Teorema de Heine-Borel

En análisis real, el teorema de Heine-Borel, llamado así por Eduard Heine y Émile Borel, establece:

Para un subconjunto S del espacio euclidiano Rⁿ, las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:

• S está cerrado y atado
• S es compacto, es decir, cada cubierta abierta S tiene un subcubrimiento finito.

Historia y motivación

La historia de lo que hoy se llama el teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de bases sólidas de análisis real. El centro de la teoría era el concepto de continuidad uniforme y el teorema que establece que toda función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en probar esto e implícitamente usó la existencia de una subcubierta finita de una cubierta abierta dada de un intervalo cerrado en su prueba. Usó esta prueba en sus conferencias de 1852, que se publicaron solo en 1904. Más tarde, Eduard Heine, Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle usaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en establecer y probar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación se restringió a las cubiertas contables. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a cubiertas arbitrarias.

Prueba

Si un conjunto es compacto, entonces debe ser cerrado.

Sea S un subconjunto de Rⁿ. Observe primero lo siguiente: si a es un punto límite de S, entonces cualquier colección finita C de conjuntos abiertos, tal que cada conjunto abierto < i>U ∈ C es disjunto de alguna vecindad V_U de a, no logra ser una portada de S. De hecho, la intersección de la familia finita de conjuntos V_U es una vecindad W de a en Rⁿ. Dado que a es un punto límite de S, W debe contener un punto x en S. Esta x ∈ S no está cubierta por la familia C, porque cada U en C es disjunto de V_U y por lo tanto disjunto de W, que contiene x.

Si S es compacto pero no cerrado, entonces tiene un punto límite a que no está en S. Considere una colección C ′ que consiste en un vecindario abierto N(x) para cada < i>x ∈ S, elegido lo suficientemente pequeño como para no intersectar algún vecindario V_x de < yo>a. Entonces C ′ es una cubierta abierta de S, pero cualquier subcolección finita de < i>C ′ tiene la forma de C discutida anteriormente y, por lo tanto, no puede ser una subcubierta abierta de S. Esto contradice la compacidad de S. Por tanto, todo punto límite de S está en S, por lo que S es cerrado.

La prueba anterior se aplica casi sin cambios para mostrar que cualquier subconjunto compacto S de un espacio topológico de Hausdorff X está cerrado en X.

Si un conjunto es compacto, entonces está acotado.

Vamos ${displaystyle S.$ ser un conjunto compacto ${displaystyle mathbf {R} {n}$, y ${displaystyle U_{x}$ una bola de radio 1 centrado en ${displaystyle xin mathbf {R} {fn}$. Entonces el conjunto de todas esas bolas centrado en ${displaystyle xin S}$ es claramente una cubierta abierta ${displaystyle S.$, desde ${displaystyle cup _{xin S}U_{x}$ contiene todo ${displaystyle S.$. Desde ${displaystyle S.$ es compacto, tomar un tapado finito de esta cubierta. Este subcover es la unión finita de bolas de radio 1. Considere todos los pares de centros de estas (finalmente muchos) bolas (de radio 1) y dejar ${displaystyle M}$ ser el máximo de las distancias entre ellos. Entonces si ${displaystyle C_{p}$ y ${displaystyle C_{q}$ son los centros (respectivamente) de bolas unitarias que contienen arbitrarias ${displaystyle p,qin S}$, la desigualdad del triángulo dice:

${displaystyle d(p,q)leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)leq 1+M+1=M+2.}$

Así que el diámetro de ${displaystyle S.$ está obligado por ${displaystyle M+2}$.

Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.

Sea K un subconjunto cerrado de un conjunto compacto T en R^{n y sea C_K una cubierta abierta de K. Entonces U = Rn K es un conjunto abierto y}

${displaystyle C_{T}=C_{K}cup {}$

es una cubierta abierta T. Desde T es compacto, entonces C_T tiene un subcubrimiento finito ${displaystyle C_{T}',}$ que también cubre el conjunto más pequeño K. Desde U no contiene ningún punto K, el conjunto K ya está cubierto por ${displaystyle C_{K }=C_{T}setminus {U},}$ que es una subcoleccion finita de la colección original C_K. Es posible extraer de cualquier tapa abierta C_K de K un subcubrimiento finito.

Si un conjunto es cerrado y acotado, entonces es compacto.

Si un conjunto S en Rⁿ está acotado, entonces puede encerrarse dentro de un n-caja

${displaystyle T_{0}=[a,a]$

donde a > 0. Por la propiedad anterior, es suficiente mostrar que T₀ es compacto.

Suponga, por contradicción, que T₀ no es compacto. Entonces existe una cubierta abierta infinita C de T₀ que no admite ninguna subcubierta finita. A través de la bisección de cada uno de los lados de T₀, la caja T₀ se puede dividir en 2< sup>n sub n-cajas, cada una de las cuales tiene un diámetro igual a la mitad del diámetro de T_{0< /sub>. Entonces al menos una de las 2ⁿ secciones de T0 debe requerir una subcubierta infinita de C , de lo contrario C mismo tendría una subcubierta finita, al unir las cubiertas finitas de las secciones. Llame a esta sección T1.}

Del mismo modo, los lados de T₁ se pueden dividir en dos, dando 2ⁿ secciones de T₁, al menos uno de los cuales debe requerir una subcubierta infinita de C. Continuando de la misma manera se obtiene una secuencia decreciente de cajas n anidadas:

${displaystyle T_{0}supset T_{1}supset T_{2}supset ldots supset T_{k}supset ldots }$

donde la longitud del lado de T_k es (2 a) / 2^k, que tiende a 0 cuando k tiende a infinito. Definamos una sucesión (x_k) tal que cada x_k esté en T_k. Esta sucesión es de Cauchy, por lo que debe converger a algún límite L. Dado que cada T_k es cerrado, y para cada k la secuencia (x _k) eventualmente siempre está dentro de T_k, vemos que L ∈ T _k para cada k.

Dado que C cubre T₀, entonces tiene algún miembro U ∈ C tal que L ∈ U. Dado que U está abierto, hay una n-bola B(L) ⊆ U. Para k lo suficientemente grande, se tiene T_k ⊆ B (L) ⊆ U, pero luego el número infinito de miembros de C necesarios para cubrir T_k se puede sustituir por uno solo: U, una contradicción.

Por lo tanto, T₀ es compacto. Dado que S es cerrado y un subconjunto del conjunto compacto T₀, entonces S también es compacto (ver arriba).

Propiedad de Heine-Borel

El teorema de Heine-Borel no se cumple como se establece para espacios vectoriales topológicos y métricos generales, y esto da lugar a la necesidad de considerar clases especiales de espacios donde esta proposición es cierta. Se llaman los espacios con la propiedad de Heine-Borel.

En la teoría de los espacios métricos

Un espacio métrico ${displaystyle (X,d)}$ se dice que tiene Heine-Borel property si cada uno cerrado fijado en ${displaystyle X}$ es compacto.

Muchos espacios métricos no tienen la propiedad de Heine-Borel, como el espacio métrico de los números racionales (o cualquier espacio métrico incompleto). Los espacios métricos completos también pueden no tener la propiedad; por ejemplo, ningún espacio de Banach de dimensión infinita tiene la propiedad de Heine-Borel (como espacios métricos). Aún más trivial, si la línea real no está dotada de la métrica habitual, puede no tener la propiedad de Heine-Borel.

Un espacio métrico ${displaystyle (X,d)}$ tiene una métrica Heine-Borel que es Cauchy localmente idéntica a ${displaystyle d}$ si y sólo si está completo, ${displaystyle sigma }$-compacto, y localmente compacto.

En la teoría de los espacios vectoriales topológicos

Un espacio vectorial topológico ${displaystyle X}$ se dice que tiene Heine-Borel property (R.E. Edwards utiliza el término espacio compacto) si cada cerrado fijado en ${displaystyle X}$ es compacto. No hay espacios de banca infinitas tienen la propiedad Heine-Borel (como espacios vectoriales topológicos). Pero algunos espacios Fréchet de dimensiones infinitas tienen, por ejemplo, el espacio ${displaystyle C^{infty}(Omega)}$ de funciones suaves en un conjunto abierto ${displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}$ y el espacio ${displaystyle H(Omega)}$ de funciones holomorfas en un conjunto abierto ${displaystyle Omega subset mathbb {C} ^{n}$. Más generalmente, cualquier espacio nuclear cuasi-completo tiene la propiedad Heine-Borel. Todos los espacios Montel tienen la propiedad Heine-Borel también.