Teorema de la bola peluda

El teorema de la bola peluda de topología algebraica (a veces llamado teorema del erizo en Europa) establece que no existe un campo vectorial tangente continuo que no desaparezca en n-esferas de dimensiones pares. Para la esfera ordinaria, o 2 esferas, si f es una función continua que asigna un vector en R³ a cada punto p en una esfera tal que f(p) es siempre tangente a la esfera en p, entonces hay al menos una polo, un punto donde el campo desaparece (un p tal que f(p) = 0).

El teorema fue demostrado por primera vez por Henri Poincaré para la 2 esfera en 1885, y extendido a dimensiones pares superiores en 1912 por Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

El teorema se ha expresado coloquialmente como "no se puede peinar una bola peluda sin crear un mechón" o "no se puede peinar el cabello con un coco".

Contando ceros

Cada cero de un campo vectorial tiene un "índice" (distinto de cero), y se puede demostrar que la suma de todos los índices en todos los ceros debe ser dos, porque el método de Euler La característica de las 2 esferas es dos. Por tanto, debe haber al menos un cero. Ésta es una consecuencia del teorema de Poincaré-Hopf. En el caso del toro, la característica de Euler es 0; y es posible "peinar un donut peludo". A este respecto, se deduce que para cualquier variedad bidimensional regular compacta con característica de Euler distinta de cero, cualquier campo vectorial tangente continuo tiene al menos un cero.

Aplicación a la infografía

Un problema común en los gráficos por computadora es generar un vector distinto de cero en R³ que sea ortogonal a un vector distinto de cero dado. No existe una única función continua que pueda hacer esto para todas las entradas vectoriales distintas de cero. Este es un corolario del teorema de la bola peluda. Para ver esto, considere el vector dado como el radio de una esfera y tenga en cuenta que encontrar un vector distinto de cero ortogonal al dado es equivalente a encontrar un vector distinto de cero que sea tangente a la superficie de esa esfera donde toca el radio. Sin embargo, el teorema de la bola peluda dice que no existe una función continua que pueda hacer esto para cada punto de la esfera (de manera equivalente, para cada vector dado).

Conexión Lefschetz

Existe un argumento estrechamente relacionado con la topología algebraica, que utiliza el teorema del punto fijo de Lefschetz. Dado que los números de Betti de una 2 esferas son 1, 0, 1, 0, 0,... el número de Lefschetz (rastro total de homología) del mapeo de identidad es 2. Integrando un vector campo obtenemos (al menos una pequeña parte de) un grupo de difeomorfismos de un parámetro en la esfera; y todas las asignaciones en él son homotópicas a la identidad. Por lo tanto, todos ellos también tienen el número 2 de Lefschetz. Por tanto, tienen puntos fijos (ya que el número de Lefschetz es distinto de cero). Se necesitaría algo más de trabajo para demostrar que esto implica que en realidad debe haber un cero en el campo vectorial. Sugiere el enunciado correcto del teorema más general del índice de Poincaré-Hopf.

Corolario

Una consecuencia del teorema de la bola peluda es que cualquier función continua que mapee una esfera de dimensiones pares dentro de sí misma tiene un punto fijo o un punto que mapee su propio punto antípoda. Esto se puede ver transformando la función en un campo vectorial tangencial de la siguiente manera.

Sea s la función que asigna la esfera a sí misma y sea v la función vectorial tangencial que se va a construir. Para cada punto p, construya la proyección estereográfica de s(p) con p como punto de tangencia. Entonces v(p) es el vector de desplazamiento de este punto proyectado con respecto a p. Según el teorema de la bola peluda, existe un p tal que v(p) = 0, de modo que s(p) = p.

Este argumento se desmorona sólo si existe un punto p para el cual s(p) es el punto antípoda de p , ya que dicho punto es el único que no puede proyectarse estereográficamente en el plano tangente de p.

Otro corolario es que cualquier espacio de proyecto incluso dimensiones tiene la propiedad de punto fijo. Esto se deriva del resultado anterior mediante el levantamiento de funciones continuas ${displaystyle mathbb {RP}$ en sí mismo a las funciones de ${displaystyle S^{2n}$ en sí mismo.

Dimensiones superiores

La conexión con la característica de Euler χ sugiere la generalización correcta: la 2n-esfera no tiene un campo vectorial que no desaparezca para n ≥ 1. La diferencia entre dimensiones pares e impares es que, debido a que los únicos números de Betti distintos de cero de la esfera m son b₀ y b_m, sus La suma alterna χ es 2 para m par y 0 para m impar.

De hecho, es fácil ver que una esfera extraña admite un campo vectorial no-vanecedor a través de un proceso simple de considerar las coordenadas del espacio euclidiano incluso-dimensional ambiente ${displaystyle mathbb {R} {2n}$ en parejas. Es decir, uno puede definir un campo vectorial tangente ${displaystyle S^{2n-1}$ especificando un campo vectorial ${displaystyle v:mathbb {R} {2n}to mathbb {R} {2n}$ dado por

${displaystyle v(x_{1},dotsx_{2n}=(x_{2},-x_{1},dotsx_{2n},-x_{2n-1}). }$

Para que este campo vectorial se limite a un campo vectorial tangente a la esfera unidad ${displaystyle S^{2n-1}subset mathbb {R} {2n}$ es suficiente para verificar que el producto de punto con un vector de unidad de la forma ${displaystyle x=(x_{1},dotsx_{2n}}$ satisfacción ${displaystyle Toddxfnh00}$ desaparece. Debido a la unión de coordenadas, se ve

$[displaystyle v(x_{1},dotsx_{2n})bullet (x_{1},dotsx_{2n})=(x_{2}x_{1}-x_{1}x_{2n-1})+cdots +(x_{2n-1}-x_{2n-1} }$

Para un 2n- esfera, el espacio euclidiano ambiente es ${displaystyle mathbb {R} {2n+1}$ lo que es extraño-dimensional, y por lo tanto este proceso simple de las coordenadas de emparejamiento no es posible. Si bien esto no excluye la posibilidad de que todavía exista un campo vectorial tangente a la esfera incluso-dimensional que no desaparece, el teorema de bolas peludo demuestra que de hecho no hay forma de construir tal campo vectorial.

Ejemplificaciones físicas

El teorema de la bola peluda tiene numerosos ejemplos físicos. Por ejemplo, la rotación de una bola rígida alrededor de su eje fijo da lugar a un campo vectorial tangencial continuo de velocidades de los puntos ubicados en su superficie. Este campo tiene dos puntos de velocidad cero, que desaparecen después de perforar la bola completamente a través de su centro, convirtiendo así la bola en el equivalente topológico de un toroide, un cuerpo al que no se aplica el teorema de la “bola peluda”. El teorema de la bola peluda se puede aplicar con éxito para el análisis de la propagación de ondas electromagnéticas, en el caso en que el frente de onda forme una superficie topológicamente equivalente a una esfera (la superficie posee la característica de Euler χ = 2). Aparecerá necesariamente al menos un punto de la superficie en el que los vectores de campos eléctricos y magnéticos sean iguales a cero. En ciertas 2 esferas del espacio de parámetros para ondas electromagnéticas en plasmas (u otros medios complejos), este tipo de "remolinos" o "puntos calvos" También aparecen, lo que indica que existe excitación topológica, es decir, ondas robustas que son inmunes a la dispersión y los reflejos, en los sistemas. Si se idealiza el viento en la atmósfera terrestre como un campo vectorial tangente, entonces el teorema de la bola peluda implica que, dado cualquier viento en la superficie de la Tierra, en todo momento debe haber un ciclón en alguna parte. Sin embargo, tenga en cuenta que el viento puede moverse verticalmente en la atmósfera, por lo que el caso ideal no es meteorológicamente sólido. (Lo que es es cierto es que por cada "capa" de atmósfera alrededor de la Tierra, debe haber un punto en la capa donde el viento no se mueve horizontalmente.) El teorema también tiene implicaciones en el modelado por computadora (incluido el diseño de videojuegos), en el que un problema común es calcular un vector 3-D distinto de cero que sea ortogonal (es decir, perpendicular) a uno dado; El teorema de la bola peluda implica que no existe una única función continua que realice esta tarea.