Teorema de la divergencia

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Teorema en cálculo que relaciona el flujo de superficies cerradas a la divergencia sobre su volumen

En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también conocido como teorema de Gauss o teorema de Ostrogradsky, es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen encerrado.

Más precisamente, el teorema de la divergencia establece que la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada, que se denomina "flujo" a través de la superficie, es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región dentro de la superficie. Intuitivamente, establece que "la suma de todas las fuentes del campo en una región (considerando los sumideros como fuentes negativas) da el flujo neto que sale de la región".

El teorema de la divergencia es un resultado importante para las matemáticas de la física y la ingeniería, particularmente en electrostática y dinámica de fluidos. En estos campos, se suele aplicar en tres dimensiones. Sin embargo, se generaliza a cualquier número de dimensiones. En una dimensión, es equivalente a la integración por partes. En dos dimensiones, es equivalente al teorema de Green.

Explicación usando flujo de líquido

Los campos vectoriales a menudo se ilustran usando el ejemplo del campo de velocidad de un fluido, como un gas o un líquido. Un líquido en movimiento tiene una velocidad (una rapidez y una dirección) en cada punto, que puede representarse mediante un vector, de modo que la velocidad del líquido en cualquier momento forma un campo vectorial. Considere una superficie cerrada imaginaria S dentro de un cuerpo de líquido, que encierra un volumen de líquido. El flujo de líquido fuera del volumen es igual a la tasa de volumen del fluido que cruza esta superficie, es decir, la integral de superficie de la velocidad sobre la superficie.

Dado que los líquidos son incompresibles, la cantidad de líquido dentro de un volumen cerrado es constante; si no hay fuentes ni sumideros dentro del volumen, entonces el flujo de líquido que sale de S es cero. Si el líquido se mueve, puede fluir hacia el volumen en algunos puntos de la superficie S y salir del volumen en otros puntos, pero las cantidades que entran y salen en cualquier momento son iguales, por lo que la El flujo neto de líquido fuera del volumen es cero.

Sin embargo, si una fuente de líquido está dentro de la superficie cerrada, como una tubería a través de la cual se introduce líquido, el líquido adicional ejercerá presión sobre el líquido circundante, provocando un flujo hacia afuera en todas las direcciones.. Esto provocará un flujo neto hacia afuera a través de la superficie S. El flujo hacia afuera a través de S es igual a la tasa de volumen del flujo de fluido hacia S desde la tubería. De manera similar, si hay un fregadero o drenaje dentro de S, como una tubería que drena el líquido, la presión externa del líquido provocará una velocidad en todo el líquido dirigida hacia adentro. hacia la ubicación del drenaje. La tasa de volumen del flujo de líquido hacia adentro a través de la superficie S es igual a la tasa de líquido eliminado por el fregadero.

Si hay múltiples fuentes y sumideros de líquido dentro de S, el flujo a través de la superficie se puede calcular sumando la tasa de volumen de líquido agregado por las fuentes y restando la tasa de líquido drenado por los lavabos. La tasa volumétrica de flujo de líquido a través de una fuente o sumidero (con el flujo a través de un sumidero con signo negativo) es igual a la divergencia del campo de velocidad en la boca de la tubería, por lo que sumando (integrando) la divergencia del líquido en todo el volumen encerrado por S es igual a la tasa de volumen del flujo a través de S. Este es el teorema de la divergencia.

El teorema de la divergencia se emplea en cualquier ley de conservación que establece que el volumen total de todos los sumideros y fuentes, es decir, la integral de volumen de la divergencia, es igual al flujo neto a través del límite del volumen.

Enunciado matemático

Una región

V

atado por la superficie

{displaystyle S=partial V}

con la superficie normal

n

Suppose $V$ es un subconjunto de $mathbb {R} ^{n}$ (en el caso de $n = 3, V$ representa un volumen en espacio tridimensional) que es compacto y tiene un borde liso $S$ (también indicado con ${displaystyle partial V=S}$ ). Si $F$ es un campo vectorial continuamente diferenciable definido en un barrio $V$ , entonces:

{displaystyle iiint _{V}left(mathbf {nabla } cdot mathbf {F} right),mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle (mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}}),mathrm {d} S.}

El lado izquierdo es un volumen integral sobre el volumen $V$ , el lado derecho es la superficie integral sobre el límite del volumen $V$ . El manifold cerrado $partial V$ está orientado por las normales externas, y $mathbf {hat {n}}$ es la unidad de señalización externa normal en cada punto en el límite $partial V$ . () ${displaystyle mathrm {d} mathbf {S} }$ puede ser utilizado como un cortocircuito para ${displaystyle mathbf {n} mathrm {d} S}$ .) En términos de la descripción intuitiva anterior, el lado izquierdo de la ecuación representa el total de las fuentes en el volumen $V$ , y el lado derecho representa el flujo total a través del límite $S$ .

Derivación informal

El teorema de la divergencia se deriva del hecho de que si un volumen $V$ se divide en partes separadas, el flujo sale del original el volumen es igual a la suma del flujo de cada componente del volumen. Esto es cierto a pesar del hecho de que los nuevos subvolúmenes tienen superficies que no formaban parte de la superficie del volumen original, porque estas superficies son solo particiones entre dos de los subvolúmenes y el flujo a través de ellos simplemente pasa de un volumen al otro. y así se cancela cuando se suma el flujo de salida de los subvolúmenes.

Un volumen dividido en dos subvolúmenes. A la derecha los dos subvolumens están separados para mostrar el flujo de las diferentes superficies.

Vea el diagrama. Un volumen cerrado y acotado $V$ se divide en dos volúmenes $V 1$ y $V 2$ por una superficie $S 3$ (verde). El flujo $Φ(V i)$ de cada región componente $V i$ es igual a la suma del flujo a través de sus dos caras, por lo que la suma del flujo que sale de las dos partes es

{displaystyle Phi (V_{text{1}})+Phi (V_{text{2}})=Phi _{text{1}}+Phi _{text{31}}+Phi _{text{2}}+Phi _{text{32}}}

Donde $CCPR 1$ y $CCPR 2$ son el flujo de las superficies $S 1$ y $S 2$ , $CCPR 31$ es el flujo a través $S 3$ del volumen 1, y $CCPR 32$ es el flujo a través $S 3$ fuera del volumen 2. El punto es que la superficie $S 3$ es parte de la superficie de ambos volúmenes. La dirección exterior del vector normal $mathbf {hat {n}}$ es opuesto para cada volumen, por lo que el flujo de uno a través $S 3$ es igual al negativo del flujo fuera del otro

{displaystyle Phi _{text{31}}=iint _{S_{3}}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} S=-iint _{S_{3}}mathbf {F} cdot (-mathbf {hat {n}});mathrm {d} S=-Phi _{text{32}}}

entonces estos dos flujos se cancelan en la suma. Por lo tanto

{displaystyle Phi (V_{text{1}})+Phi (V_{text{2}})=Phi _{text{1}}+Phi _{text{2}}}

Desde la unión de las superficies $S 1$ y $S 2$ es $S$

{displaystyle Phi (V_{text{1}})+Phi (V_{text{2}})=Phi (V)}

El volumen se puede dividir en cualquier número de subvolúmenes y el flujo fuera de V es igual a la suma del flujo de cada subvolumen, porque el flujo a través del verde las superficies cancelan en la suma. En b) los volúmenes se muestran separados ligeramente, ilustrando que cada partición verde es parte del límite de dos volúmenes adyacentes

Este principio se aplica a un volumen dividido en cualquier número de partes, como se muestra en el diagrama. Dado que la integral sobre cada partición interna (superficies verdes) aparece con signos opuestos en el flujo de los dos volúmenes adyacentes, se cancelan y la única contribución al flujo es la integral sobre las superficies externas (gris). Dado que las superficies externas de todos los volúmenes componentes son iguales a la superficie original.

{displaystyle Phi (V)=sum _{V_{text{i}}subset V}Phi (V_{text{i}})}

Como el volumen está subdividido en partes más pequeñas, la relación del flujo

{displaystyle Phi (V_{text{i}})}

de cada volumen al volumen

{displaystyle |V_{text{i}}|}

enfoques

{displaystyle operatorname {div} mathbf {F} }

El flujo $Φ$ que sale de cada volumen es la integral de superficie del campo vectorial $F (x)$ sobre la superficie

{displaystyle iint _{S(V)}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} S=sum _{V_{text{i}}subset V}iint _{S(V_{text{i}})}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} S}

El objetivo es dividir el volumen original en infinitamente muchos volúmenes infinitesimal. A medida que el volumen se divide en partes más pequeñas y pequeñas, la superficie integral de la derecha, el flujo de cada subvolumen, se aproxima a cero porque la superficie $S () V i)$ enfoques cero. Sin embargo, desde la definición de divergencia, la relación del flujo al volumen, ${displaystyle {frac {Phi (V_{text{i}})}{|V_{text{i}}|}}={frac {1}{|V_{text{i}}|}}iint _{S(V_{text{i}})}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} S}$ , la parte entre paréntesis abajo, no desaparece en general pero se acerca a la divergencia $div F$ como el volumen se acerca a cero.

{displaystyle iint _{S(V)}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} S=sum _{V_{text{i}}subset V}left({frac {1}{|V_{text{i}}|}}iint _{S(V_{text{i}})}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} Sright)|V_{text{i}}|}

Mientras el campo vectorial $F (x)$ tenga derivadas continuas, la suma anterior se mantiene incluso en el límite cuando el volumen se divide en incrementos infinitamente pequeños

{displaystyle iint _{S(V)}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} S=lim _{|V_{text{i}}|to 0}sum _{V_{text{i}}subset V}left({frac {1}{|V_{text{i}}|}}iint _{S(V_{text{i}})}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} Sright)|V_{text{i}}|}

As ${displaystyle |V_{text{i}}|}$ se acerca al volumen cero, se convierte en el infinitesimal $dV$ , la parte entre paréntesis se convierte en la divergencia, y la suma se convierte en un volumen integral $V$

${displaystyle ;iint _{S(V)}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ;mathrm {d} S=iiint _{V}operatorname {div} mathbf {F} ;mathrm {d} V;}$

Dado que esta derivación no tiene coordenadas, muestra que la divergencia no depende de las coordenadas utilizadas.

Pruebas

Para subconjuntos abiertos acotados del espacio euclidiano

Vamos a probar lo siguiente:

Theorem—Vamos $Omega subset mathbb{R}^n$ ser abierto y atado con $C^{1}$ límite. Si $u$ es $C^{1}$ en un barrio abierto $O$ de $overline {Omega }$ , es decir, ${displaystyle uin C^{1}(O)}$ , entonces para cada $iin {1,dotsn}$ ,

{displaystyle int _{Omega }u_{x_{i}},dV=int _{partial Omega }unu _{i},dS,}

Donde

{displaystyle nu:partial Omega to mathbb {R} ^{n}}

es la unidad de señalización exterior vector normal a

partial Omega

. Equivalentemente,

{displaystyle int _{Omega }nabla u,dV=int _{partial Omega }unu ,dS.}

Prueba de Teorema. (1) El primer paso es reducir al caso donde ${displaystyle uin C_{c}^{1}(mathbb {R} ^{n})}$ . Pick ${displaystyle phi in C_{c}^{infty }(O)}$ tales que $phi =1$ on $overline {Omega }$ . Note que ${displaystyle phi uin C_{c}^{1}(O)subset C_{c}^{1}(mathbb {R} ^{n})}$ y ${displaystyle phi u=u}$ on $overline {Omega }$ . Por lo tanto, basta probar el teorema ${displaystyle phi u}$ . Por lo tanto, podemos asumir que ${displaystyle uin C_{c}^{1}(mathbb {R} ^{n})}$ .

2) Let ${displaystyle x_{0}in partial Omega }$ ser arbitrario. Suposición de que $overline {Omega }$ tiene $C^{1}$ frontera significa que hay un vecindario abierto $U$ de $x_{0}$ dentro $mathbb {R} ^{n}$ tales que ${displaystyle partial Omega cap U}$ es el gráfico de un $C^{1}$ función ${displaystyle Omega cap U}$ acostado en un lado de este gráfico. Más precisamente, esto significa que después de una traducción y rotación de $Omega$ , hay $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">h■0{displaystyle h confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbddb7a5cca6170575e4e73e769fbb434c2a3d71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.6ex; height:2.176ex;"/>$ y a $C^{1}$ función ${displaystyle g:mathbb {R} ^{n-1}to mathbb {R} }$ , tal que con la notación

{displaystyle x'=(x_{1},dotsx_{n-1}),}

<math alttext="{displaystyle U={xin mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{text{ and }}|x_{n}-g(x')|U={}x▪ ▪ Rn:Silenciox.Silencio.rySilencioxn− − g()x.)Silencio.h}{displaystyle U={xin mathbb [R] ^{n}: "Principio" de la muerte"<img alt="{displaystyle U={xin mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{text{ and }}|x_{n}-g(x')|

xin U

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}x_{n}=g(x')&implies xin partial Omega\-h<x_{n}-g(x')<0&implies xin Omega\0<x_{n}-g(x')xn=g()x.)⟹ ⟹ x▪ ▪ ∂ ∂ Ω Ω ,− − h.xn− − g()x.).0⟹ ⟹ x▪ ▪ Ω Ω ,0.xn− − g()x.).h⟹ ⟹ x∉ ∉ Ω Ω .{displaystyle {begin{aligned}x_{n}=g(x') ventajaimplies xin partial Omega\-h seleccionx_{n}-g(x') correspondió0 limiteimplies xin Omega\0 seccionx_{n}-g(x') correspondh implicaimplies xnotin Omega.\end{aligned}}}}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}x_{n}=g(x')&implies xin partial Omega\-h<x_{n}-g(x')<0&implies xin Omega\0<x_{n}-g(x')

partial Omega

partial Omega

{displaystyle U_{1},dotsU_{N}}

{displaystyle {OmegaU_{1},dotsU_{N}}}

{displaystyle {overline {Omega }}=Omega cup partial Omega }

C^{{infty }}

u

Omega

u

U_{j}

u

Omega

iin {1,dotsn}

{displaystyle int _{Omega }u_{x_{i}},dV=int _{mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}},dV=int _{mathbb {R} ^{n-1}}int _{-infty }^{infty }u_{x_{i}}(x),dx_{i},dx'=0}

{displaystyle int _{partial Omega }unu _{i},dS=0}

u

partial Omega

u

Omega

u

U_{j}

(3) Así que asuma $u$ tiene soporte compacto en algunos $U_{j}$ . El último paso ahora es demostrar que el teorema es verdadero por la computación directa. Notación de cambio a ${displaystyle U=U_{j}}$ , y traer la notación de (2) utilizado para describir $U$ . Tenga en cuenta que esto significa que hemos girado y traducido $Omega$ . Esta es una reducción válida ya que el teorema es invariante bajo rotaciones y traducciones de coordenadas. Desde $u(x)=0$ para ${displaystyle |x'|geq r}$ y para ${displaystyle |x_{n}-g(x')|geq h}$ , tenemos para cada $iin {1,dotsn}$ que

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}int _{Omega }u_{x_{i}},dV&=int _{|x'|∫ ∫ Ω Ω uxidV=∫ ∫ Silenciox.Silencio.r∫ ∫ g()x.)− − hg()x.)uxi()x.,xn)dxndx.=∫ ∫ Rn− − 1∫ ∫ − − JUEGO JUEGO g()x.)uxi()x.,xn)dxndx..{displaystyle {begin{aligned}in ¿Qué? Omega }u_{x_{i},dV sensible=int _{ habitx' décima}int _{g(x')-h} {g(x')}u_{x_{i}(x',x_{n}),dx_{n},dx'\\\\cH00cH00cH00cH00} ¿Qué? [R] ^{n-1}int _{-infty } {g(x')}u_{x_{i}(x',x_{n}),dx_{n},dx'.end{aligned}}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}int _{Omega }u_{x_{i}},dV&=int _{|x'|

{displaystyle i=n}

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n-1}}int _{-infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n}),dx_{n},dx'=int _{mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x')),dx'.}

{displaystyle iin {1,dotsn-1}}

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n-1}}int _{-infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n}),dx_{n},dx'=int _{mathbb {R} ^{n-1}}int _{-infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s),ds,dx'}

{displaystyle v:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }

{displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)}

{displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').}

v

{displaystyle dx_{i}}

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n-1}}int _{-infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s),ds,dx'=0.}

{displaystyle {begin{aligned}int _{mathbb {R} ^{n-1}}int _{-infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s),ds,dx'&=int _{mathbb {R} ^{n-1}}int _{-infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x'),ds,dx'\&=int _{mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x'),dx'.end{aligned}}}

{displaystyle nabla u=(u_{x_{1}},dotsu_{x_{n}})}

{displaystyle int _{Omega }nabla u,dV=int _{mathbb {R} ^{n-1}}int _{-infty }^{g(x')}nabla u,dV=int _{mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-nabla g(x'),1),dx'.}

Gamma

g

{displaystyle (x',g(x'))in Gamma }

{displaystyle nu (x',g(x'))={frac {1}{sqrt {1+|nabla g(x')|^{2}}}}(-nabla g(x'),1)}

dS

{displaystyle dS={sqrt {1+|nabla g(x')|^{2}}},dx'}

{displaystyle int _{Omega }nabla u,dV=int _{partial Omega }unu ,dS.}

Para variedades riemannianas compactas con límite

Vamos a probar lo siguiente:

Theorem—Vamos $overline {Omega }$ ser un $C^{2}$ manifold compacto con límite $C^{1}$ métrica tensor $g$ . Vamos $Omega$ denota el múltiples interiores de $overline {Omega }$ y dejar $partial Omega$ denota el múltiples límites $overline {Omega }$ . Vamos ${displaystyle (cdotcdot)}$ denota ${displaystyle L^{2}({overline {Omega }})}$ productos interiores de funciones y $langle cdotcdot rangle$ denota productos interiores de vectores. Suppose ${displaystyle uin C^{1}({overline {Omega }},mathbb {R})}$ y $X$ es un $C^{1}$ vector de campo en $overline {Omega }$ . Entonces...

{displaystyle (operatorname {grad} u,X)=-(u,operatorname {div} X)+int _{partial Omega }ulangle X,Nrangle ,dS,}

Donde

N

es el vector normal de la unidad hacia fuera

partial Omega

Prueba de Teorema. Usamos la convención de sumación de Einstein. Al utilizar una partición de unidad, podemos asumir que $u$ y $X$ tienen soporte compacto en un parche de coordenadas ${displaystyle Osubset {overline {Omega }}}$ . Primero considere el caso en el que el parche está descompuesto desde $partial Omega$ . Entonces... $O$ se identifica con un subconjunto abierto de $mathbb {R} ^{n}$ e integración por partes no produce límites:

{displaystyle {begin{aligned}(operatorname {grad} u,X)&=int _{O}langle operatorname {grad} u,Xrangle {sqrt {g}},dx\&=int _{O}partial _{j}uX^{j}{sqrt {g}},dx\&=-int _{O}upartial _{j}({sqrt {g}}X^{j}),dx\&=-int _{O}u{frac {1}{sqrt {g}}}partial _{j}({sqrt {g}}X^{j}){sqrt {g}},dx\&=(u,-{frac {1}{sqrt {g}}}partial _{j}({sqrt {g}}X^{j}))\&=(u,-operatorname {div} X).end{aligned}}}

{displaystyle -operatorname {div} }

{displaystyle operatorname {grad} }

O

partial Omega

O

{displaystyle mathbb {R} _{+}^{n}={xin mathbb {R} ^{n}:x_{n}geq 0}}

u

X

{displaystyle mathbb {R} _{+}^{n}}

{displaystyle {begin{aligned}(operatorname {grad} u,X)&=int _{O}langle operatorname {grad} u,Xrangle {sqrt {g}},dx\&=int _{mathbb {R} _{+}^{n}}partial _{j}uX^{j}{sqrt {g}},dx\&=(u,-operatorname {div} X)-int _{mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){sqrt {g(x',0)}},dx',end{aligned}}}

{displaystyle dx'=dx_{1}dots dx_{n-1}}

O

{displaystyle {frac {partial }{partial x_{n}}}}

{displaystyle -N}

partial Omega

{displaystyle {sqrt {g(x',0)}},dx'={sqrt {g_{partial Omega }(x')}},dx'=dS}

partial Omega

{displaystyle (operatorname {grad} u,X)=(u,-operatorname {div} X)+int _{partial Omega }ulangle X,Nrangle ,dS.}

Corolarios

Al reemplazar $F$ en el teorema de la divergencia con formas específicas, se pueden derivar otras identidades útiles (cf. identidades vectoriales).

Con ${displaystyle mathbf {F} rightarrow mathbf {F} g}$ para una función de escalar $g$ y un campo vectorial $F$ ,

{displaystyle iiint _{V}left[mathbf {F} cdot left(nabla gright)+gleft(nabla cdot mathbf {F} right)right]mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle gmathbf {F} cdot mathbf {n} mathrm {d} S.}

Un caso especial de esto es

{displaystyle mathbf {F} =nabla f}

, en cuyo caso el teorema es la base para las identidades de Green.

Con ${displaystyle mathbf {F} rightarrow mathbf {F} times mathbf {G} }$ para dos campos vectoriales $F$ y $G$ , donde $times$ denota un producto cruzado,

{displaystyle iiint _{V}nabla cdot left(mathbf {F} times mathbf {G} right)mathrm {d} V=iiint _{V}left[mathbf {G} cdot left(nabla times mathbf {F} right)-mathbf {F} cdot left(nabla times mathbf {G} right)right],mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle (mathbf {F} times mathbf {G})cdot mathbf {n} mathrm {d} S.}

Con ${displaystyle mathbf {F} rightarrow mathbf {F} cdot mathbf {G} }$ para dos campos vectoriales $F$ y $G$ , donde $cdot$ denota un producto de puntos,

{displaystyle iiint _{V}nabla left(mathbf {F} cdot mathbf {G} right)mathrm {d} V=iiint _{V}left[mathbf {F} cdot left(nabla cdot mathbf {G} right)+left(nabla cdot mathbf {F} right)cdot mathbf {G} right],mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle (mathbf {F} cdot mathbf {G})cdot mathbf {n} mathrm {d} S.}

Con ${displaystyle mathbf {F} rightarrow fmathbf {c} }$ para una función de escalar $f$ and vector field c:

{displaystyle iiint _{V}mathbf {c} cdot nabla f,mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle (mathbf {c} f)cdot mathbf {n} mathrm {d} S-iiint _{V}f(nabla cdot mathbf {c}),mathrm {d} V.}

El último término en la derecha desaparece por constante

mathbf {c}

o cualquier campo vectorial libre de divergencia (solenoidal), por ejemplo. Flujos incompresibles sin fuentes o sumideros como cambio de fase o reacciones químicas, etc. En particular,

mathbf {c}

ser constante:

{displaystyle iiint _{V}nabla f,mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle fmathbf {n} mathrm {d} S.}

Con ${displaystyle mathbf {F} rightarrow mathbf {c} times mathbf {F} }$ para el campo vectorial $F$ y vector constante c:

{displaystyle iiint _{V}mathbf {c} cdot (nabla times mathbf {F}),mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle (mathbf {F} times mathbf {c})cdot mathbf {n} mathrm {d} S.}

Reordenando el triple producto en el lado derecho y sacando el vector constante de la integral,

{displaystyle iiint _{V}(nabla times mathbf {F}),mathrm {d} Vcdot mathbf {c} =}

{displaystyle scriptstyle S}

{displaystyle (mathrm {d} mathbf {S} times mathbf {F})cdot mathbf {c}.}

Por lo tanto,

{displaystyle iiint _{V}(nabla times mathbf {F}),mathrm {d} V=}

{displaystyle scriptstyle S}

{displaystyle mathbf {n} times mathbf {F} mathrm {d} S.}

Ejemplo

El campo vectorial correspondiente al ejemplo mostrado. Los vectores pueden apuntar o salir de la esfera.

El teorema de divergencia se puede utilizar para calcular un flujo a través de una superficie cerrada que encierra completamente un volumen, como cualquiera de las superficies de la izquierda. Puede no directamente se utiliza para calcular el flujo a través de superficies con límites, como los de la derecha. (Las superficies son azules, los límites son rojos.)

Supongamos que deseamos evaluar

scriptstyle S

{displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {n} ,mathrm {d} S,}

donde $S$ es la esfera unitaria definida por

{displaystyle S=left{(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1right},}

y $F$ es el campo vectorial

{displaystyle mathbf {F} =2xmathbf {i} +y^{2}mathbf {j} +z^{2}mathbf {k}.}

El cálculo directo de esta integral es bastante difícil, pero podemos simplificar la derivación del resultado usando el teorema de la divergencia, porque el teorema de la divergencia dice que la integral es igual a:

{displaystyle iiint _{W}(nabla cdot mathbf {F}),mathrm {d} V=2iiint _{W}(1+y+z),mathrm {d} V=2iiint _{W}mathrm {d} V+2iiint _{W}y,mathrm {d} V+2iiint _{W}z,mathrm {d} V,}

donde $W$ es la bola unitaria:

{displaystyle W=left{(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}leq 1right}.}

Dado que la función $y$ es positiva en un hemisferio de $W$ y negativa en la otra, de igual forma y opuesta, su integral total sobre $W$ es cero. Lo mismo es cierto para $z$ :

{displaystyle iiint _{W}y,mathrm {d} V=iiint _{W}z,mathrm {d} V=0.}

Por lo tanto,

scriptstyle S

{displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {n} ,mathrm {d} S=2iiint _{W},dV={frac {8pi }{3}},}

porque la bola unitaria $W$ tiene volumen $4 π / 3$ .

Aplicaciones

Formas diferenciales e integrales de las leyes físicas

Como resultado del teorema de la divergencia, una gran cantidad de leyes físicas se pueden escribir tanto en forma diferencial (donde una cantidad es la divergencia de otra) como en forma integral (donde el flujo de una cantidad a través de una superficie cerrada es igual a otra cantidad). Tres ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática), la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Gauss para la gravedad.

Ecuaciones de continuidad

Las ecuaciones de continuidad ofrecen más ejemplos de leyes con formas tanto diferenciales como integrales, relacionadas entre sí por el teorema de la divergencia. En dinámica de fluidos, electromagnetismo, mecánica cuántica, teoría de la relatividad y otros campos, existen ecuaciones de continuidad que describen la conservación de la masa, el momento, la energía, la probabilidad u otras cantidades. De forma genérica, estas ecuaciones establecen que la divergencia del flujo de la cantidad conservada es igual a la distribución de fuentes o sumideros de esa cantidad. El teorema de la divergencia establece que cualquier ecuación de continuidad puede escribirse en forma diferencial (en términos de divergencia) y en forma integral (en términos de flujo).

Leyes del cuadrado inverso

Cualquier ley del cuadrado inverso puede escribirse en una forma tipo ley de Gauss (con una forma diferencial e integral, como se describe arriba). Dos ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática), que se deriva de la ley de Coulomb del cuadrado inverso, y la ley de Gauss para la gravedad, que se deriva de la ley de Newton del cuadrado inverso. ley de la gravitación universal. La derivación de la ecuación tipo ley de Gauss a partir de la formulación del cuadrado inverso o viceversa es exactamente la misma en ambos casos; vea cualquiera de esos artículos para más detalles.

Historia

Joseph-Louis Lagrange introdujo la noción de integrales de superficie en 1760 y nuevamente en términos más generales en 1811, en la segunda edición de su Mécanique Analytique. Lagrange empleó integrales de superficie en su trabajo sobre mecánica de fluidos.. Descubrió el teorema de la divergencia en 1762.

Carl Friedrich Gauss también estaba usando integrales de superficie mientras trabajaba en la atracción gravitacional de un esferoide elíptico en 1813, cuando demostró casos especiales del teorema de la divergencia. Demostró casos especiales adicionales en 1833 y 1839. Pero fue Mikhail Ostrogradsky, quien dio la primera demostración del teorema general, en 1826, como parte de su investigación del flujo de calor. George Green demostró casos especiales en 1828 en An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, Siméon Denis Poisson en 1824 en un artículo sobre elasticidad y Frédéric Sarrus en 1828 en su trabajo sobre los cuerpos flotantes.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Para verificar la variante planar del teorema de divergencia para una región $R$ :

{displaystyle R=left{(x,y)in mathbb {R} ^{2}: x^{2}+y^{2}leq 1right},}

y el campo vectorial:

mathbf {F} (x,y)=2ymathbf {i} +5xmathbf {j}.

El límite $R$ es el círculo de la unidad, $C$ , que puede ser representado paramétricamente por:

x=cos(s),quad y=sin(s)

tales que ${displaystyle 0leq sleq 2pi }$ Donde $s$ unidades es el arco de longitud desde el punto $s=0$ hasta el punto $P$ on $C$ . Entonces una ecuación vectorial $C$ es

C(s)=cos(s)mathbf {i} +sin(s)mathbf {j}.

En un momento $P$ on $C$ :

P=(cos(s),,sin(s)),Rightarrow ,mathbf {F} =2sin(s)mathbf {i} +5cos(s)mathbf {j}.

Por lo tanto,

{displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {F} cdot mathbf {n} ,mathrm {d} s&=int _{0}^{2pi }(2sin(s)mathbf {i} +5cos(s)mathbf {j})cdot (cos(s)mathbf {i} +sin(s)mathbf {j}),mathrm {d} s\&=int _{0}^{2pi }(2sin(s)cos(s)+5sin(s)cos(s)),mathrm {d} s\&=7int _{0}^{2pi }sin(s)cos(s),mathrm {d} s\&=0.end{aligned}}}

Porque... ${displaystyle M=2y}$ , podemos evaluar ${displaystyle {frac {partial M}{partial x}}=0}$ , y porque ${displaystyle N=5x}$ , ${displaystyle {frac {partial N}{partial y}}=0}$ . Así

{displaystyle iint _{R},mathbf {nabla } cdot mathbf {F} ,mathrm {d} A=iint _{R}left({frac {partial M}{partial x}}+{frac {partial N}{partial y}}right),mathrm {d} A=0.}

Ejemplo 2

Digamos que queríamos evaluar el flujo del siguiente campo vectorial definido por ${displaystyle mathbf {F} =2x^{2}{textbf {i}}+2y^{2}{textbf {j}}+2z^{2}{textbf {k}}}$ vinculada por las siguientes desigualdades:

{displaystyle left{0leq xleq 3right}left{-2leq yleq 2right}left{0leq zleq 2pi right}}

Por el teorema de la divergencia,

{displaystyle iiint _{V}left(mathbf {nabla } cdot mathbf {F} right)mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle (mathbf {F} cdot mathbf {n}),mathrm {d} S.}

Ahora necesitamos determinar la divergencia de ${displaystyle {textbf {F}}}$ . Si $mathbf {F}$ es un campo vectorial tridimensional, luego la divergencia ${displaystyle {textbf {F}}}$ es dado por ${textstyle nabla cdot {textbf {F}}=left({frac {partial }{partial x}}{textbf {i}}+{frac {partial }{partial y}}{textbf {j}}+{frac {partial }{partial z}}{textbf {k}}right)cdot {textbf {F}}}$ .

Así, podemos configurar la siguiente integral de flujo $I =$ ${scriptstyle S}$ ${displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {n} ,mathrm {d} S,}$ como sigue:

{displaystyle {begin{aligned}I&=iiint _{V}nabla cdot mathbf {F} ,mathrm {d} V\[6pt]&=iiint _{V}left({frac {partial mathbf {F_{x}} }{partial x}}+{frac {partial mathbf {F_{y}} }{partial y}}+{frac {partial mathbf {F_{z}} }{partial z}}right)mathrm {d} V\[6pt]&=iiint _{V}(4x+4y+4z),mathrm {d} V\[6pt]&=int _{0}^{3}int _{-2}^{2}int _{0}^{2pi }(4x+4y+4z),mathrm {d} Vend{aligned}}}

Ahora que hemos establecido la integral, podemos evaluarla.

{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{3}int _{-2}^{2}int _{0}^{2pi }(4x+4y+4z),mathrm {d} V&=int _{-2}^{2}int _{0}^{2pi }(12y+12z+18),mathrm {d} y,mathrm {d} z\[6pt]&=int _{0}^{2pi }24(2z+3),mathrm {d} z\[6pt]&=48pi (2pi +3)end{aligned}}}

Generalizaciones

Múltiples dimensiones

Se puede utilizar el método generalizado de Stokes' teorema para igualar la integral de volumen $n$ -dimensional de la divergencia de un campo vectorial $F$ sobre una región $U$ a la $(n - 1)$ -integral de superficie dimensional de $F$ sobre el límite del estilo $U$ :

{displaystyle underbrace {int cdots int _{U}} _{n}nabla cdot mathbf {F} ,mathrm {d} V=underbrace {oint _{}cdots oint _{partial U}} _{n-1}mathbf {F} cdot mathbf {n} ,mathrm {d} S}

Esta ecuación también se conoce como el teorema de la divergencia.

Cuando $n = 2$ , esto es equivalente al teorema de Green.

Cuando $n = 1$ , se reduce al teorema fundamental del cálculo, parte 2.

Campos tensoriales

Escribiendo el teorema en notación de Einstein:

{displaystyle iiint _{V}{dfrac {partial mathbf {F} _{i}}{partial x_{i}}}mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle mathbf {F} _{i}n_{i},mathrm {d} S}

Sugerentemente, reemplazando el campo vectorial $F$ con un rango- $n$ campo tensor $T$ , esto se puede generalizar a:

{displaystyle iiint _{V}{dfrac {partial T_{i_{1}i_{2}cdots i_{q}cdots i_{n}}}{partial x_{i_{q}}}}mathrm {d} V=}

scriptstyle S

{displaystyle T_{i_{1}i_{2}cdots i_{q}cdots i_{n}}n_{i_{q}},mathrm {d} S.}

donde en cada lado se produce una contracción tensorial para al menos un índice. Esta forma del teorema todavía está en 3d, cada índice toma los valores 1, 2 y 3. Se puede generalizar aún más a dimensiones más altas (o más bajas) (por ejemplo, al espacio-tiempo 4d en relatividad general).

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