Teorema de inversión de Mellin

En matemáticas, la fórmula de inversión de Mellin (llamada así en honor a Hjalmar Mellin) nos indica las condiciones bajo donde se define la transformada inversa de Mellin, o equivalentemente la transformada inversa de Laplace de dos caras, y recupera la función transformada.

Método

Si ${\displaystyle \varphi (s)}$ es analítico en la tira ${\displaystyle a won\Re (s)$, y si tiende a cero uniformemente como ${\displaystyle \Im (s)\to \pm \infty }$ para cualquier valor real c entre a y b, con su integral a lo largo de tal línea converge absolutamente, entonces si

${\displaystyle f(x)=\ {\fnMitcal {\fnh}}\varphi {\fnMicroc {1} {2\pi} {\fnK}}= {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}\fn}} {\fn}} {\fn}}}} {\f}\fn\fn}}} {\f}\f}}\f} {\f}\f}}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f} {\f}\fn}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn}\fn}\fn}\fn}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn - ¿Qué? }{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$

tenemos eso

${\displaystyle \varphi (s)=\{\mthcal {\f}=\int _{0}\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.}$

Por el contrario, supongo ${\displaystyle f(x)}$ es un poco continuo en los números reales positivos, tomando un valor a mitad de camino entre los valores límite en cualquier discontinuidad de salto, y suponer la integral

${\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx}$

es absolutamente convergente cuando ${\displaystyle a won\Re (s)$. Entonces... ${\displaystyle f}$ es recuperable a través de la inversa transformación de Mellin de su transformación de Mellin ${\displaystyle \varphi }$. Estos resultados se pueden obtener al relacionar la transformación de Mellin a la transformación de Fourier por un cambio de variables y luego aplicar una versión apropiada del teorema de inversión de Fourier.

Condición de limitación

La condición de vencimiento ${\displaystyle \varphi (s)}$ puede fortalecerse si ${\displaystyle f(x)}$ es continuo. Si ${\displaystyle \varphi (s)}$ es analítico en la tira ${\displaystyle a won\Re (s)$Y si ${\displaystyle Silencio\varphi (s) sometida$, donde K es una constante positiva, entonces ${\displaystyle f(x)}$ como se define por la integral de inversión existe y es continua; además, la transformación de Mellin ${\displaystyle f}$ es ${\displaystyle \varphi }$ por lo menos ${\displaystyle a won\Re (s)$.

Por otro lado, si estamos dispuestos a aceptar un original ${\displaystyle f}$ que es función generalizada, podemos relajar la condición de vencimiento en ${\displaystyle \varphi }$ a simplemente hacerlo de crecimiento polinomio en cualquier tira cerrada contenida en la tira abierta ${\displaystyle a won\Re (s)$.

También podemos definir una versión espacial de Banach de este teorema. Si lo llamamos ${\displaystyle L_{\nup}(R^{+})}$ el espacio de Lp ponderado de funciones de valor complejo ${\displaystyle f}$ en los hechos positivos tal que

${\displaystyle\f\f\f\fnh00\fnh00\fnMicrosoft(\int ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Donde p son números reales fijos con ${\displaystyle p título1}$, entonces si ${\displaystyle f(x)}$está dentro. ${\displaystyle L_{\nup}(R^{+})}$ con ${\displaystyle 1 = 0}$Entonces ${\displaystyle \varphi (s)}$ pertenece a ${\displaystyle L_{\nuq}(R^{+})}$ con ${\displaystyle q=p/(p-1)}$ y

${\displaystyle f(x)={1}{2\pi ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$

Aquí se identifican funciones, idénticas en todas partes excepto en un conjunto de medida cero.

Dado que la transformada de Laplace de dos lados se puede definir como

${\displaystyle \left\{\mthcal {B}f\right}(s)=\left\{\mthcal {M}f(-\ln x)\right}(s)}$

Estos teoremas también se pueden aplicar inmediatamente.