Teorema de la bisectriz del ángulo

En geometría, la ángulo bisector teorema se preocupa por las longitudes relativas de los dos segmentos que el lado de un triángulo se divide en una línea que se biseca el ángulo opuesto. equipara sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.

Theorem

Considerar un triángulo ABC. Dejar el bisector de ángulo ∠ A intersect side BC en un momento D entre B y C. El teorema bisector del ángulo indica que la relación de la longitud del segmento de línea BD a la longitud del segmento CD es igual a la relación de la longitud del lado AB a la longitud del lado AC:

${\displaystyle {\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc}}={\fnMicroc - ¿Qué?$

y a la inversa, si un punto D en el lado BC de △ABC divide BC en la misma proporción que los lados AB y AC, luego AD es la bisectriz del ángulo ∠ A.

El teorema de la bisectriz generalizada establece que si D se encuentra en la recta BC, luego

${\displaystyle {\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc}}={\fnMicroc { enfermeras\sin \angle DAB}{ arrestAC sometida\sin \angle DAC}}$

Esto se reduce a la versión anterior si AD es la bisectriz de ∠ BAC. Cuando D es externo al segmento < span style="text-decoration:overline;">BC, en el cálculo se deben utilizar segmentos de línea dirigidos y ángulos dirigidos.

El teorema de la bisectriz de un ángulo se usa comúnmente cuando se conocen las bisectrices de los ángulos y las longitudes de los lados. Se puede utilizar en un cálculo o en una prueba.

Una consecuencia inmediata del teorema es que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles también bisecará el lado opuesto.

Pruebas

Existen muchas formas diferentes de demostrar el teorema de la bisectriz del ángulo. Algunos de ellos se muestran a continuación.

Demostración usando triángulos semejantes

Como se muestra en la animación acompañante, el teorema se puede probar utilizando triángulos similares. En la versión ilustrada aquí, el triángulo ${\displaystyle \triangle ABC}$ se refleja en una línea perpendicular al bisector del ángulo ${\displaystyle AD.$, resultando en el triángulo ${\displaystyle \triangle AB_{2}C_{2}}$ con bisector ${\displaystyle AD_{2}$. El hecho de que los ángulos producidos por la bisección ${\displaystyle \angle BAD}$ y ${\displaystyle \angle CAD}$ son iguales significa que ${\displaystyle BAC_{2}$ y ${\displaystyle CAB_{2}$ son líneas rectas. Esto permite la construcción del triángulo ${\displaystyle \triangle C_{2}BC}$ que es similar a ${\displaystyle \triangle ABD}$. Debido a que las relaciones entre los lados correspondientes de triángulos similares son todos iguales, sigue que ${\displaystyle Накововывывывововованый ные ные ные ные ные ные ные ные ные нели ныхованый ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный$. Sin embargo, ${\displaystyle AC_{2}$ fue construido como un reflejo de la línea ${\displaystyle AC.$, y por lo tanto esas dos líneas son de igual longitud. Por lo tanto, ${\displaystyle Накововывывывывывыеный некиваный ные ные ные ные ные ные ные неполи ный ный ныховый ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ны$, dando el resultado declarado por el teorema.

Demostración utilizando la ley de los senos

En el diagrama anterior, utilice la ley de los senos en los triángulos △ABD y △ACD :

${\displaystyle {\frac {\fnK} {\fnK}}={\frac {\sin \angle ADB}{\sin \angle DAB}}}}$

()1)

${\displaystyle {\frac {\fnh00}{\fc}={\fc {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}}$

()2)

Los ángulos ∠ ADB y ∠ ADC forman una línea par, es decir, son ángulos suplementarios adyacentes. Como los ángulos suplementarios tienen senos iguales,

${\displaystyle {\sin \angle ADB}={\sin \angle ADC}$

Angles ∠ DAB y ∠ DAC son iguales. Por lo tanto, los lados de mano derecha de las ecuaciones (1) y (2) son iguales, por lo que sus lados izquierdos también deben ser iguales.

${\displaystyle {\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc}}={\fnMicroc - ¿Qué?$

que es el teorema bisector angular.

Si ángulos ∠ DAB, ∠ DAC son desiguales, ecuaciones (1) y (2) puede ser re-escrito como:

${\displaystyle {\frac {\fnMicroc {\fnK}}\sin \angle DAB=\sin \angle ADB}}$

${\displaystyle {\frac {\fch00}\sin \angle DAC=\sin \angle ADC}$

Los ángulos ∠ ADB, ∠ ADC siguen siendo suplementarios, por lo que los lados derechos de estas ecuaciones siguen siendo iguales , entonces obtenemos:

${\displaystyle {\frac {\fc {\fnh00} {\fnK}\sin\angle DAB={\frac {\fc {\fc {\cHFF}}\sin \angle DAC}}}$

que reorganiza a la categoría "generalizada" versión del teorema.

Demostración usando altitudes de triángulos

Sea D un punto en la recta BC, distinto de B o C y tal que AD no es una altitud del triángulo △ABC.

Vamos. B₁ ser la base (pie) de la altitud en el triángulo ABD a través de B y dejar C₁ ser la base de la altitud en el triángulo ACD a través de C. Entonces, si D es estrictamente entre B y C, uno y sólo uno de B₁ o C₁ mentiras dentro ABC y puede ser asumido sin pérdida de generalidad que B₁ Sí. Este caso se describe en el diagrama adyacente. Si D mentiras fuera del segmento BC, entonces ninguno B₁ ni C₁ miente dentro del triángulo.

∠ DB₁B, ∠ DC₁ C son ángulos rectos, mientras que los ángulos ∠ B₁DB, ∠ C₁DC son congruentes si D se encuentra en el segmento BC (es decir, entre B y C) y son idénticos en los demás casos considerados, por lo que los triángulos △DB_{1B, △DC1C} son similares (AAA), lo que implica que:

${\displaystyle {\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc}}={\fnMicroc Oh, Dios mío. { enfermeras\sin \angle BAD}{ arrestAC sometida\sin \angle CAD}}$

Si D es el pie de una altitud, entonces,

${\displaystyle {\frac {\fnMicroc {\fnK}}=\sin \angle \ BAD{\text{ y }}{\frac}}{\f}}}}\fnMicroc - ¿Qué?$

y la forma generalizada sigue.

Demostración usando áreas de triángulos

Una prueba rápida se puede obtener mirando la relación de las áreas de los dos triángulos BAD, CAD, que se crean por el bisector de ángulo en A. Computing those areas twice using different formulas, that is ${\displaystyle {\tfrac}{2}gh}$ con base g y altitud h y ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}ab\sin(\gamma)}$ con lados a, b y su ángulo cerrado γ, dará el resultado deseado.

Vamos. h denota la altura de los triángulos en la base BC y ${\displaystyle \alpha }$ ser la mitad del ángulo en A. Entonces...

${\displaystyle {\frac {\fnMicroc} ABD sobrevivió. {1}{2} {1}{2} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnK}} {\fnMicrosoft}}}$

y

${\displaystyle {\frac {\fnMicroc} ABD sobrevivió. {1}{2} {} {\fnMicroc {1}}} {\fnMicroc}} {\fnMicroc}} {\fnMicroc}}} {\fnMicroc}}} {\fnMicroc}}}}}}={\frac {\fnK} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}}}} {\fnK}}}}}}$

rendimiento

${\displaystyle {\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc}}={\fnMicroc Oh, Dios mío.$

Longitud del bisector del ángulo

La longitud del bisector del ángulo ${\displaystyle d}$ puede ser encontrado por ${\textstyle d^{2}=bc-mn=mn(k^{2}-1)=bc\left(1-{\frac {1}{k^{2}}\right)}$,

Donde ${\displaystyle k={\frac {b} {n}={\frac} {c} {m}={\frac} {b+c}{a}}$ es la constante de proporcionalidad del teorema bisector angular.

Demostración: Según el teorema de Stewart, tenemos

${2} {2}n} {2}n}=m} {2}n=m}\n)\k} {2}m+n)}m+(km)}{2}n}n {2}n}n} {2}n}m} {2}n}m}{2}n\m^d\m}{2}m}{2}n} {\m}{2}{2}n}n} {\m} {\m}{2}{2}n}{2}n}n}n}{2}n} {\n}n}n} {\n} {\n} {\n} {\n}n}n} {\n}n}n} {\n}n} {\n} {\n}n}n} {\n} {\n} {\n} {\n} {\n}n}n}n} {\n} {\n} {\n} {\n} {\n}\n}n}\n}n}n}n}}}}n}n}$

Bisectrices de ángulos exteriores

Para los bisectores de ángulo exterior en un triángulo no equilateral existen ecuaciones similares para las proporciones de las longitudes de los lados del triángulo. Más precisamente si el bisector del ángulo exterior A interseca el lado extendido BC dentro E, el bisector de ángulo exterior en B interseca el lado extendido AC dentro D y el bisector de ángulo exterior en C interseca el lado extendido AB dentro F, entonces las siguientes ecuaciones sostienen:

${\displaystyle {\frac {\fnMicroc} {\fnMicroc}}={\fnMicroc {\fnK} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}}}} {\fnK}}}}}}$, ${\displaystyle {\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc}}={\f} {\fnK} {\fnMicrosoft}}}$, ${\displaystyle {\frac {\fnK} {\fnMicroc}}={\fnMicroc {\fnK} {\fnK}}$

Los tres puntos de intersección entre las bisectrices del ángulo exterior y los lados extendidos del triángulo D, E, F son colineales, es decir ¿Se encuentran en una línea común?

Historia

El teorema de la bisectriz del ángulo aparece como la Proposición 3 del Libro VI de los Elementos de Euclides. Según Heath (1956, p. 197 (vol. 2)), Robert Simson dio la declaración correspondiente para una bisectriz de ángulo externo, quien señaló que Pappus asumió este resultado sin pruebas. Heath continúa diciendo que Augustus De Morgan propuso que las dos declaraciones se combinaran de la siguiente manera:

Si un ángulo de un triángulo es bisecado interna o externamente por una línea recta que corta el lado opuesto o el lado opuesto producido, los segmentos de ese lado tendrán la misma relación que los otros lados del triángulo; y, si un lado de un triángulo se divide interna o externamente para que sus segmentos tengan la misma relación que los otros lados del triángulo, la línea recta dibujada desde el punto de la sección al punto angular que es opuesto al primer bisecto.

Aplicaciones

Este teorema se ha utilizado para demostrar los siguientes teoremas/resultados:

• Coordenadas del incentro de un triángulo
• Círculos de Apolonio