Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser

El Teorema de Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) es un resultado en sistemas dinámicos sobre la persistencia de movimientos cuasiperiódicos bajo pequeñas perturbaciones. El teorema resuelve en parte el problema del pequeño divisor que surge en la teoría de perturbaciones de la mecánica clásica.

El problema es si una pequeña perturbación de un sistema dinámico conservativo da como resultado una órbita cuasiperiódica duradera. Andrey Kolmogorov dio el avance original a este problema en 1954. Jürgen Moser lo probó y amplió rigurosamente en 1962 (para mapas de giro suave) y Vladimir Arnold en 1963 (para sistemas hamiltonianos analíticos), y el resultado general se conoce como el teorema KAM.

Originalmente, Arnold pensó que este teorema podría aplicarse a los movimientos del Sistema Solar u otras instancias del problema de los n cuerpos, pero resultó que solo funcionaba para el problema de los tres cuerpos debido a una degeneración en su formulación del problema. problema para un mayor número de cuerpos. Más tarde, Gabriella Pinzari mostró cómo eliminar esta degeneración mediante el desarrollo de una versión del teorema invariante en rotación.

Declaración

Sistemas hamiltonianos integrables

El teorema KAM generalmente se expresa en términos de trayectorias en el espacio de fases de un sistema hamiltoniano integrable. El movimiento de un sistema integrable se limita a un toroide invariable (una superficie en forma de rosquilla). Las diferentes condiciones iniciales del sistema hamiltoniano integrable trazarán diferentes toros invariantes en el espacio de fase. Graficar las coordenadas de un sistema integrable mostraría que son cuasiperiódicos.

Perturbaciones

El teorema KAM establece que si el sistema está sujeto a una perturbación no lineal débil, algunos de los toros invariantes se deforman y sobreviven, es decir, hay un mapa desde la variedad original hasta la deformada que es continua en la perturbación. Por el contrario, se destruyen otros toros invariantes: incluso las perturbaciones arbitrariamente pequeñas hacen que la variedad ya no sea invariante y no existe tal mapa para las variedades cercanas. Los toros supervivientes cumplen la condición de no resonancia, es decir, tienen frecuencias "suficientemente irracionales". Esto implica que el movimiento sobre el toro deformado sigue siendo cuasiperiódico, con los períodos independientes cambiados (como consecuencia de la condición de no degeneración). El teorema KAM cuantifica el nivel de perturbación que se puede aplicar para que esto sea cierto.

Los toros KAM que son destruidos por la perturbación se convierten en conjuntos invariantes de Cantor, llamados Cantori por Ian C. Percival en 1979.

Las condiciones de no resonancia y no degeneración del teorema KAM se vuelven cada vez más difíciles de satisfacer para sistemas con más grados de libertad. A medida que aumenta el número de dimensiones del sistema, el volumen ocupado por los toros disminuye.

A medida que la perturbación aumenta y las curvas suaves se desintegran, pasamos de la teoría KAM a la teoría de Aubry-Mather, que requiere hipótesis menos estrictas y funciona con conjuntos de tipo Cantor.

La existencia de un teorema KAM para perturbaciones de sistemas cuánticos integrables de muchos cuerpos sigue siendo una pregunta abierta, aunque se cree que perturbaciones arbitrariamente pequeñas destruirán la integrabilidad en el límite de tamaño infinito.

Consecuencias

Una consecuencia importante del teorema KAM es que, para un gran conjunto de condiciones iniciales, el movimiento permanece perpetuamente cuasiperiódico.

Teoría KAM

Los métodos introducidos por Kolmogorov, Arnold y Moser se han convertido en una gran cantidad de resultados relacionados con los movimientos cuasiperiódicos, ahora conocidos como teoría KAM. Cabe destacar que se ha extendido a sistemas no hamiltonianos (empezando por Moser), a situaciones no perturbativas (como en el trabajo de Michael Herman) y a sistemas con frecuencias rápidas y lentas (como en el trabajo de Mikhail B. Sevryuk).

Toroide KAM

Un manifold ${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$ invariante bajo la acción de un flujo ${displaystyle phi ^{t}$ se llama invariante ${displaystyle d}$- Torus, si existe un diffeomorfismo ${displaystyle {boldsymbol {varphi} {fnMitcal} {fnK} {fnMitbb}$ en el estándar ${displaystyle d}$- Torus ${displaystyle mathbb {T} ^{d}:=underbrace {mathbb {S} ^{1}times mathbb {S} ^{1}times cdots times mathbb {fnK} ¿Qué?$ tal que la moción resultante ${displaystyle mathbb {} {} {} {}}}$ es lineal uniforme pero no estática, i.e. ${displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {varphi }/mathrm {d} t={boldsymbol {omega }$, donde ${displaystyle {boldsymbol {omega }in mathbb {R} {d}$ es un vector no-cero constante, llamado el frecuencia vectorial.

Si el vector de frecuencia ${displaystyle {boldsymbol {omega }$ es:

• racionalmente independiente ()a.k.a. incommensurable, eso es ${displaystyle {fnK}cdot {boldsymbol {omega }neq 0}$ para todos ${displaystyle {boldsymbol {k}in mathbb {Z} }backslash left{boldsymbol {0}right}}$)
• y "badly" aproximado por los racionales, típicamente en un Diofantina sentido: ${displaystyle exists ~gammatau œ0{text{ such that }tuvo{boldsymbol {omega }}cdot {boldsymbol {k}tuvo {gq {frac {gammam} }{fncipado {fnh}fncipado {fnMicrosoft}fnh} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Z} }backslash left{boldsymbol {0}right}}$,

entonces el invariante ${displaystyle d}$- Torus ${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$ ()${displaystyle dgeq 2}$) se llama un KAM torus. El ${displaystyle d=1}$ caso normalmente se excluye en la teoría clásica de KAM porque no implica pequeños divisores.