Teorema de la base de Hilbert

En matemáticas, específicamente en álgebra conmutativa, el teorema de la base de Hilbert dice que un anillo polinomial sobre un anillo noetheriano es noetheriano.

Declaración

Si ${displaystyle R.$ es un anillo, vamos ${displaystyle R[X]}$ denota el anillo de polinomios en el indeterminado ${displaystyle X}$ sobre ${displaystyle R.$. Hilbert demostró que si ${displaystyle R.$ es "no demasiado grande", en el sentido de que si ${displaystyle R.$ es Noetherian, lo mismo debe ser cierto ${displaystyle R[X]}$. Formalmente,

Hilbert's Basis Theorem. Si ${displaystyle R.$ es un anillo noetheriano, entonces ${displaystyle R[X]}$ es un anillo noetheriano.

Corollario. Si ${displaystyle R.$ es un anillo noetheriano, entonces ${displaystyle R[X_{1},dotscX_{n}$ es un anillo noetheriano.

Esto se puede traducir a geometría algebraica de la siguiente manera: cada conjunto algebraico sobre un campo se puede describir como el conjunto de raíces comunes de un número finito de ecuaciones polinómicas. Hilbert demostró el teorema (para el caso especial de anillos polinómicos sobre un campo) en el curso de su prueba de generación finita de anillos de invariantes.

Hilbert produjo una prueba innovadora por contradicción usando inducción matemática; su método no proporciona un algoritmo para producir los polinomios de base finitos para un ideal dado: solo muestra que deben existir. Uno puede determinar polinomios base utilizando el método de las bases de Gröbner.

Prueba

Teorema. Si ${displaystyle R.$ es una izquierda (resp. derecha) Anillo noetheriano, luego el anillo polinomio ${displaystyle R[X]}$ es también una izquierda (resp. derecha) anillo noetheriano.

Observación. Daremos dos pruebas, tanto en el caso "izquierda" se considera; la prueba del caso correcto es similar.

Primera prueba

Suppose ${displaystyle {mathfrak}subseteq R[X]}$ es un ideal izquierdo no generado definitivamente. Luego por recursión (utilizando el axioma de elección dependiente) hay una secuencia de polinomios ${displaystyle {f_{0},f_{1},ldots }}$ tal si ${displaystyle {Mathfrak {b}_{n}$ es el ideal izquierdo generado por ${displaystyle f_{0},ldotsf_{n-1}$ entonces ${displaystyle f_{n}in {fn}setminus {fnMicrok} {b}_{n}$ es de grado mínimo. Está claro que ${displaystyle {deg(f_{0}),deg(f_{1}),ldots }$ es una secuencia no creciente de números naturales. Vamos ${displaystyle a_{n}$ ser el coeficiente líder de ${displaystyle f_{n}$ y dejar ${\displaystyle {\fnK}}$ ser el ideal izquierdo en ${displaystyle R.$ generados por ${fnMicrosoft Sans Serif}$. Desde ${displaystyle R.$ es Noetherian la cadena de ideales

${displaystyle (a_{0})subset (a_{0},a_{1})subset (a_{0},a_{1},a_{2})subset cdots }$

Debe terminar. Así ${displaystyle {mathfrak {b}=(a_{0},ldotsa_{N-1}}}$ para algunos enteros ${displaystyle N}$. En particular,

${displaystyle A_{N}=sum ¿Qué? R.$

Ahora considere

${displaystyle g=sum ¿Qué?$

cuyo mandato principal es igual al de ${displaystyle F_{N}$; además, ${displaystyle gin {fn\fnMicrok {B}_{N}$. Sin embargo, ${displaystyle F_{N}notin {fnMicrok} {B}_{N}$, lo que significa que ${displaystyle ¿Qué? {B}_{N}$ tiene un grado inferior a ${displaystyle F_{N}$Contradiciendo la mínimaidad.

Segunda prueba

Vamos ${displaystyle {mathfrak}subseteq R[X]}$ ser un ideal izquierdo. Vamos ${\displaystyle {\fnK}}$ ser el conjunto de los principales coeficientes de miembros de ${displaystyle {Mathfrak}}$. Esto es obviamente un ideal izquierdo ${displaystyle R.$, y así se genera finitamente por los principales coeficientes de finitamente muchos miembros de ${displaystyle {Mathfrak}}$; diga ${displaystyle f_{0},ldotsf_{N-1}$. Vamos ${displaystyle d}$ ser el máximo del conjunto ${displaystyle {deg(f_{0}),ldotsdeg(f_{N-1}}}$, y dejar ${displaystyle {Mathfrak {B}_{k}$ ser el conjunto de los principales coeficientes de miembros de ${displaystyle {Mathfrak}}$, cuyo grado es ${displaystyle leq k}$. Como antes, el ${displaystyle {Mathfrak {B}_{k}$ son ideales dejados sobre ${displaystyle R.$, y así se generan finitamente por los principales coeficientes de finitamente muchos miembros de ${displaystyle {Mathfrak}}$, di

${displaystyle f_{0}{(k)},ldotsf_{N^{(k)}-1}{(k)}}}}$

con grados ${displaystyle leq k}$. Ahora ${displaystyle {mathfrak {} {}beseteq R[X]}$ ser el ideal izquierdo generado por:

${displaystyle left{f_{i},f_{j}{(k)}: No, no.$

Tenemos ${displaystyle {Mathfrak {}} {fn}}beseteq {mthfrak {f}}}}$ y reclamación también ${displaystyle {Mathfrak {}beseteq {Mathfrak}}} {}} {}} {}}} {}}}}}$. Supongamos que por el bien de la contradicción esto no es así. Entonces, ${displaystyle hin {fn}setminus {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}}$ ser de grado mínimo, y denota su coeficiente líder por ${displaystyle a}$.

Caso 1: ${displaystyle deg(h)geq d}$. Independientemente de esta condición, tenemos ${displaystyle ain {fn}$, así es una combinación lineal izquierda

${displaystyle a=sum ¿Qué?$

de los coeficientes de los ${displaystyle f_{j}$. Considerar

${displaystyle h_{0}triangleq sum _{j}u_{j}X^{deg(h)-deg(f_{j})}f_{j},}$

que tiene el mismo mandato que ${displaystyle h}$; más ${displaystyle h_{0}in {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}}}}}$ mientras ${displaystyle hnotin {fnK} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {fn}}}} {fn}}}} {fnK}}}}}}$. Por lo tanto ${displaystyle {fn}fn} {fnK}}fnK}}$ y ${displaystyle deg(h-h-h_{0})$, que contradice la minimalidad.

Caso 2: ${displaystyle deg(h)=k made}$. Entonces... ${displaystyle ain {n\\\\\\fnMicrok {B}_{k}$ así que es una combinación lineal izquierda

${displaystyle a=sum _{j}u_{j}a_{j}{(k)}$

de los principales coeficientes de los ${displaystyle f_{j}} {cH00}}$. Considerando

${displaystyle h_{0}triangleq sum _{j}u_{j}X^{deg(h)-deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}}}}}}$

cedemos una contradicción similar como en el caso 1.

Así, nuestra reclamación sostiene, y ${fnK} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {fnK}}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fnK}}}} {fnK}}}}} {f}}}}}} {fnK}}}}}}}}}$ que se genera finitamente.

Tenga en cuenta que la única razón por la que tuvimos que dividirnos en dos casos era asegurar que los poderes de ${displaystyle X}$ multiplicar los factores no negativo en las construcciones.

Aplicaciones

Vamos ${displaystyle R.$ ser un anillo comunicativo Noetherian. El teorema de base de Hilbert tiene algunos corolarios inmediatos.

1. Por inducción vemos que ${displaystyle R[X_{0},dotscX_{n-1}$ también será Noetherian.
2. Desde cualquier variedad affine ${displaystyle R^{n}$ (es decir, un conjunto de locus de una colección de polinomios) puede ser escrito como el locus de un ideal ${displaystyle {Mathfrak}subset R[X_{0},dotscX_{n-1}$ y más allá como el locus de sus generadores, sigue que cada variedad affine es el locus de finitamente muchos polinomios — es decir, la intersección de muchas hipersuperficies finitamente.
3. Si ${displaystyle A}$ es un finitely-generated ${displaystyle R.$- álgebra, entonces sabemos que ${displaystyle Asimeq R[X_{0},dotscX_{n-1}/{mathfrak {a}}$, donde ${displaystyle {Mathfrak}}$ es un ideal. El teorema de base implica que ${displaystyle {Mathfrak}}$ debe ser generado finitamente, digamos ${displaystyle {mathfrak}=(p_{0},dotscp_{N-1}}$, es decir. ${displaystyle A}$ se presenta finitamente.

Pruebas formales

Las demostraciones formales del teorema de la base de Hilbert se han verificado mediante el proyecto Mizar (consulte el archivo HILBASIS) y Lean (consulte ring_theory.polynomial).