Teorema de inversión de Fourier

En matemáticas, el teorema de inversión de Fourier dice que para muchos tipos de funciones es posible recuperar una función a partir de su transformada de Fourier. Intuitivamente puede verse como la afirmación de que si conocemos toda la información de frecuencia y fase de una onda, entonces podemos reconstruir la onda original con precisión.

El teorema dice que si tenemos una función f:R→ → C{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {C} satisfacer ciertas condiciones, y utilizamos la convención para la transformación Fourier que

()Ff)().. ):=∫ ∫ Re− − 2π π iSí.⋅ ⋅ .. f()Sí.)dSí.,{displaystyle ({mathcal {}f)(xi):=int _{mathbb ¿Qué?

entonces

f()x)=∫ ∫ Re2π π ix⋅ ⋅ .. ()Ff)().. )d.. .{displaystyle f(x)=int _{mathbb {R}e^{2pi ixcdot xi },({mathcal {F}f)xi),dxi.}

En otras palabras, el teorema dice que

f()x)=∫ ∫ R2e2π π i()x− − Sí.)⋅ ⋅ .. f()Sí.)dSí.d.. .{displaystyle f(x)=iint _{mathbb {R}e^{2pi i(x-y)cdot xi },f(y),dy,dxi.}

Esta última ecuación se llama teorema integral de Fourier.

Otra manera de declarar el teorema es que si R{displaystyle R. es el operador de volteretas. ()Rf)()x):=f()− − x){displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}, entonces

F− − 1=FR=RF.{fnMicrosoft} {fnMitcal} {fnMitcal} {fnMitcal} {f}} {f}}}} {f}}}} {fnK}}} {fnh}}}}} {f}}}}\\fnh}fn\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\m}h}displaystyle {displaystyle {displaystyle {fnh}\\\\\\\m}h}\\\m}}\\\\\\\\\\\m}}\\\\\\\\\\\m}h}} {F}R=R{ mathcal {F}}.

El teorema sostiene si ambos f{displaystyle f} y su La transformación Fourier es absolutamente integrada (en el sentido Lebesgue) y f{displaystyle f} es continuo en el punto x{displaystyle x}. Sin embargo, incluso en condiciones más generales las versiones del Teorema de Inversión Fourier sostienen. En estos casos las integrales anteriores no pueden converger en un sentido ordinario.

Declaración

En esta sección asumimos que f{displaystyle f} es una función continua integradora. Utilice la convención para la transformación de Fourier

()Ff)().. ):=∫ ∫ Rne− − 2π π iSí.⋅ ⋅ .. f()Sí.)dSí..{displaystyle ({mathcal {}f)(xi):=int _{mathbb {R} {fn}e^{-2pi} iycdot xi },f(y),dy.}

Además, asumimos que la transformada de Fourier también es integrable.

Transformada inversa de Fourier como integral

La declaración más común del teorema de inversión Fourier es indicar la transformación inversa como una integral. Para cualquier función integradora g{displaystyle g} y todos x▪ ▪ Rn{displaystyle xin mathbb {R} {fn} set

F− − 1g()x):=∫ ∫ Rne2π π ix⋅ ⋅ .. g().. )d.. .{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}cdot xi },g(xi),dxi.}

Entonces para todos x▪ ▪ Rn{displaystyle xin mathbb {R} {fn} tenemos

F− − 1()Ff)()x)=f()x).{displaystyle {mathcal {f}} {f}({mathcal {}f)(x)=f(x). }

Teorema de la integral de Fourier

El teorema se puede reformular como

f()x)=∫ ∫ Rn∫ ∫ Rne2π π i()x− − Sí.)⋅ ⋅ .. f()Sí.)dSí.d.. .{displaystyle f(x)=int _{mathbb [R] ^{n}int _{mathbb {R}e^{2pi i(x-y)cdot xi },f(y),dy,dxi.}

If <if is real valued then by taking the real part of each side of the above we obtain

f()x)=∫ ∫ Rn∫ ∫ Rn#⁡ ⁡ ()2π π ()x− − Sí.)⋅ ⋅ .. )f()Sí.)dSí.d.. .{displaystyle f(x)=int _{mathbb {R} ^{n}int _{mathbb {R}cos(2pi (x-y)cdot xi),f(y),dy,dxi.}

Transformación inversa en términos de operador de inversión

Para cualquier función g{displaystyle g} definir el operador flip R{displaystyle R. por

Rg()x):=g()− − x).{displaystyle Rg(x):=g(-x).}

Entonces podemos definir en su lugar

F− − 1f:=RFf=FRf.{fnMicrosoft Sans Serif} {F}f={ mathcal {F}Rf.}

Es inmediato desde la definición de la transformación Fourier y el operador de voltereta que ambos RFf{displaystyle R{mathcal {F}f} y FRf{displaystyle {Mathcal}Rf} coincide con la definición integral de F− − 1f{fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f}, y en particular son iguales entre sí y satisfechos F− − 1()Ff)()x)=f()x){displaystyle {mathcal {}{-1}({mathcal {}f)(x)=f(x)}.

Desde Rf=RF− − 1Ff=RRFFf{displaystyle Rf=R{mathcal {F} {fn} {fnK}} {fn}} {fnMitcal}}} {fn}} {f}}}}} {f}} {fnMitcal}}} {fn}}}}} {f}}} {f}}}}} {fnMitcal}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} { {F}f=RR{ mathcal {FF}f} tenemos R=F2{displaystyle R={mathcal {F}} {2}} y

F− − 1=F3.{fnMicrosoft} {fnMitcal} {fnMitcal} {fnMitcal} {f}} {f}}}} {f}}}} {fnK}}} {fnh}}}}} {f}}}}\\fnh}fn\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\m}h}displaystyle {displaystyle {displaystyle {fnh}\\\\\\\m}h}\\\m}}\\\\\\\\\\\m}}\\\\\\\\\\\m}h}} {F}} {3}.}

Inversa a dos caras

La forma del teorema de inversión de Fourier establecido anteriormente, como es común, es que

F− − 1()Ff)()x)=f()x).{displaystyle {mathcal {f}} {f}({mathcal {}f)(x)=f(x). }

En otras palabras, F− − 1{displaystyle {fnMithcal} {fnK}} {fnMicrosoft} {fn}} {f}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}}}} es un inverso izquierdo para la transformación Fourier. Sin embargo, también es un inverso derecho para la transformación Fourier, es decir.

F()F− − 1f)().. )=f().. ).{displaystyle {mathcal {f}({mthcal {}{-1}f)(xi)=f(xi).}

Desde F− − 1{displaystyle {fnMithcal} {fnK}} {fnMicrosoft} {fn}} {f}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}}}} es tan similar a F{displaystyle {fnMithcal}}, esto sigue muy fácilmente del Teorema de Inversión Fourier (cambiando variables Especificaciones Especificaciones :=− − Especificaciones Especificaciones {displaystyle zeta:=-zeta }):

f=F− − 1()Ff)()x)=∫ ∫ Rn∫ ∫ Rne2π π ix⋅ ⋅ .. e− − 2π π iSí.⋅ ⋅ .. f()Sí.)dSí.d.. =∫ ∫ Rn∫ ∫ Rne− − 2π π ix⋅ ⋅ Especificaciones Especificaciones e2π π iSí.⋅ ⋅ Especificaciones Especificaciones f()Sí.)dSí.dEspecificaciones Especificaciones =F()F− − 1f)()x).{displaystyle {begin{aligned}f limit={mathcal {F}}{-1}({mathcal {F}f) x)[6pt] [R] ^{n}int {R} {fn}e^{2} ixcdot xi },e^{-2pi iycdot xi },f(y),dy,dxi \[6pt] [R] ^{n}int {R} {fn}e^{-2pi} ixcdot zeta },e^{2pi iycdot zeta },f(y),dzeta \[6pt] implica={mathcal {F}({mathcal {F}}{-1}f)(x).end{aligned}}}}}

Alternativamente, esto se puede ver desde la relación entre F− − 1f{fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} y el operador de volteretas y la asociación de la composición de la función, desde

f=F− − 1()Ff)=FRFf=F()F− − 1f).{displaystyle f={fnMitcal {F}}{-1}({mathcal {F}f)={mathcal {F}R{mathcal {}f={mathcal {F}({mathcal {F}}{-1}f). }

Condiciones de la función

Cuando se utiliza en física e ingeniería, el teorema de inversión de Fourier suele utilizarse bajo el supuesto de que todo "se comporta bien". En matemáticas, estos argumentos heurísticos no están permitidos y el teorema de inversión de Fourier incluye una especificación explícita de qué clase de funciones se permiten. Sin embargo, no existe una "mejor" clase de funciones a considerar, por lo que existen varias variantes del teorema de inversión de Fourier, aunque con conclusiones compatibles.

Funciones de Schwartz

El teorema de inversión de Fourier es válido para todas las funciones de Schwartz (en términos generales, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas decaen rápidamente). Esta condición tiene la ventaja de que es una declaración directa elemental sobre la función (en lugar de imponer una condición a su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables. Esta versión del teorema se utiliza en la prueba del teorema de inversión de Fourier para distribuciones templadas (ver más abajo).

Funciones integrables con transformada de Fourier integrable

El teorema de inversión Fourier tiene para todas las funciones continuas que son absolutamente integrados (es decir,. L1()Rn){displaystyle L^{1}(mathbb {R} }) con la transformación de Fourier absolutamente integrado. Esto incluye todas las funciones de Schwartz, así que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la anterior mencionada. Esta condición es la utilizada anteriormente en la sección de declaración.

Una ligera variante es dejar caer la condición de que la función f{displaystyle f} ser continuo pero todavía requiere que él y su Fourier transform ser absolutamente integrador. Entonces... f=g{displaystyle f=g} casi por todas partes g es una función continua, y F− − 1()Ff)()x)=g()x){displaystyle {mathcal {}{-1}({mathcal {}f)(x)=g(x)} para todos x▪ ▪ Rn{displaystyle xin mathbb {R} {fn}.

Funciones integrables en una dimensión

Piecewise liso; una dimensión

Si la función es absolutamente integradora en una dimensión (es decir, f▪ ▪ L1()R){displaystyle fin L^{1}(mathbb {R})}) y es un poco suave entonces una versión del teorema de inversión Fourier sostiene. En este caso definimos

F− − 1g()x):=limR→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ − − RRe2π π ix.. g().. )d.. .{displaystyle {mathcal {f}{-1}g(x):=lim _{Rto infty }int ¿Por qué?

Entonces para todos x▪ ▪ R{displaystyle xin mathbb {R}

F− − 1()Ff)()x)=12()f()x− − )+f()x+)),{displaystyle {mathcal {}{-1}({mathcal {}f)={frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})}}

i.e. F− − 1()Ff)()x){displaystyle {mathcal {f}} {fnMithcal}(x)} iguala el promedio de los límites izquierdo y derecho f{displaystyle f} a x{displaystyle x}. En puntos donde f{displaystyle f} es continuo esto simplemente igual f()x){displaystyle f(x)}.

A higher-dimensional analogue of this form of the theorem also holds, but according to Folland (1992) is "rather delicate and not terribly useful#34;.

Piecewise continuo; una dimensión

Si la función es absolutamente integradora en una dimensión (es decir, f▪ ▪ L1()R){displaystyle fin L^{1}(mathbb {R})}) pero simplemente desenrollado y luego una versión del Teorema de Inversión Fourier todavía mantiene. En este caso la integral en la inversa transformación Fourier se define con la ayuda de una función suave y no de corte afilado; específicamente definimos

F− − 1g()x):=limR→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Rφ φ ().. /R)e2π π ix.. g().. )d.. ,φ φ ().. ):=e− − .. 2.{displaystyle {mathcal {f}{-1}g(x):=lim _{Rto infty }int _{mathbb {R}varphi (xi /R),e^{2pi ixxi }g(xi),dxiqquad varphi (xi):=e^{-xi ^{2}}}}

La conclusión del teorema es entonces la misma que para el caso suave por partes analizado anteriormente.

Contínua; cualquier número de dimensiones

Si f{displaystyle f} es continuo y absolutamente integrador en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} entonces el Teorema de Inversión Fourier todavía mantiene mientras de nuevo definamos la transformación inversa con una función de corte suave es decir.

F− − 1g()x):=limR→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Rnφ φ ().. /R)e2π π ix⋅ ⋅ .. g().. )d.. ,φ φ ().. ):=e− − Silencio.. Silencio2.{displaystyle {mathcal {f}{-1}g(x):=lim _{Rto infty }int _{mathbb {R} ^{n}varphi (xi /R),e^{2pi ixcdot xi },g(xi),dxiqquad varphi (xi):=e^{-vert xi vert ^{2}}}}

La conclusión es ahora simplemente eso para todos x▪ ▪ Rn{displaystyle xin mathbb {R} {fn}

F− − 1()Ff)()x)=f()x).{displaystyle {mathcal {f}} {f}({mathcal {}f)(x)=f(x). }

Sin condición de regularidad; cualquier número de dimensiones

Si dejamos todas las suposiciones sobre la continuidad (en sentido de la pieza) f{displaystyle f} y asumir simplemente que es absolutamente integrador, entonces una versión del teorema todavía sostiene. La transformación inversa se define de nuevo con el corte suave, pero con la conclusión de que

F− − 1()Ff)()x)=f()x){displaystyle {mathcal {}{-1}({mathcal {}f)(x)=f(x)}

para casi todos x▪ ▪ Rn.{displaystyle xin mathbb {R} ^{n}

Funciones integrables cuadradas

En este caso, la transformada de Fourier no se puede definir directamente como una integral ya que puede no ser absolutamente convergente, por lo que se define mediante un argumento de densidad (consulte el artículo sobre la transformada de Fourier). Por ejemplo, poniendo

gk().. ):=∫ ∫ {}Sí.▪ ▪ Rn:SilencioSí.Silencio≤ ≤ k}e− − 2π π iSí.⋅ ⋅ .. f()Sí.)dSí.,k▪ ▪ N,{displaystyle g_{k}(xi):=int _{{yin mathbb {R} ^{n}:leftvert yrightvert leq k}e^{-2pi} iycdot xi },f(y),dy,qquad kin mathbb {N}

podemos establecer Ff:=limk→ → JUEGO JUEGO gk{displaystyle textstyle {Mathcal {F}f:=lim _{kto infty }g_{k} donde se toma el límite L2{displaystyle L^{2}-norm. La transformación inversa puede definirse por densidad de la misma manera o definiéndolo en términos de la transformación Fourier y el operador de volteretas. Entonces tenemos

f()x)=F()F− − 1f)()x)=F− − 1()Ff)()x){fnMithcal {f} {fnMithcal {f}f}(x)={mthcal {f} {f}} {mátrico {f}f)}(x)} {fnMitcal}}} {f}}}}} {f}

en la norma media cuadrática. En una dimensión (y sólo en una dimensión), también se puede demostrar que converge para casi todos los x∈ℝ; este es el caso de Carleson. s teorema, pero es mucho más difícil de demostrar que la convergencia en la norma cuadrática media.

Distribuciones templadas

La transformación Fourier puede definirse en el espacio de distribuciones templadas S.()Rn){displaystyle {Mathcal {S}'(mathbb {R} } {fn}} por la dualidad de los Fourier transforman en el espacio de las funciones de Schwartz. Específicamente para f▪ ▪ S.()Rn){displaystyle fin {fn}'(mathbb {R} {fn})} y para todas las funciones de prueba φ φ ▪ ▪ S()Rn){displaystyle varphi in {mathcal {S} {mathbb {R} ^{n}}} Nos hemos fijado

.. Ff,φ φ .. :=.. f,Fφ φ .. ,{displaystyle langle {Mathcal {F}f,varphi rangle:=langle f,{mathcal {F}varphi rangle}

Donde Fφ φ {displaystyle {mathcal}varphi } se define utilizando la fórmula integral. Si f▪ ▪ L1()Rn)∩ ∩ L2()Rn){displaystyle fin L^{1}(mathbb {R} {n})cap L^{2}(mathbb {R} } entonces esto está de acuerdo con la definición habitual. Podemos definir la transformación inversa F− − 1:: S.()Rn)→ → S.()Rn){displaystyle {mathcal {fn} {fn}fn}'(mthbb {fn})to {mthcal {}'(mthbb {R} } } {cHFF} {cH00}}} {cH00}}}, ya sea por la dualidad de la transformación inversa en funciones de Schwartz de la misma manera, o definiéndolo en términos del operador de voltereta (donde el operador de voltereta se define por la dualidad). Entonces tenemos

FF− − 1=F− − 1F=IdS.()Rn).{fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}}} {fnMicrosoft}}} {fnMitcal}} {fnMitcal}}}}}} { {F} {fn}= {fnMitcal} {F} {fn} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} { [Id] _{mthcal {S}'(mathbb {R}}}}}

Relación con las series de Fourier

El teorema de inversión de Fourier es análogo a la convergencia de las series de Fourier. En el caso de la transformada de Fourier tenemos

f:: Rn→ → C,f^ ^ :: Rn→ → C,{displaystyle fcolon mathbb {R} {f} {f}f}f}f}f}f} {f} {f}m}m} {f}s} {f} {f}} {f}}}f} {f} {\f} {f}}}}}m} {f}}}}}f} {f}}f}f}}}}}}f} {\\\\\f}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {\\\\\\\\\\\\\\\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\

f^ ^ ().. ):=∫ ∫ Rne− − 2π π iSí.⋅ ⋅ .. f()Sí.)dSí.,{displaystyle {hat {f}(xi):=int _{mathbb {R} {fn}e^{-2pi} iycdot xi },f(y),dy,}

f()x)=∫ ∫ Rne2π π ix⋅ ⋅ .. f^ ^ ().. )d.. .{displaystyle f(x)=int _{mathbb {R}e^{2pi ixcdot xi },{hat {f}xi),dxi.}

En el caso de la serie de Fourier tenemos en cambio

f:: [0,1]n→ → C,f^ ^ :: Zn→ → C,{displaystyle fcolon [0,1]^{n}to mathbb {C}quad {hat {f}colon mathbb {Z} } {n}to mathbb {C}}} {f}}f}f}f}f}f}f}f}

f^ ^ ()k):=∫ ∫ [0,1]ne− − 2π π iSí.⋅ ⋅ kf()Sí.)dSí.,{fnMicrosoft Sans Serif}*

f()x)=.. k▪ ▪ Zne2π π ix⋅ ⋅ kf^ ^ ()k).{displaystyle f(x)=sum _{kin mathbb {Z} {f}e^{2pi ixcdot k},{hat {f}(k).}

En particular, en una dimensión k▪ ▪ Z{displaystyle kin mathbb {Z} y la suma se agota − − JUEGO JUEGO {displaystyle -infty } a JUEGO JUEGO {displaystyle infty }.

Aplicaciones

En las aplicaciones de la transformada de Fourier, el teorema de inversión de Fourier suele desempeñar un papel fundamental. En muchas situaciones, la estrategia básica es aplicar la transformada de Fourier, realizar alguna operación o simplificación y luego aplicar la transformada de Fourier inversa.

Más abstractamente, el teorema de inversión Fourier es una declaración sobre la transformación Fourier como operador (ver Fourier transformar en espacios de función). Por ejemplo, el teorema de inversión Fourier en f▪ ▪ L2()Rn){displaystyle fin L^{2}(mathbb {R} {n})} muestra que la transformación de Fourier es un operador unitario L2()Rn){displaystyle L^{2}(mathbb {R} }.

Propiedades de la transformada inversa

La transformada de Fourier inversa es extremadamente similar a la transformada de Fourier original: como se analizó anteriormente, solo difiere en la aplicación de un operador de inversión. Por esta razón, las propiedades de la transformada de Fourier son válidas para la transformada de Fourier inversa, como el teorema de convolución y el lema de Riemann-Lebesgue.

Las tablas de transformadas de Fourier se pueden usar fácilmente para la transformada de Fourier inversa componiendo la función buscada con el operador de inversión. Por ejemplo, al buscar la transformada de Fourier de la función rect vemos que

f()x)=rectificado⁡ ⁡ ()ax)⇒ ⇒ ()Ff)().. )=1SilencioaSilenciosinc⁡ ⁡ ().. a),{displaystyle f(x)=operatorname {rect} (ax)quad Rightarrow quad ({mathcal {F}f)(xi)={frac {1}{f}operatorname {sinc} left({frac {xi }{a}}}right),}}}}}

g().. )=rectificado⁡ ⁡ ()a.. )⇒ ⇒ ()F− − 1g)()x)=1SilencioaSilenciosinc⁡ ⁡ ()− − xa).{displaystyle g(xi)=operatorname {rect} (axi)quad Rightarrow quad ({mathcal {F}}}{-1}g)={frac {1}{f}}}operatorname {sinc}left(-{frac {x}{a}right).}}}}}}}}}

Prueba

La prueba utiliza algunos hechos, dados f()Sí.){displaystyle f(y)} y Ff().. )=∫ ∫ Rne− − 2π π iSí.⋅ ⋅ .. f()Sí.)dSí.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMithbb {fn}e^{-2pi iycdotxi }f(y)y}.

1. Si x▪ ▪ Rn{displaystyle xin mathbb {R} {fn} y g().. )=e2π π ix⋅ ⋅ .. ↑ ↑ ().. ){displaystyle g(xi)=e^{2pi mathrm {i} xcdot xi }psi (xi)}, entonces ()Fg)()Sí.)=()F↑ ↑ )()Sí.− − x){displaystyle ({mathcal {}g)=({mathcal {F}psi)(y-x)}.
2. Si ε ε ▪ ▪ R{displaystyle varepsilon in mathbb {R} y ↑ ↑ ().. )=φ φ ()ε ε .. ){displaystyle psi (xi)=varphi (varepsilon xi)}, entonces ()F↑ ↑ )()Sí.)=()Fφ φ )()Sí./ε ε )/Silencioε ε Silencio{displaystyle ({mathcal {F}psi)=({mathcal {F}varphi)(y/varepsilon)/ Silencio..
3. Para f,g▪ ▪ L1()Rn){displaystyle f,gin L^{1}(mathbb {R} {n})}El teorema de Fubini implica que ∫ ∫ g().. )⋅ ⋅ ()Ff)().. )d.. =∫ ∫ ()Fg)()Sí.)⋅ ⋅ f()Sí.)dSí.{displaystyle textstyle int g(xi)cdot ({mathcal {F}f)(xi),dxi =int ({mathcal {F}g)(y)cdot f(y),dy}.
4. Define φ φ ().. )=e− − π π Silencio.. Silencio2{displaystyle varphi (xi)=e^{-pi vert xi vert ^{2}}; entonces ()Fφ φ )()Sí.)=φ φ ()Sí.){displaystyle ({mathcal {}varphi)=varphi (y)}.
5. Define φ φ ε ε ()Sí.)=φ φ ()Sí./ε ε )/ε ε n{displaystyle varphi _{varepsilon }(y)=varphi (y/varepsilon)/varepsilon ^{n}. Entonces con Alternativa Alternativa {displaystyle ast } denotando la convolución, φ φ ε ε {displaystyle varphi _{varepsilon } es una aproximación a la identidad: para cualquier continuo f▪ ▪ L1()Rn){displaystyle fin L^{1}(mathbb {R} {n})} y punto x▪ ▪ Rn{displaystyle xin mathbb {R} {fn}, limε ε → → 0()φ φ ε ε Alternativa Alternativa f)()x)=f()x){displaystyle lim _{varepsilonto 0}(varphi _{varepsilon }ast f)(x)=f(x)} (donde la convergencia es puntual).

Puesto que, por supuesto, Ff▪ ▪ L1()Rn){displaystyle {mathcal {}fin L^{1}(mathbb {R} }, entonces sigue por el teorema de convergencia dominado que

∫ ∫ Rne2π π ix⋅ ⋅ .. ()Ff)().. )d.. =limε ε → → 0∫ ∫ Rne− − π π ε ε 2Silencio.. Silencio2+2π π ix⋅ ⋅ .. ()Ff)().. )d.. .{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}e^{2pi ixcdot xi }({mathcal {F}f)xi),dxi =lim _{varepsilonto 0}int _{mathbbbbbb {R} ^{n}e^{-pi varepsilon ^{2}Principioxi tención^{2}+2pi ixcdot xi }({mathcal {F}f)xi),dxi.}

Define gx().. )=e− − π π ε ε 2Silencio.. Silencio2+2π π ix⋅ ⋅ .. {displaystyle g_{x}(xi)=e^{-pi varepsilon ^{2}vert xi vert ^{2}+2pi mathrm {i} xcdot xi }}. Aplicando los hechos 1, 2 y 4, repetidamente para múltiples integrales si es necesario, obtenemos

()Fgx)()Sí.)=1ε ε ne− − π π ε ε 2Silenciox− − Sí.Silencio2=φ φ ε ε ()x− − Sí.).{displaystyle ({mathcal {}g_{x})={frac {1}{varepsilon ^{n}}}e^{-{frac {pi}{varepsilon ^{2} Silencioso-y eterna {2}=varphi _{varepsilon }(x-y).}

Usando el hecho 3 f{displaystyle f} y gx{displaystyle g_{x}, para cada x▪ ▪ Rn{displaystyle xin mathbb {R} {fn}, tenemos

∫ ∫ Rne− − π π ε ε 2Silencio.. Silencio2+2π π ix⋅ ⋅ .. ()Ff)().. )d.. =∫ ∫ Rn1ε ε ne− − π π ε ε 2Silenciox− − Sí.Silencio2f()Sí.)dSí.=()φ φ ε ε Alternativa Alternativa f)()x),{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}e^{-pi varepsilon ^{2}Principioxi Н^{2}+2pi ixcdot xi }({mathcal {F}f)xi),dxi =int _{mathbb [R] ^{n}{frac {1}{varepsilon ^{n}e^{-{frac {pi }{varepsilon ^{2}} {2} {cn}f(y),dy=(varphi _{varepsilon }*f)(x),}

la revolución f{displaystyle f} con una identidad aproximada. Pero... f▪ ▪ L1()Rn){displaystyle fin L^{1}(mathbb {R} {n})}, el hecho 5 dice que

limε ε → → 0()φ φ ε ε Alternativa Alternativa f)()x)=f()x).{displaystyle lim _{varepsilonto 0}(varphi _{varepsilon }*f)(x)=f(x). }

Juntando lo anterior hemos demostrado que

∫ ∫ Rne2π π ix⋅ ⋅ .. ()Ff)().. )d.. =f()x).▪ ▪ {displaystyle int _{mathbb {R} {n}e^{2pi ixcdot xi }({mathcal {F}}f)(xi),dxi =f(x). qquad square }