Teorema de kronecker

En matemáticas, el teorema de Kronecker es un teorema sobre la aproximación diofántica, introducido por Leopold Kronecker (1884).

El teorema de aproximación de Kronecker fue demostrado por primera vez por L. Kronecker a finales del siglo XIX. Ahora se ha revelado que se relaciona con la idea de n-toro y medida de Mahler desde la segunda mitad del siglo XX. En términos de sistemas físicos, tiene la consecuencia de que los planetas en órbitas circulares que se mueven uniformemente alrededor de una estrella asumirán, con el tiempo, todas las alineaciones, a menos que exista una dependencia exacta entre sus períodos orbitales.

Declaración

teorema de Kronecker es un resultado de aproximaciones diofánticas que se aplican a varios números reales x_i, para 1 ≤ i ≤ n, que generaliza el teorema de aproximación de Dirichlet a múltiples variables.

El teorema de aproximación de Kronecker clásico se formula de la siguiente manera.

Dado real n-tuples ${displaystyle alpha _{i}=(alpha _{i1},cdotsalpha _{in})in mathbb {R} {n},i=1,cdotsm}$ y ${displaystyle beta =(beta _{1},cdotsbeta _{n})in mathbb {R} {fn}$ la condición:

${displaystyle forall epsilon √0,exists q_{i},p_{j}in "Mathbb" ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? - ¿Por qué?$

sostiene si y sólo si ${displaystyle r_{1},dotsr_{n}in mathbb {Z} i=1,dotsm}$ con

${displaystyle sum _{j=1}{n}alpha ¿Por qué?$

el número ${displaystyle sum _{j=1}{n}beta ¿Qué?$ es también un entero.

En lenguaje más claro la primera condición establece que el tuple ${displaystyle beta =(beta _{1},ldotsbeta _{n}}$ puede ser aproximado arbitrariamente bien por combinaciones lineales de los ${displaystyle alpha _{i}$s (con coeficientes enteros) y vectores enteros.

Para el caso de un ${displaystyle m=1}$ y ${displaystyle n=1}$, la aproximación de Kronecker Theorem can be stated as follows. Para cualquier ${displaystyle alphabetaepsilon in mathbb {R}$ con ${displaystyle alpha }$ irracional y ${displaystyle epsilon }$ existen números enteros ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ con ${displaystyle q confía0}$, tal que

${displaystyle tenciónalpha q-p-beta ANTERIORADAepsilon.}$

Relación con los tori

En el caso de N números, tomados como una sola tupla N y el punto P del toroide

T = R^N/Z^N,

el cierre del subgrupo <P> generado por P será finito, o algún toro T′ contenido en T. El teorema de Kronecker original (Leopold Kronecker, 1884) establecía que la condición necesaria para

T. = T,

que es que los números x_i junto con 1 deben ser linealmente independientes de los números racionales, también es suficiente. Aquí es fácil ver que si alguna combinación lineal de x_i y 1 con coeficientes de números racionales distintos de cero es cero, entonces los coeficientes pueden tomarse como números enteros, y un carácter χ del grupo T distinto del carácter trivial toma el valor 1 en P. Por dualidad de Pontryagin tenemos T′ contenido en el núcleo de χ y, por lo tanto, no es igual a T.

De hecho, un uso exhaustivo de la dualidad de Pontryagin aquí muestra que todo el teorema de Kronecker describe el cierre de <P> como la intersección de los núcleos de χ con

χ(P) = 1.

Esto proporciona una conexión de Galois (antitono) entre subgrupos cerrados monogénicos de T (aquellos con un solo generador, en el sentido topológico) y conjuntos de caracteres con un núcleo que contiene un punto determinado. No todos los subgrupos cerrados son monogénicos; por ejemplo un subgrupo que tiene un un toro de dimensión ≥ 1 como componente conexo del elemento identidad, y que no está conexo, no puede ser tal subgrupo.

El teorema deja abierta la cuestión de qué tan bien (uniformemente) los múltiplos mP de P llenan la clausura. En el caso unidimensional, la distribución es uniforme según el teorema de la equidistribución.