos de longitud 3.

Tenga en cuenta que las clases laterales generadas por un subgrupo de un grupo forman una partición del grupo. Las clases laterales generadas por un subgrupo específico son idénticas entre sí o disjuntas. El índice de un subgrupo en un grupo [A₄: H] = |A< /i>₄|/|H| es el número de clases laterales generadas por ese subgrupo. Desde |A₄| = 12 y |H| = 6, H generará dos clases laterales izquierdas, una que es igual a H y otra, gH, que es de longitud 6 y incluye todos los elementos en A₄ no en H.

Dado que solo hay 2 clases laterales distintas generadas por H, entonces H debe ser normal. Por eso, H = gHg⁻¹ (∀g ∈ < i>A₄). En particular, esto es cierto para g = (a b c) ∈ A₄. Dado que H = gHg⁻¹, gvg^{−1< /sup> ∈ H}.

Sin pérdida de generalidad, asuma que a = 1, b = 2, c = 3, d = 4. Entonces g = (1 2 3), v = (1 2)(3 4), g⁻¹ = (1 3 2), gv = (1 3 4), gvg⁻¹ = (1 4)(2 3). Al volver a transformar, obtenemos gvg⁻¹ = (a d)(b c). Porque V contiene todas las transposiciones disjuntas en A₄ , gvg⁻¹ ∈ V. Por lo tanto, gvg⁻¹ ∈ H ⋂ V = K .

Dado que gvg⁻¹ ≠ v, hemos demostrado que existe una tercer elemento en K. Pero antes asumimos que |K| = 2, entonces tenemos una contradicción.

Por lo tanto, nuestra suposición original de que hay un subgrupo de orden 6 no es cierta y, en consecuencia, no hay subgrupo de orden 6 en A_{4< /sub>} y el inverso del teorema de Lagrange no es necesariamente cierto. QED

Historia

Lagrange mismo no demostró el teorema en su forma general. Afirmó, en su artículo Réflexions sur la résolution algébrique des équations, que si un polinomio en n variables tiene sus variables permutadas en todas las n! formas, el número de polinomios diferentes que se obtienen es siempre un factor de n!. (Por ejemplo, si las variables x, y y z se permutan de las 6 formas posibles en el polinomio x + y − z luego obtenemos un total de 3 polinomios diferentes: x + y − z, x + z − y, y y + z − x< /i>. Tenga en cuenta que 3 es un factor de 6.) El número de tales polinomios es el índice en el grupo simétrico S_n del subgrupo H de permutaciones que conservan el polinomio. (Para el ejemplo de x + y − z, el subgrupo H en S₃ contiene la identidad y la transposición (x y).) Así que el tamaño de H divide n!. Con el desarrollo posterior de los grupos abstractos, se reconoció que este resultado de Lagrange sobre los polinomios se extendía al teorema general sobre los grupos finitos que ahora lleva su nombre.

En su Disquisición Arithmeticae en 1801, Carl Friedrich Gauss demostró el teorema de Lagrange para el caso especial ${displaystyle (mathbb {Z}/pmathbb {Z}} {}} {}}}$, el grupo multiplicativo de los enteros no cero modulo p, donde p es un primo. En 1844, Augustin-Louis Cauchy demostró el teorema de Lagrange para el grupo simétrico S_n.

Camille Jordan finalmente demostró el teorema de Lagrange para el caso de cualquier grupo de permutaciones en 1861.