Teorema de Heine-Cantor

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En matemáticas, la Heine-Cantor theorem, nombrado por Eduard Heine y Georg Cantor, afirma que si $fcolon Mto N$ es una función continua entre dos espacios métricos $M$ y $N$ , y $M$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continuo. Un caso especial importante es que cada función continua de un intervalo cerrado a los números reales es uniformemente continua.

Prueba

Supongamos que $M$ y $N$ son dos espacios métricos con métricas $d_M$ y ${displaystyle d_{N}}$ , respectivamente. Suponga además que una función $f:Mto N$ es continuo y $M$ es compacto. Queremos demostrarlo. $f$ es uniformemente continuo, es decir, para cada número real positivo $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ existe un número real positivo $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para todos los puntos $x,y$ en el dominio de la función $M$ , $<math alttext="{displaystyle d_{M}(x,y)dM()x,Sí.)c)δ δ {displaystyle d_{M}(x,y) }<img alt="{displaystyle d_{M}(x,y)$ implica que $<math alttext="{displaystyle d_{N}(f(x),f(y))dN()f()x),f()Sí.))c)ε ε {displaystyle d_{N}(f(x),f(y)<img alt="{displaystyle d_{N}(f(x),f(y))$ .

Considerar un número real positivo $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ . Por continuidad, por cualquier punto $x$ en el dominio $M$ , existe un número real positivo $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ x■0{displaystyle delta _{x}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee0ffa295b847b9d01cb5b99aba9cd4014e4cb8" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.466ex; height:2.676ex;"/>$ tales que $<math alttext="{displaystyle d_{N}(f(x),f(y))dN()f()x),f()Sí.))c)ε ε /2{displaystyle d_{N}(f(x),f(y) /2}<img alt="{displaystyle d_{N}(f(x),f(y))$ cuando $<math alttext="{displaystyle d_{M}(x,y)dM()x,Sí.)c)δ δ x{displaystyle d_{M}(x,y) ¿Qué?<img alt="{displaystyle d_{M}(x,y)$ Es decir, un hecho que $y$ está dentro $delta _{x}$ de $x$ implica que $f(y)$ está dentro ${displaystyle varepsilon /2}$ de $f(x)$ .

Vamos. $U_x$ ser el abierto ${displaystyle delta _{x}/2}$ - vecindario de $x$ , es decir, el set

<math alttext="{displaystyle U_{x}=left{ymid d_{M}(x,y)Ux={}Sí.▪ ▪ dM()x,Sí.)c)12δ δ x}.{displaystyle ¿Qué? - Bien.<img alt="{displaystyle U_{x}=left{ymid d_{M}(x,y)

Desde cada punto $x$ está contenida en su propio $U_x$ , encontramos que la colección ${displaystyle {U_{x}mid xin M}}$ es una cubierta abierta $M$ . Desde $M$ es compacto, esta cubierta tiene un tapado finito ${displaystyle {U_{x_{1}},U_{x_{2}},ldotsU_{x_{n}}}}$ Donde ${displaystyle x_{1},x_{2},ldotsx_{n}in M}$ . Cada uno de estos conjuntos abiertos tiene un radio asociado ${displaystyle delta _{x_{i}}/2}$ . Ahora definamos ${displaystyle delta =min _{1leq ileq n}delta _{x_{i}}/2}$ Es decir, el radio mínimo de estos conjuntos abiertos. Puesto que tenemos un número finito de radios positivos, este mínimo $delta$ es bien definida y positiva. Ahora mostramos esto. $delta$ trabaja para la definición de continuidad uniforme.

Supongamos que $<math alttext="{displaystyle d_{M}(x,y)dM()x,Sí.)c)δ δ {displaystyle d_{M}(x,y) }<img alt="{displaystyle d_{M}(x,y)$ para cualquier dos $x,y$ dentro $M$ . Desde los juegos ${displaystyle U_{x_{i}}}$ forma una cubierta abierta (sub) de nuestro espacio $M$ , sabemos que $x$ debe mentir dentro de uno de ellos, decir ${displaystyle U_{x_{i}}}$ . Entonces tenemos eso $<math alttext="{displaystyle d_{M}(x,x_{i})dM()x,xi)c)12δ δ xi{displaystyle - ¿Qué? {1}{2}delta ¿Qué?<img alt="{displaystyle d_{M}(x,x_{i})$ . La desigualdad triángulo entonces implica que

<math alttext="{displaystyle d_{M}(x_{i},y)leq d_{M}(x_{i},x)+d_{M}(x,y)dM()xi,Sí.)≤ ≤ dM()xi,x)+dM()x,Sí.)c)12δ δ xi+δ δ ≤ ≤ δ δ xi,{displaystyle ¿Qué? ### {M}(x_{i},x)+d_{M}(x,y) _{x_{i}+delta leq delta ¿Qué?<img alt="{displaystyle d_{M}(x_{i},y)leq d_{M}(x_{i},x)+d_{M}(x,y)

implicando que $x$ y $y$ ambos en la mayoría ${displaystyle delta _{x_{i}}}$ lejos $x_{i}$ . Por definición ${displaystyle delta _{x_{i}}}$ , esto implica que ${displaystyle d_{N}(f(x_{i}),f(x))}$ y ${displaystyle d_{N}(f(x_{i}),f(y))}$ ambos son menos que ${displaystyle varepsilon /2}$ . Aplicar la desigualdad del triángulo entonces produce el deseado

<math alttext="{displaystyle d_{N}(f(x),f(y))leq d_{N}(f(x_{i}),f(x))+d_{N}(f(x_{i}),f(y))dN()f()x),f()Sí.))≤ ≤ dN()f()xi),f()x))+dN()f()xi),f()Sí.))c)ε ε 2+ε ε 2=ε ε.{displaystyle d_{N}(f(x),f(y))leq d_{N}(f(x_{i}),f(x))+d_{N}(f(x_{i}),f(y) }{2}+{frac {varepsilon Varepsilon.<img alt="{displaystyle d_{N}(f(x),f(y))leq d_{N}(f(x_{i}),f(x))+d_{N}(f(x_{i}),f(y))

Para una prueba alternativa en el caso de ${displaystyle M=[a,b]}$ , un intervalo cerrado, ver el artículo Cálculo no estándar.

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