Teorema de la categoría de Baire

El teorema de la categoría de Baire (BCT) es un resultado importante en topología general y análisis funcional. El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales proporciona condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire (un espacio topológico tal que la intersección de muchos conjuntos abiertos numerables densos sigue siendo denso). Se utiliza en la prueba de resultados en muchas áreas de análisis y geometría, incluidos algunos de los teoremas fundamentales del análisis funcional.

Las versiones del teorema de la categoría Baire fueron probadas independientemente en 1897 por Osgood para la línea real R{displaystyle mathbb {R} y en 1899 por Baire para el espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}.

Declaración

Un espacio de Baire es un espacio topológico X{displaystyle X} en que cada intersección contable de conjuntos densos abiertos es denso en X.{displaystyle X.} Vea el artículo correspondiente para una lista de caracterizaciones equivalentes, ya que algunos son más útiles que otros dependiendo de la aplicación.

• ()BCT1) Cada espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. En particular, todo espacio topológico completamente metrotable es un espacio de Baire.
• ()BCT2) Cada espacio regular localmente compacto es un espacio de Baire. En particular, cada espacio Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire.

Ninguna de estas afirmaciones implica directamente la otra, ya que existen espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida a continuación; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita), y existen espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizables (por ejemplo, cualquier producto incontable de espacios de Hausdorff compactos no triviales es tal; también, varios espacios de función utilizados en el análisis funcional; el espacio de Fort incontable). Ver Steen y Seebach en las referencias a continuación.

Relación con el axioma de elección

La prueba de BCT1 para espacios métricos completos arbitrarios requiere alguna forma del axioma de elección; y de hecho BCT1 es equivalente sobre ZF al axioma de elección dependiente, una forma débil del axioma de elección.

Una forma restringida del teorema de la categoría Baire, en la que también se supone que el espacio métrico completo es separable, es provable en ZF sin principios de elección adicionales. Esta forma restringida se aplica en particular a la línea real, el espacio de Baire ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ,{displaystyle omega ^{omega } el espacio Cantor 2⋅ ⋅ ,{displaystyle 2^{omega } y un espacio separable Hilbert como el Lp− − {displaystyle L^{p}-espacio L2()Rn).{displaystyle L^{2}left(mathbb {R}}right).}

Usos

BCT1 se utiliza en el análisis funcional para probar el teorema de mapeo abierto, el teorema del gráfico cerrado y el principio de acotación uniforme.

BCT1 también muestra que todo espacio métrico completo no vacío sin punto aislado es incontable. (Si) X{displaystyle X} es un espacio métrico indeseable sin punto aislado, luego cada singleton {}x}{displaystyle {x}} dentro X{displaystyle X} no es denso, y X{displaystyle X} es meragre en sí mismo.) En particular, esto demuestra que el conjunto de todos los números reales es incontable.

BCT1 muestra que cada uno de los siguientes es un espacio de Baire:

• El espacio R{displaystyle mathbb {R} de números reales
• Los números irracionales, con la métrica definida por d()x,Sí.)=1n+1,{displaystyle d(x,y)={tfrac {1}{n+1}}} Donde n{displaystyle n} es el primer índice para el cual las continuas expansiones de fracciones x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} diferente (este es un espacio métrico completo)
• El conjunto Cantor

Por BCT2, toda variedad de Hausdorff de dimensión finita es un espacio de Baire, ya que es localmente compacto y Hausdorff. Esto es así incluso para variedades no paracompactas (por lo tanto, no metrizables) como la línea larga.

BCT se utiliza para probar el teorema de Hartogs, un resultado fundamental en la teoría de varias variables complejas.

BCT1 se utiliza para demostrar que un espacio de Banach no puede tener una dimensión numerable infinita.

Prueba

()BCT1) Lo siguiente es una prueba estándar de que un espacio pseudométrico completo X{displaystyle X} es un espacio de Baire.

Vamos U1,U2,...... {displaystyle U_{1},U_{2},ldots } ser una colección contable de subconjuntos densos abiertos. Queda por demostrar que la intersección U1∩ ∩ U2∩ ∩ ...... {displaystyle U_{1}cap U_{2}cap ldots } Es denso. Un subconjunto es denso si y sólo si cada subconjunto abierto no vacío lo interseca. Así, para demostrar que la intersección es densa, basta demostrar que cualquier subconjunto abierto no vacío W{displaystyle W. de X{displaystyle X} tiene un punto x{displaystyle x} en común con todos los Un{displaystyle U_{n}. Porque... U1{displaystyle U_{1} es denso, W{displaystyle W. intersects U1;{displaystyle U_{1};} En consecuencia, existe un punto x1{displaystyle x_{1}} y un número <math alttext="{displaystyle 0<r_{1}0.r1.1{displaystyle 0 won_{1}traducido1}<img alt="{displaystyle 0<r_{1} tal que:

B̄ ̄ ()x1,r1)⊆ ⊆ W∩ ∩ U1{displaystyle [overline {B}left(x_{1},r_{1}right)subseteq Wcap U_{1}

B()x,r){displaystyle B(x,r)}

B̄ ̄ ()x,r){displaystyle {B}(x,r)}

x{displaystyle x}

r.{displaystyle r.}

Un{displaystyle U_{n}

xn{displaystyle x_{n}

B̄ ̄ ()xn,rn)⊆ ⊆ B()xn− − 1,rn− − 1)∩ ∩ Un.{displaystyle {overline {B}left(x_{n},r_{n}right)subseteq Bleft(x_{n-1},r_{n-1}right)cap U_{n}

(Este paso se basa en el axioma de elección y el hecho de que una intersección finita de conjuntos abiertos está abierta y por lo tanto una bola abierta se puede encontrar dentro de él centrado en xn{displaystyle x_{n}.) La secuencia ()xn){displaystyle left(x_{n}right)} es Cauchy porque xn▪ ▪ B()xm,rm){displaystyle x_{n}in Bleft(x_{m},r_{m}right)} siempre m,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■m,{displaystyle n títulom,}m,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55fd464102d10bc5b8685a9c31eae0495e79079" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.18ex; height:2.176ex;"/> y por consiguiente ()xn){displaystyle left(x_{n}right)} converge a algún límite x{displaystyle x} por completo. Si n{displaystyle n} es un entero positivo entonces x▪ ▪ B̄ ̄ ()xn,rn){displaystyle xin {fn}left(x_{n},r_{n}right)} (porque este set está cerrado). Así x▪ ▪ W{displaystyle xin W} y x▪ ▪ Un{displaystyle xin U_{n} para todos n.{displaystyle n.} ◼ ◼ {displaystyle blacksquare }

Hay una prueba alternativa utilizando el juego de Choquet.

()BCT2) La prueba de que un espacio regular localmente compacto X{displaystyle X} es un espacio de Baire es similar. Utiliza los hechos que (1) en tal espacio cada punto tiene una base local de barrios compactos cerrados; y (2) en un espacio compacto cualquier colección de conjuntos cerrados con la propiedad de intersección finita tiene intersección no vacía. El resultado para espacios Hausdorff locales es un caso especial, ya que estos espacios son regulares.