Teorema de hiperbolización

En geometría, el teorema de geometrización o teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades atoroidales cerradas de Haken son hiperbólicas y, en particular, satisfacen la conjetura de Thurston.

Una forma del teorema de hiperbolización establece: si M es una variedad atoroidal de Haken, compacta e irreducible, cuyo límite tiene una característica de Euler cero, entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.

El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.

Las condiciones de que la variedad M sea irreducible y atoroidal son necesarias, ya que las variedades hiperbólicas tienen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que la variedad sea Haken es innecesariamente fuerte. La conjetura de hiperbolización de Thurston establece que una 3-variedad atoroidal irreducible cerrada con un grupo fundamental infinito es hiperbólica, y esto se desprende de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización de Thurston.

Thurston (1982, 2.3) demostró que si una variedad compacta 3 es prima, homotópicamente atoroidal y tiene un borde no vacío, entonces tiene una estructura hiperbólica completa a menos que sea homeomorfa a una cierta variedad (T²×[0,1])/Z/2Z con borde T².

Una estructura hiperbólica en el interior de una variedad orientable compacta de 3 dimensiones tiene volumen finito si y sólo si todos los componentes de contorno son toros, excepto la variedad T²×[0,1] que tiene una estructura hiperbólica pero no un volumen finito (Thurston 1982, p. 359).

Thurston nunca publicó una prueba completa de su teorema por razones que explicó en (Thurston 1994), aunque partes de su argumento están contenidas en Thurston (1986, 1998a, 1998b). Wall (1984) y Morgan (1984) dieron resúmenes de la prueba de Thurston. Otal (1996) dio una prueba en el caso de variedades que se fibrilan sobre el círculo, y Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron pruebas para el caso genérico de variedades que no se fibrilan sobre el círculo. El teorema de geometrización de Thurston también se desprende de la prueba de Perelman usando el flujo de Ricci de la conjetura de geometrización de Thurston más general.

El argumento original de Thurston para este caso fue resumido por Sullivan (1981). Otal (1996) dio una prueba en el caso de variedades que se desplazan a lo largo del círculo.

El teorema de geometrización de Thurston en este caso especial establece que si M es una variedad 3 que se fibrila sobre el círculo y cuya monodromía es un pseudodifeomorfismo de Anosov, entonces el interior de M tiene una métrica hiperbólica completa de volumen finito.

Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron pruebas del teorema de Thurston para el caso genérico de variedades que no se desplazan a lo largo del círculo.

La idea de la prueba es cortar una variedad de Haken M a lo largo de una superficie incompresible, para obtener una nueva variedad N. Por inducción se supone que el interior de N tiene una estructura hiperbólica, y el problema es modificarlo de modo que pueda extenderse hasta el límite de N y pegarse. Thurston demostró que esto se sigue de la existencia de un punto fijo para una función del espacio de Teichmuller llamada función de desollado. El núcleo de la prueba del teorema de geometrización es demostrar que si N no es un fibrado de intervalos sobre una superficie y M es un atoroidal, entonces la función de desollado tiene un punto fijo. (Si N es un fibrado de intervalos, entonces el mapa de desollado no tiene un punto fijo, por lo que se necesita un argumento separado cuando M fibras están sobre el círculo.) McMullen (1990) dio una nueva prueba de la existencia de un punto fijo del mapa de desollado.

• Kapovich, Michael (2009) [2001], Manifolds hiperbólicos y grupos discretos, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, MR 1792613
• McMullen, C. (1990), "Iteración sobre el espacio Teichmüller", Invenciones Mathematicae, 99 2): 425 –454, Bibcode:1990InMat..99..425M, CiteSeerX 10.1.1.39.2226, doi:10.1007/BF01234427, MR 1031909, S2CID 1226150
• Morgan, John W. (1984), "Sobre el teorema de uniformización de Thurston para los múltiples tridimensionales", en Morgan, John W.; Bass, Hyman (eds.), La conjetura Smith (Nueva York, 1979), Pure Appl. Math., vol. 112, Boston, MA: Academic Press, pp. 37 –125, ISBN 978-0-12-506980-9, MR 0758464
• Otal, Jean-Pierre (1996), "Le théorème d'hyperbolisation pour les variétés fibrées de dimension 3", Astérisque (235), MR 1402300 Traducido al inglés como Otal, Jean-Pierre (2001) [1996], Kay, Leslie D. (ed.), The hyperbolization theorem for fibraed 3-manifolds, SMF/AMS Texts and Monographs, vol. 7, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2153-4, MR 1855976
• Otal, Jean-Pierre (1998), "La hiperbolización de los manifolds de Haken de Thurston", en Hsiung, C.-C.; Yau, Shing-Tung (eds.), Encuestas en geometría diferencial, Vol. III (Cambridge, MA, 1996), Int. Press, Boston, MA, pp. 77 –194, ISBN 978-1-57146-067-7, MR 1677888, archivado desde el original el 2011-01-06
• Sullivan, Dennis (1981), "Travaux de Thurston sur les groupes quasi-fuchsiens et les variétés hyperboliques de dimension 3 fibrées sur S1", Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80, Notas de conferencia en matemáticas, vol. 842, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, pp. 196–214, doi:10.1007/BFb0089935, ISBN 978-3-540-10292-2, MR 0636524
• Thurston, William P. (1982), "Manifolds tridimensionales, grupos Kleinian y geometría hiperbólica", Boletín de la American Mathematical Society, New Series, 6 3): 357 –381, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15003-0, MR 0648524 Esto da la declaración original de la conjetura.
• Thurston, William P. (1986), "Estructuras hiperbólicas en 3 ejes. I. Deformación de los andamios acilíndricos", Anales de Matemáticas, Segunda serie, 124 2): 203 –246, arXiv:math/9801019, doi:10.2307/1971277, JSTOR 1971277, MR 0855294, S2CID 14114726
• Thurston, William P. (1994), "Sobre la prueba y el progreso en las matemáticas", Boletín de la American Mathematical Society, New Series, 30 2): 161–177, arXiv:math/9404236, doi:10.1090/S0273-0979-1994-00502-6, MR 1249357
• Thurston, William P. (1998a) [1986], Estructuras hiperbólicas en 3-manifolds, II: Grupos de superficie y 3-manifolds que fibra sobre el círculo, arXiv:math/9801045, Bibcode:1998math ... 1045T
• Thurston, William P. (1998b) [1986], Estructuras hiperbólicas en 3-maniplos, III: Deformaciones de 3-maniplos con límites incompresibles, arXiv:math/9801058, Bibcode:1998math ... 1058T
• Wall, C. T. C. (1984), "Sobre el trabajo de W. Thurston", en Ciesielski, Zbigniew; Olech, Czesław (eds.), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Warsaw, 1983), Warszawa: PWN, pp. 11–14, ISBN 978-83-01-05523-3, MR 0804672

• Kapovich, M., Geometrization theorem (PDF)