Teorema de la curva de Jordan

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División por una curva cerrada del avión en dos regiones

En topología, el teorema de la curva de Jordan afirma que cada curva de Jordan (una curva cerrada simple plana) divide el plano en un "interior" región limitada por la curva y un "exterior" región que contiene todos los puntos exteriores cercanos y lejanos. Cada camino continuo que conecta un punto de una región con un punto de la otra se cruza con la curva en alguna parte. Si bien el teorema parece intuitivamente obvio, se necesita algo de ingenio para demostrarlo por medios elementales. "Aunque el JCT es uno de los teoremas topológicos más conocidos, hay muchos, incluso entre los matemáticos profesionales, que nunca han leído una prueba de él." (Tverberg (1980, Introducción)). Las pruebas más transparentes se basan en la maquinaria matemática de la topología algebraica, y esto conduce a generalizaciones a espacios de dimensiones superiores.

El teorema de la curva de Jordan lleva el nombre del matemático Camille Jordan (1838–1922), quien encontró su primera prueba. Durante décadas, los matemáticos generalmente pensaron que esta prueba era defectuosa y que la primera prueba rigurosa fue realizada por Oswald Veblen. Sin embargo, esta noción ha sido anulada por Thomas C. Hales y otros.

Definiciones y enunciado del teorema de Jordan

Una curva de Jordan o una curva cerrada simple en el plano R² es la imagen C de un mapa inyectivo continuo de un círculo en el plano, φ: S¹ → R². Un arco de Jordan en el plano es la imagen de un mapa inyectivo continuo de un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$ en el plano. Es una curva plana que no es necesariamente suave ni algebraica.

Alternativamente, una curva de Jordan es la imagen de un mapa continuo φ: [0,1] → R² tal que φ(0) = φ(1) y la restricción de φ a [0,1) es inyectiva. Las dos primeras condiciones dicen que C es un bucle continuo, mientras que la última condición estipula que C no tiene puntos de autointersección.

Con estas definiciones, el teorema de la curva de Jordan se puede establecer de la siguiente manera:

Theorem—Vamos C ser una curva Jordan en el avión R². Entonces su complemento, R²C, consta de exactamente dos componentes conectados. Uno de estos componentes está atado (el interior) y el otro está sin límites (el exterior), y la curva C es el límite de cada componente.

En cambio, el complemento de un arco de Jordan en el plano es conexo.

Prueba y generalizaciones

El teorema de la curva de Jordan fue generalizado de forma independiente a dimensiones superiores por H. E. J. Brouwer en 1911, lo que resultó en el teorema de separación de Jordan-Brouwer.

Theorem—Vamos X ser un n-dimensional esfera topológica en eln+1)-dimensional Espacio euclidiano R^{n+ 1} ()n √≥ 0), es decir, la imagen de un mapeo continuo inyectable de la n-esférica Sⁿ en R^{n+ 1}. Luego el complemento Y de X dentro R^{n+ 1} consta de exactamente dos componentes conectados. Uno de estos componentes está atado (el interior) y el otro está sin límites (el exterior). El set X es su límite común.

La demostración utiliza la teoría de la homología. Primero se establece que, de manera más general, si X es homeomorfo a la esfera k, entonces los grupos de homología integral reducidos de Y = Rⁿ⁺¹ X son los siguientes:

{displaystyle {tilde {H}}_{q}(Y)={begin{cases}mathbb {Z}&q=n-k{text{ or }}q=n,\{0},&{text{otherwise}}.end{cases}}}

Esto se prueba por inducción en k usando la secuencia de Mayer-Vietoris. Cuando n = k, la homología cero-ésima reducida de Y tiene rango 1, lo que significa que Y tiene 2 conectados componentes (que, además, están conectados por caminos), y con un poco de trabajo extra, se muestra que su límite común es X. J. W. Alexander encontró una generalización adicional, quien estableció la dualidad de Alexander entre la homología reducida de un subconjunto compacto X de R^{n +1} y la cohomología reducida de su complemento. Si X es una subvariedad conexa compacta n-dimensional de Rⁿ⁺¹ (o Sⁿ⁺¹) sin límite, su complemento tiene 2 componentes conexas.

Hay un refuerzo del teorema de la curva de Jordan, llamado teorema de Jordan-Schönflies, que establece que las regiones planas interior y exterior determinadas por una curva de Jordan en R² son homeomorfas al interior y al exterior de la unidad de disco. En particular, para cualquier punto P en la región interior y un punto A en la curva de Jordan, existe un arco de Jordan que conecta P con A y, con la excepción del punto final A, completamente en la región interior. Una formulación alternativa y equivalente del teorema de Jordan-Schönflies afirma que cualquier curva de Jordan φ: S¹ → R ², donde S¹ se ve como el círculo unitario en el plano, se puede extender a un homeomorfismo ψ: R² → R² del avión. A diferencia de la generalización del teorema de la curva de Jordan de Lebesgue y Brouwer, esta afirmación se vuelve falsa en dimensiones superiores: mientras que el exterior de la bola unitaria en R ³ es simplemente conexo, porque se retrae en la esfera unitaria, la esfera con cuernos de Alejandro es un subconjunto de R³ homeomorfo a una esfera, pero tan torcido en el espacio que la componente ilimitada de su complemento en R³ no está simplemente conectada y, por lo tanto, no es homeomorfa con el exterior de la bola unitaria.

Versión discreta

El teorema de la curva de Jordan se puede demostrar a partir del teorema del punto fijo de Brouwer (en 2 dimensiones), y el teorema del punto fijo de Brouwer se puede demostrar a partir del teorema de Hex: "cada juego de Hex tiene al menos un ganador" 34;, de donde obtenemos una implicación lógica: el teorema de Hex implica el teorema del punto fijo de Brouwer, que implica el teorema de la curva de Jordan.

Está claro que el teorema de la curva de Jordan implica el "teorema de Hex fuerte": "cada juego de Hex termina con exactamente un ganador, sin posibilidad de que ambos lados pierdan o ambos lados ganen", por lo tanto, el teorema de la curva de Jordan es equivalente al teorema de Hex fuerte, que es un teorema puramente discreto.

El teorema del punto fijo de Brouwer, al estar intercalado entre los dos teoremas equivalentes, también es equivalente a ambos.

En matemáticas inversas y matemáticas formalizadas por computadora, el teorema de la curva de Jordan se suele probar primero convirtiéndolo en una versión discreta equivalente similar al teorema Hex fuerte y luego probando la versión discreta.

Aplicación al procesamiento de imágenes

En el procesamiento de imágenes, una imagen binaria es una cuadrícula cuadrada discreta de 0 y 1, o equivalentemente, un subconjunto compacto de ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ . Invariantes Topológicos en $R^2$ , como el número de componentes, podría no estar bien definido ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ si ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ no tiene una estructura gráfica apropiadamente definida.

Hay dos estructuras gráficas obvias ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ :

la cuadrícula cuadrada de 4 vecinos, donde cada vértice $(x,y)$ está conectado con ${displaystyle (x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)}$ .
la "rejilla cuadrada de 8 vecinos", donde cada vértice $(x,y)$ está conectado con $(x',y')$ Sip ${displaystyle |x-x'|leq 1,|y-y'|leq 1}$ , y ${displaystyle (x,y)neq (x',y')}$ .

Ambas estructuras gráficas no satisfacen el fuerte teorema Hex. La cuadrícula cuadrada de 4 vecinos permite una situación sin ganador, y la cuadrícula cuadrada de 8 vecinos permite una situación de dos ganadores. En consecuencia, propiedades de conexión en $R^2$ , como el teorema curva Jordania, no generalizar ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ bajo cualquier estructura gráfica.

Si se impone la estructura de "rejilla cuadrada de 6 vecinos" ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ , entonces es la rejilla hexagonal, y así satisface el fuerte teorema Hex, permitiendo que el teorema curva Jordan se generalice. Por esta razón, cuando se computan componentes conectados en una imagen binaria, la cuadrícula cuadrada de 6 vecinos se utiliza generalmente.

Teorema del tablero de ajedrez de Steinhaus

El teorema del tablero de ajedrez de Steinhaus en cierto sentido muestra que la cuadrícula de 4 vecinos y la cuadrícula de 8 vecinos "juntos" implica el teorema de la curva de Jordan, y la cuadrícula de 6 vecinos es una interpolación precisa entre ellos.

El teorema afirma que: supongamos que pones bombas en algunos cuadrados en un $ntimes n$ tablero de ajedrez, para que un rey no pueda moverse de la parte inferior a la parte superior sin pisar una bomba, entonces un ladrón puede moverse de la parte izquierda a la derecha pisando sólo en bombas.

Historia y más pruebas

El enunciado del teorema de la curva de Jordan puede parecer obvio al principio, pero es un teorema bastante difícil de probar. Bernard Bolzano fue el primero en formular una conjetura precisa, observando que no era un enunciado evidente por sí mismo, sino que requería una demostración. Es fácil establecer este resultado para polígonos, pero el problema vino a generalizarlo a todo tipo de curvas mal comportadas, que incluyen curvas no diferenciables en ninguna parte, como el copo de nieve de Koch y otras curvas fractales, o incluso una curva de Jordan de área positiva construida por Osgood (1903).

La primera demostración de este teorema fue dada por Camille Jordan en sus conferencias sobre análisis real, y fue publicada en su libro Cours d'analyse de l'École Polytechnique. Existe cierta controversia acerca de si la prueba de Jordan estaba completa: la mayoría de los comentaristas han afirmado que la primera prueba completa fue dada más tarde por Oswald Veblen, quien dijo lo siguiente sobre la prueba de Jordan:

Su prueba, sin embargo, es insatisfactoria para muchos matemáticos. Asume el teorema sin pruebas en el importante caso especial de un polígono simple, y del argumento desde ese punto en adelante, hay que admitir al menos que no se dan todos los detalles.

Sin embargo, Thomas C. Hales escribió:

Casi todas las citas modernas que he encontrado coinciden en que la primera prueba correcta es debido a Veblen... En vista de la dura crítica de la prueba de Jordania, me sorprendió cuando me senté para leer su prueba de no encontrar nada que objetar. Desde entonces, he contactado con varios de los autores que han criticado a Jordania, y cada caso el autor ha admitido no tener conocimiento directo de un error en la prueba de Jordania.

Hales también señaló que el caso especial de los polígonos simples no solo es un ejercicio fácil, sino que Jordan no lo usó realmente, y citó a Michael Reeken diciendo:

La prueba de Jordan es esencialmente correcta... La prueba de Jordania no presenta los detalles de manera satisfactoria. Pero la idea es correcta, y con algunos puliendo la prueba sería impecable.

Anteriormente, la prueba de Jordan y otra prueba temprana de Charles Jean de la Vallée Poussin ya habían sido analizadas críticamente y completadas por Schoenflies (1924).

Debido a la importancia del teorema de la curva de Jordan en la topología de baja dimensión y el análisis complejo, recibió mucha atención de destacados matemáticos de la primera mitad del siglo XX. J. W. Alexander, Louis Antoine, Ludwig Bieberbach, Luitzen Brouwer, Arnaud Denjoy, Friedrich Hartogs, Béla Kerékjártó, Alfred Pringsheim y Arthur Moritz Schoenflies construyeron varias demostraciones del teorema y sus generalizaciones.

Se siguen realizando nuevas demostraciones elementales del teorema de la curva de Jordan, así como simplificaciones de las demostraciones anteriores.

Las pruebas elementales fueron presentadas por Filippov (1950) y Tverberg (1980).
Una prueba usando análisis no estándar por Narens (1971).
Una prueba usando matemáticas constructivas por Gordon O. Berg, W. Julian, y R. Mines et al. (1975).
Una prueba usando el teorema de punto fijo Brouwer por Maehara (1984).
Una prueba usando la no-planaridad del gráfico bipartito completo K_3,3 fue dado por Thomassen (1992).

La raíz de la dificultad se explica en Tverberg (1980) como sigue. Es relativamente simple probar que el teorema de curva de Jordania tiene para cada polígono de Jordania (Lema 1), y cada curva de Jordania puede ser aproximada arbitrariamente bien por un polígono de Jordania (Lema 2). Un polígono de Jordania es una cadena poligonal, el límite de un conjunto abierto conectado atado, lo llaman el polígono abierto, y su cierre, el polígono cerrado. Considere el diámetro $delta$ del disco más grande contenido en el polígono cerrado. Evidentemente, $delta$ es positivo. Usando una secuencia de polígonos de Jordania (que convergen a la curva dada de Jordania) tenemos una secuencia ${displaystyle delta _{1},delta _{2},dots }$ presumiblemente convergiendo a un número positivo, el diámetro $delta$ del disco más grande contenido en la región cerrada atado por la curva de Jordania. Sin embargo, tenemos que prueba que la secuencia ${displaystyle delta _{1},delta _{2},dots }$ no converge a cero, utilizando sólo la curva dada de Jordania, no la región presumiblemente atado por la curva. Este es el punto de la Lemma 3 de Tverberg. Aproximadamente, los polígonos cerrados no deben delgados a cero en todas partes. Además, no deben delgado a cero en alguna parte, que es el punto de la Lema 4 de Tverberg.

La primera prueba formal del teorema de curva de Jordania fue creada por Hales (2007a) en el sistema HOL Light, en enero de 2005, y contenía alrededor de 60.000 líneas. Otra rigurosa prueba formal de 6.500 líneas fue producida en 2005 por un equipo internacional de matemáticos utilizando el sistema Mizar. Tanto el mago como la prueba HOL Light dependen de bibliotecas de teoremas previamente probados, por lo que estos dos tamaños no son comparables. Nobuyuki Sakamoto y Keita Yokoyama (2007) demostraron que en matemáticas inversas el teorema curva Jordan es equivalente a la lema débil de Kőnig sobre el sistema ${mathsf {RCA}}_{0}$ .

Solicitud

En geometría computacional, el teorema de la curva de Jordan se puede usar para probar si un punto se encuentra dentro o fuera de un polígono simple.

Desde un punto dado, trace un rayo que no pase por ningún vértice del polígono (son convenientes todos los rayos excepto un número finito). Luego, calcule el número $n$ de intersecciones del rayo con un borde del polígono. La prueba del teorema de la curva de Jordan implica que el punto está dentro del polígono si y solo si $n$ es impar.

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