Teorema de König (teoría de conjuntos)

En teoría establecida, Teorema de König declara que si el axioma de elección sostiene, I es un juego, κ κ i{displaystyle kappa _{i} y λ λ i{displaystyle lambda _{i} son números cardinales para cada i dentro I, y <math alttext="{displaystyle kappa _{i}κ κ i.λ λ i{displaystyle kappa _{i}traducidolambda ¿Qué?<img alt="{displaystyle kappa _{i} para todos i dentro I, entonces

<math alttext="{displaystyle sum _{iin I}kappa _{i}.. i▪ ▪ Iκ κ i.∏ ∏ i▪ ▪ Iλ λ i.{displaystyle sum _{iin I}kappa ¿Qué? I'lambda _{i}<img alt="{displaystyle sum _{iin I}kappa _{i}

La suma aquí es la cardinalidad de la unión disjunta de los conjuntos m_i, y el producto es la cardinalidad del producto cartesiano. Sin embargo, sin el uso del axioma de elección, la suma y el producto no pueden definirse como números cardinales, y sería necesario aclarar el significado del signo de desigualdad.

El teorema de König fue introducido por König (1904) en la forma ligeramente más débil de que la suma de una secuencia estrictamente creciente de números cardinales distintos de cero es menor que su producto.

Detalles

La declaración precisa del resultado: si I es un juego, A_i y B_i son conjuntos para cada i dentro I, y <math alttext="{displaystyle A_{i}Ai.Bi{displaystyle A_{i}<img alt="{displaystyle A_{i} para todos i dentro I, entonces

<math alttext="{displaystyle sum _{iin I}A_{i}.. i▪ ▪ IAi.∏ ∏ i▪ ▪ IBi,{displaystyle sum _{iin Yo... Yo...<img alt="{displaystyle sum _{iin I}A_{i}

donde < significa estrictamente menor que en cardinalidad, es decir, hay una función inyectiva de A_i a B_i, pero ninguno en sentido contrario. La unión involucrada no necesita ser disjunta (una unión no disjunta no puede ser más grande que la versión disjunta, suponiendo también el axioma de elección). En esta formulación, el teorema de König es equivalente al axioma de elección.

(Por supuesto, el teorema de König es trivial si los números cardinales m_i y n_i son finitos y el conjunto de índices I es finito. Si I está vacío, entonces la suma de la izquierda es la suma vacía y, por lo tanto, 0, mientras que el producto de la derecha es el vacío producto y por lo tanto 1).

El teorema de König es notable debido a la estricta desigualdad en la conclusión. Hay muchas reglas fáciles para la aritmética de sumas infinitas y productos de cardenales en las que uno sólo puede concluir una desigualdad débil ≤, por ejemplo: si <math alttext="{displaystyle m_{i}mi.ni{displaystyle - No.<img alt="{displaystyle m_{i} para todos i dentro I, entonces uno sólo puede concluir

.. i▪ ▪ Imi≤ ≤ .. i▪ ▪ Ini,{displaystyle sum _{iin I'm_{i}leq sum _{iin Yo...

por ejemplo, mi=1{displaystyle m_{i}=1} y ni=2{displaystyle No., donde se establece el índice I es el número natural, produce la suma א א 0{displaystyle aleph _{0} para ambas partes, y tenemos una igualdad.

Corolarios del teorema de König

• Si κ κ {displaystyle kappa } es un cardenal, entonces <math alttext="{displaystyle kappa κ κ .2κ κ {displaystyle kappa }<img alt="{displaystyle kappa .

Si tomamos m_i = 1, y n_i = 2 para cada i en κ, entonces el lado izquierdo de la desigualdad anterior es solo κ, mientras que el lado derecho es 2^κ, la cardinalidad de las funciones de κ a {0, 1}, es decir, la cardinalidad del conjunto potencia de κ. Por lo tanto, el teorema de König nos da una prueba alternativa del teorema de Cantor. (Históricamente, por supuesto, el teorema de Cantor se demostró mucho antes).

Axioma de elección

Una forma de establecer el axioma de elección es "un producto cartesiano arbitrario de conjuntos no vacíos es no vacío". Sea B_i un conjunto no vacío para cada i en I. Sea A_i = {} para cada i en I. Así, por el teorema de König, tenemos:

• Si <math alttext="{displaystyle forall iin I({}О О i▪ ▪ I(){}}.Bi){displaystyle forall iin I( {\\\\\\\fn}<img alt="{displaystyle forall iin I({}, entonces <math alttext="{displaystyle {}{}}.∏ ∏ i▪ ▪ IBi{displaystyle {cHFF}tratadoprod _{iin Yo...<img alt="{displaystyle {}.

Es decir, el producto cartesiano de los conjuntos no vacíos B_i dados tiene una cardinalidad mayor que la suma de los conjuntos vacíos. Por lo tanto, no es vacío, que es justo lo que establece el axioma de elección. Dado que el axioma de elección se deriva del teorema de König, utilizaremos el axioma de elección libre e implícitamente cuando discutamos las consecuencias del teorema.

Teorema de König y cofinalidad

El teorema de König también tiene consecuencias importantes para la cofinalidad de los números cardinales.

• Si κ κ ≥ ≥ א א 0{displaystyle kappa geq aleph ¿Qué?, entonces <math alttext="{displaystyle kappa κ κ .κ κ cf⁡ ⁡ ()κ κ ){displaystyle kappa > }}<img alt="{displaystyle kappa .

Elija una secuencia estrictamente creciente de cf(κ) de ordinales que se acerquen a κ. Cada uno de ellos es menor que κ, por lo que su suma, que es κ, es menor que el producto de cf(κ) copias de κ.

Según el teorema de Easton, la siguiente consecuencia del teorema de König es la única restricción no trivial sobre la función continua para cardinales regulares.

• Si κ κ ≥ ≥ א א 0{displaystyle kappa geq aleph ¿Qué? y λ λ ≥ ≥ 2{displaystyle lambda geq 2}, entonces <math alttext="{displaystyle kappa κ κ .cf⁡ ⁡ ()λ λ κ κ ){displaystyle kappa âTMa {cf} (lambda ^{kappa })}<img alt="{displaystyle kappa .

Vamos μ μ =λ λ κ κ {displaystyle mu =lambda ^{kappa }. Supongamos que, contrariamente a este corolario, κ κ ≥ ≥ cf⁡ ⁡ ()μ μ ){displaystyle kappa geq operatorname {cf} (mu)}. Luego usando el corolario anterior, <math alttext="{displaystyle mu μ μ .μ μ cf⁡ ⁡ ()μ μ )≤ ≤ μ μ κ κ =()λ λ κ κ )κ κ =λ λ κ κ ⋅ ⋅ κ κ =λ λ κ κ =μ μ {displaystyle mu ^mu ^{operatorname {}leq mu ^{kappa }=(lambda ^{kappa })^{kappa }=lambda ^{kappa cdot kappa }=lambda ^{kappa }=mu }<img alt="{displaystyle mu Una contradicción.

Una demostración del teorema de König

Suponiendo que la teoría del conjunto Zermelo-Fraenkel, incluyendo especialmente el axioma de la elección, podemos probar el teorema. Recuerde que nos dan <math alttext="{displaystyle forall iin Iquad A_{i}О О i▪ ▪ IAi.Bi{displaystyle forall iin Iquad A_{i}<img alt="forall iin Iquad A_{i}, y queremos mostrar:<math alttext="{displaystyle sum _{iin I}A_{i}.. i▪ ▪ IAi.∏ ∏ i▪ ▪ IBi.{displaystyle sum _{iin Yo... Yo...<img alt="sum _{{iin I}}A_{i}

El axioma de elección implica que la condición A < B es equivalente a la condición de que no hay ninguna función de A a B y B no está vacío. Entonces sabemos que no hay función de A_i sobre B_i≠{}, y tenemos que demostrar que cualquier función f de la unión disjunta de las As al producto de las Bs no es sobreyectiva y que el producto no es vacío. Que el producto no esté vacío se sigue inmediatamente del axioma de elección y del hecho de que los factores no están vacíos. Para cada i elige una b_i en B _i no en la imagen de A_i bajo la composición de f con la proyección a B_i. Entonces el producto de los elementos b_i no está en la imagen de f, entonces f no asigna la unión disjunta de las A al producto de las B.