Teorema de la reactancia de Foster

El teorema de reactancia de Foster es un teorema importante en los campos del análisis y síntesis de redes eléctricas. El teorema establece que la reactancia de una red pasiva y sin pérdidas de dos terminales (un puerto) siempre aumenta de manera estrictamente monótona con la frecuencia. Se ve fácilmente que las reactancias de inductores y condensadores aumentan individualmente con la frecuencia y, a partir de esa base, en general se puede construir una prueba para redes pasivas sin pérdidas. La demostración del teorema fue presentada por Ronald Martin Foster en 1924, aunque el principio había sido publicado anteriormente por los colegas de Foster en American Telephone & Telégrafo.

El teorema se puede extender a las admitancias y al concepto abarcador de inmitancias. Una consecuencia del teorema de Foster es que los ceros y los polos de la reactancia deben alternarse con la frecuencia. Foster utilizó esta propiedad para desarrollar dos formas canónicas para realizar estas redes. El trabajo de Foster fue un punto de partida importante para el desarrollo de la síntesis de redes.

Es posible construir redes que no sean de Foster utilizando componentes activos como amplificadores. Estos pueden generar una impedancia equivalente a una inductancia o capacitancia negativa. El convertidor de impedancia negativa es un ejemplo de dicho circuito.

Explicación

La reactancia es la parte imaginaria de la impedancia eléctrica compleja. Tanto los condensadores como los inductores poseen reactancia (pero de signo opuesto) y dependen de la frecuencia. La especificación de que la red debe ser pasiva y sin pérdidas implica que no hay resistencias (sin pérdidas), ni amplificadores ni fuentes de energía (pasivas). En consecuencia, la red debe estar compuesta enteramente de inductores y condensadores y la impedancia será puramente un número imaginario con parte real cero. El teorema de Foster se aplica igualmente a la admitancia de una red, es decir, la susceptancia (parte imaginaria de la admitancia) de un puerto único pasivo y sin pérdidas aumenta monótonamente con la frecuencia. Este resultado puede parecer contradictorio ya que la admitancia es el recíproco de la impedancia, pero se prueba fácilmente. Si la impedancia es

${\displaystyle Z=iX\,}$

Donde ${\displaystyle \scriptstyle X}$ es la reacción y ${\displaystyle \scriptstyle i}$ es la unidad imaginaria, entonces la admisión es dada por

${\displaystyle Y={\frac {1}{iX}=-i{\frac} {1}{X}=iB}$

Donde ${\displaystyle \scriptstyle B}$ es susceptibilidad.

Si X aumenta monótonamente con la frecuencia, entonces 1/X debe disminuir monótonamente. En consecuencia, −1/X debe aumentar monótonamente y, por tanto, se demuestra que B también aumenta.

En la teoría de redes, a menudo ocurre que un principio o procedimiento se aplica igualmente bien a la impedancia o la admitancia, lo que refleja el principio de dualidad de las redes eléctricas. Es conveniente en estas circunstancias utilizar el concepto de inmitancia, que puede significar impedancia o admitancia. Las matemáticas se realizan sin especificar unidades hasta que se desea calcular un ejemplo concreto. Por tanto, el teorema de Foster se puede expresar de una forma más general como,

Teorema de Foster (forma de imitación)

La immitancia imaginaria de un puerto pasivo, sin pérdida aumenta estrictamente monotonicamente con frecuencia.

El teorema de Foster es bastante general. En particular, se aplica a redes de elementos distribuidos, aunque Foster lo formuló en términos de inductores y condensadores discretos. Por lo tanto, es aplicable tanto a frecuencias de microondas como a frecuencias más bajas.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran este teorema en varios circuitos simples.

Inductor

La impedancia de un inductor está dada por,

${\displaystyle Z=i\omega L\,}$

${\displaystyle \scriptstyle L}$ es inductancia

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$ frecuencia angular

entonces la reactancia es,

${\displaystyle X=\omega L\,}$

que mediante inspección puede verse que aumenta monótonamente (y linealmente) con la frecuencia.

Condensador

La impedancia de un condensador está dada por,

${\displaystyle Z={\frac {1}{i\omega C}$

${\displaystyle \scriptstyle C}$ es la capacitancia

entonces la reactancia es,

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\omega C}$

que nuevamente aumenta monótonamente con la frecuencia. La función de impedancia del condensador es idéntica a la función de admitancia del inductor y viceversa. Es un resultado general que el dual de cualquier función de inmitancia que obedezca al teorema de Foster también seguirá el teorema de Foster.

Circuito resonante en serie

Un circuito LC en serie tiene una impedancia que es la suma de las impedancias de un inductor y un condensador,

${\displaystyle Z=i\omega L+{1}{i\omega C}=i\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}\right)}$

A bajas frecuencias, la reactancia está dominada por el condensador y, por lo tanto, es grande y negativa. Esto aumenta monótonamente hacia cero (la magnitud de la reactancia del capacitor se vuelve más pequeña). La reactancia pasa por cero en el punto donde las magnitudes de las reactancias del capacitor y del inductor son iguales (la frecuencia de resonancia) y luego continúa aumentando monótonamente a medida que la reactancia del inductor se vuelve progresivamente dominante.

Circuito resonante paralelo

Un circuito LC paralelo es el dual del circuito en serie y, por lo tanto, su función de admitancia tiene la misma forma que la función de impedancia del circuito en serie,

${\displaystyle Y=i\omega C+{\frac {1}{i\omega - Sí.$

La función de impedancia es,

${\displaystyle Z=i\left({\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}\right)}$

A bajas frecuencias, la reactancia está dominada por el inductor y es pequeña y positiva. Esto aumenta monótonamente hacia un polo en la frecuencia antirresonante donde la susceptancia del inductor y el capacitor son iguales, opuestas y canceladas. Más allá del polo, la reactancia es grande y negativa y aumenta hacia cero, donde está dominada por la capacitancia.

Ceros y polos

Una consecuencia del teorema de Foster es que los ceros y los polos de cualquier función de inmitancia pasiva deben alternarse a medida que aumenta la frecuencia. Después de pasar por un polo, la función será negativa y está obligada a pasar por cero antes de llegar al siguiente polo para que sea monótonamente creciente.

Los polos y ceros de una función de inmitancia determinan completamente las características de frecuencia de una red Foster. Dos redes de Foster que tengan polos y ceros idénticos serán circuitos equivalentes en el sentido de que sus funciones de inmitancia serán idénticas. Puede haber una diferencia de factor de escala entre ellos (todos los elementos de la inmitancia multiplicados por el mismo factor de escala) pero la forma de las dos funciones de inmitancia será idéntica.

Otra consecuencia del teorema de Foster es que la fase de una inmitancia debe aumentar monótonamente con la frecuencia. En consecuencia, la gráfica de una función de inmitancia de Foster en un gráfico de Smith siempre debe viajar alrededor del gráfico en el sentido de las agujas del reloj con frecuencia creciente.

Realización

Una inmitancia pasiva de un puerto que consta de elementos discretos (es decir, elementos no distribuidos) se puede representar como una función racional de s,

${\displaystyle Z(s)={\frac {(s)}{Q(s)}}$

¿Dónde?

${\displaystyle \scriptstyle Z(s)}$ es inminente

${\displaystyle \scriptstyle P(s),\ Q(s)}$ son polinomios con coeficientes reales y positivos

${\displaystyle \scriptstyle s}$ es la variable Laplace transform, que se puede reemplazar por ${\displaystyle \scriptstyle i\omega }$ cuando se trata de señales de AC estables.

Esto se desprende del hecho de que la impedancia de los elementos L y C son en sí mismas funciones racionales simples y cualquier combinación algebraica de funciones racionales da como resultado otra función racional.

Esto a veces se denomina impedancia del punto de conducción porque es la impedancia en el lugar de la red en el que está conectado el circuito externo y "conduce" con una señal. En su artículo, Foster describe cómo una función racional sin pérdidas puede realizarse (si es que puede realizarse) de dos maneras. La primera forma de Foster consiste en una serie de circuitos LC paralelos conectados en serie. La segunda forma de impedancia del punto de conducción de Foster consiste en varios circuitos LC en serie conectados en paralelo. La determinación de la impedancia del punto de conducción no es en modo alguno única. La realización de Foster tiene la ventaja de que los polos y/o ceros están directamente asociados con un circuito resonante particular, pero hay muchas otras realizaciones. Quizás el más conocido sea la realización de una escalera de Wilhelm Cauer a partir del diseño de filtros.

Redes que no son de Foster

Una red de Foster debe ser pasiva, por lo que una red activa, que contenga una fuente de energía, puede no obedecer el teorema de Foster. Éstas se denominan redes que no son de Foster. En particular, los circuitos que contienen un amplificador con retroalimentación positiva pueden tener una reactancia que disminuye con la frecuencia. Por ejemplo, es posible crear capacitancia e inductancia negativas con circuitos convertidores de impedancia negativa. Estos circuitos tendrán una función de inmitancia con una fase de ±π/2 como una reactancia positiva pero una amplitud de reactancia con una pendiente negativa frente a la frecuencia.

Estos son interesantes porque pueden realizar tareas que una red Foster no puede. Por ejemplo, las redes pasivas habituales de adaptación de impedancia de Foster solo pueden igualar la impedancia de una antena con una línea de transmisión en frecuencias discretas, lo que limita el ancho de banda de la antena. Una red que no sea de Foster podría hacer coincidir una antena en una banda continua de frecuencias. Esto permitiría la creación de antenas compactas y con un amplio ancho de banda, violando el límite de Chu-Harrington. Las redes prácticas que no pertenecen a Foster son un área activa de investigación.

Historia

El teorema fue desarrollado en American Phone & Telegraph como parte de las investigaciones en curso de filtros mejorados para aplicaciones de multiplexado telefónico. Este trabajo era comercialmente importante; grandes sumas de dinero podrían salvarse aumentando el número de conversaciones telefónicas que podrían llevarse en una línea. El teorema fue publicado por Campbell en 1922 pero sin pruebas. Gran uso fue inmediatamente hecho del teorema en el diseño de filtros, parece prominente, junto con una prueba, en el papel emblemático de Zobel de 1923 que resumió el estado del arte del diseño de filtros en ese momento. Foster publicó su artículo el año siguiente que incluyó sus formas de realización canónica.

Cauer en Alemania comprendió la importancia del trabajo de Foster y lo utilizó como base para la síntesis de redes. Entre las muchas innovaciones de Cauer estuvo la extensión del trabajo de Foster a todas las redes de dos elementos después de descubrir un isomorfismo entre ellas. Cauer estaba interesado en encontrar la condición necesaria y suficiente para la realizabilidad de una red racional de un solo puerto a partir de su función polinómica, una condición que ahora se sabe que es una función real positiva, y el problema inverso de qué redes eran equivalentes, es decir, tenían la misma función polinómica. Ambos fueron problemas importantes en la teoría de redes y el diseño de filtros. Las redes de acogida son sólo un subconjunto de redes realizables,