Teorema de Hahn-Banach

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Theorem on extension of bounded linear functionals

El teorema de Hahn-Banach es una herramienta central en el análisis funcional. Permite la extensión de funcionales lineales acotados definidos en un subespacio de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también muestra que hay "suficientes" Funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normado para hacer "interesante" el estudio del espacio dual. Otra versión del teorema de Hahn-Banach se conoce como teorema de separación de Hahn-Banach o teorema de separación del hiperplano, y tiene numerosos usos en geometría convexa.

Historia

El teorema se llama para los matemáticos Hans Hahn y Stefan Banach, quienes lo probaron independientemente a finales de los años 20. El caso especial del teorema para el espacio $C[a,b]$ de funciones continuas en un intervalo fue probado antes (en 1912) por Eduard Helly, y un teorema de extensión más general, el teorema de extensión M. Riesz, del cual se puede derivar el teorema de Hahn-Banach, fue probado en 1923 por Marcel Riesz.

El primer teorema de Hahn-Banach fue probado por Eduard Helly en 1921 que mostró que ciertas funcionalidades lineales definidas en un subespacio de cierto tipo de espacio normalizado ( ${displaystyle mathbb {C} ^{mathbb {N} }}$ ) tenía una extensión de la misma norma. Helly hizo esto a través de la técnica de primera prueba de que existe una extensión unidimensional (donde la funcionalidad lineal tiene su dominio extendido por una dimensión) y luego el uso de la inducción. En 1927, Hahn definió los espacios generales de Banach y utilizó la técnica de Helly para probar una versión reservada a la norma del teorema de Hahn-Banach para los espacios de Banach (donde un funcional lineal en un subespacio tiene una extensión lineal enmarcada de la misma norma a todo el espacio). En 1929, Banach, que no tenía conocimiento del resultado de Hahn, lo generalizó reemplazando la versión de reserva de norma con la versión de extensión dominada que utiliza funciones sublinear. Mientras que la prueba de Helly usó inducción matemática, Hahn y Banach utilizaron inducción transfinita.

El teorema de Hahn-Banach surgió de los intentos de resolver sistemas infinitos de ecuaciones lineales. Esto es necesario para resolver problemas como el problema de los momentos, en el que, dados todos los momentos potenciales de una función, se debe determinar si existe una función que tenga estos momentos y, de ser así, encontrarla en términos de esos momentos. Otro problema de este tipo es el problema de la serie de coseno de Fourier, en el que, dados todos los coeficientes de coseno de Fourier potenciales, se debe determinar si existe una función que tenga esos coeficientes y, de nuevo, encontrarla si es así.

Riesz y Helly resolvieron el problema para ciertas clases de espacios (como ${displaystyle L^{p}([0,1])}$ y ${displaystyle C([a,b])}$ donde descubrieron que la existencia de una solución equivalía a la existencia y continuidad de ciertas funcionalidades lineales. En efecto, necesitaban resolver el siguiente problema:

()El problema del vector) Dada una colección

{displaystyle left(f_{i}right)_{iin I}}

de funcionales lineales ligadas en un espacio normal

X

and a collection of scalars

{displaystyle left(c_{i}right)_{iin I},}

determinar si hay un

xin X

tales que

{displaystyle f_{i}(x)=c_{i}}

para todos

{displaystyle iin I.}

Si $X$ resulta ser un espacio reflexivo para resolver el problema vectorial, basta con resolver el siguiente problema dual:

()El problema funcional) Dada una colección

{displaystyle left(x_{i}right)_{iin I}}

vectores en un espacio normal

X

and a collection of scalars

{displaystyle left(c_{i}right)_{iin I},}

determinar si hay un funcional lineal ligado

f

X

tales que

{displaystyle fleft(x_{i}right)=c_{i}}

para todos

{displaystyle iin I.}

Riesz siguió definiendo ${displaystyle L^{p}([0,1])}$ espacio () $<math alttext="{displaystyle 1<p1.p.JUEGO JUEGO {displaystyle 1 seccionó] <img alt="1 < p$ ) en 1910 y el $ell ^{p}$ espacios en 1913. Mientras investigaba estos espacios demostró un caso especial del teorema de Hahn-Banach. Helly también demostró un caso especial del teorema Hahn-Banach en 1912. En 1910, Riesz resolvió el problema funcional de algunos espacios específicos y en 1912, Helly lo resolvió para una clase más general de espacios. No fue hasta 1932 que Banach, en una de las primeras aplicaciones importantes del teorema de Hahn-Banach, resolvió el problema funcional general. El teorema siguiente establece el problema funcional general y caracteriza su solución.

Theorem(El problema funcional)—Vamos ${displaystyle left(x_{i}right)_{iin I}}$ ser vectores en un espacio real o complejo $X$ y dejar ${displaystyle left(c_{i}right)_{iin I}}$ scalars también indexado por ${displaystyle Ineq varnothing.}$

Existe un funcionamiento lineal continuo $f$ on $X$ tales que ${displaystyle fleft(x_{i}right)=c_{i}}$ para todos $iin I$ y sólo si existe $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">K■0{displaystyle K]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89502f5e80eaec4b6f5b1f822aebd0c50d0a303" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.327ex; height:2.176ex;"/>$ tal que para cualquier elección de los escalares ${displaystyle left(s_{i}right)_{iin I}}$ donde todo pero finitamente muchos $s_{i}$ son ${displaystyle 0,}$ las siguientes bodegas:

{displaystyle left|sum _{iin I}s_{i}c_{i}right|leq Kleft|sum _{iin I}s_{i}x_{i}right|.}

El teorema Hahn-Banach se puede deducir del teorema anterior. Si $X$ es reflexivo entonces este teorema resuelve el problema del vector.

Teorema de Hahn-Banach

Una función de valor real ${displaystyle f:Mto mathbb {R} }$ definido en un subconjunto $M$ de $X$ se dice que dominado (arriba) por una función ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ si ${displaystyle f(m)leq p(m)}$ para todos ${displaystyle min M.}$ De ahí la razón por la que se llama la siguiente versión del teorema Hahn-Banach el teorema de extensión dominado.

Teorema de extensión dominada por Hahn-Banach (para funciones lineales reales)—Si ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ es una función sublinear (como una norma o seminorm por ejemplo) definida en un espacio vectorial real $X$ entonces cualquier funcional lineal definido en un subespacio vectorial $X$ que está dominado por $p$ tiene al menos una extensión lineal a todos $X$ que también está dominado por $p.$

Explícitamente, si ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ es una función sublinear, que por definición significa que satisface

{displaystyle p(x+y)leq p(x)+p(y)quad {text{ and }}quad p(tx)=tp(x)qquad {text{ for all }};x,yin X;{text{ and all real }};tgeq 0,}

y si

{displaystyle f:Mto mathbb {R} }

es un funcional lineal definido en un subespacial vectorial

M

X

tales que

{displaystyle f(m)leq p(m)quad {text{ for all }}min M}

entonces existe un funcional lineal

{displaystyle F:Xto mathbb {R} }

tales que

{displaystyle F(m)=f(m)quad {text{ for all }}min M,}

{displaystyle F(x)leq p(x)quad ~;,{text{ for all }}xin X.}

Además, si

p

es un seminorm entonces

{displaystyle |F(x)|leq p(x)}

necesariamente sostiene para todos

{displaystyle xin X.}

El teorema sigue siendo cierto si los requisitos $p$ se relajan para exigir sólo que $p$ ser una función convexa:

<math alttext="{displaystyle p(tx+(1-t)y)leq tp(x)+(1-t)p(y)qquad {text{ for all }}0<tp()tx+()1- - t)Sí.)\leq \leq tp()x)+()1- - t)p()Sí.)para todos0.t.1yx,Sí.▪ ▪ X.{displaystyle p(tx+(1-t)y)leq tp(x)+(1-t)p(y)qquad {text{ for all }}0 obtenidos1{text{ y }}x,yin X.} <img alt="{displaystyle p(tx+(1-t)y)leq tp(x)+(1-t)p(y)qquad {text{ for all }}0<t

{displaystyle p:Xto mathbb {R} }

{displaystyle p(0)leq 0}

{displaystyle p(ax+by)leq ap(x)+bp(y)}

x, y in X

{displaystyle a,bgeq 0}

{displaystyle a+bleq 1.}

{displaystyle p:Xto mathbb {R} }

{displaystyle p_{0}leq p}

0}{frac {p(tx)}{t}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p0()x):=inft■0p()tx)t{displaystyle p_{0}(x):=inf _{t confianza0}{frac {p(tx)}{t}}}0}{frac {p(tx)}{t}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6708ae2cd3af86a21a013fa6349358f9d57fd96" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:18.263ex; height:5.843ex;"/>

{displaystyle Fleq p_{0}}

{displaystyle Fleq p}

Si ${displaystyle F:Xto mathbb {R} }$ entonces es lineal ${displaystyle Fleq p}$ si

{displaystyle -p(-x)leq F(x)leq p(x)quad {text{ for all }}xin X,}

{displaystyle Fleq p.}

{displaystyle p:Xto mathbb {R} }

simétrica

{displaystyle p(-x)=p(x)}

{displaystyle xin X,}

{displaystyle Fleq p}

{displaystyle |F|leq p.}

{displaystyle mathbb {R} to mathbb {R} }

{displaystyle X:=mathbb {R} }

Para espacios vectoriales complejos o reales

El teorema de extensión dominada para funcionales lineales reales implica el siguiente enunciado alternativo del teorema de Hahn-Banach que se puede aplicar a funcionales lineales en espacios vectoriales reales o complejos.

Teorema de Hahn-Banach—Suppose ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ un seminorm en un espacio vectorial $X$ sobre el terreno ${displaystyle mathbf {K}}$ que es $mathbb {R}$ o ${displaystyle mathbb {C}.}$ Si ${displaystyle f:Mto mathbf {K} }$ es un funcional lineal en un subespacial vectorial $M$ tales que

{displaystyle |f(m)|leq p(m)quad {text{ for all }}min M.}

entonces existe un funcional lineal

{displaystyle F:Xto mathbf {K} }

tales que

{displaystyle F(m)=f(m)quad ;{text{ for all }}min M,}

{displaystyle |F(x)|leq p(x)quad ;,{text{ for all }}xin X.}

El teorema sigue siendo cierto si los requisitos $p$ están relajados para exigir sólo eso para todos $x, y in X$ y todos los cuero cabelludos $a$ y $b$ satisfacción ${displaystyle |a|+|b|leq 1,}$

{displaystyle p(ax+by)leq |a|p(x)+|b|p(y).}

p

{displaystyle p(0)leq 0,}

{displaystyle p(0)leq 0,}

{displaystyle p(ux)leq p(x)}

xin X

u.

Un funcional de valor complejo $F$ se dice que dominado por $p$ si ${displaystyle |F(x)|leq p(x)}$ para todos $x$ en el dominio de $F.$ Con esta terminología, las declaraciones anteriores del teorema de Hahn-Banach pueden ser renovadas más sucintamente:

Teorema de extensión dominada por Hahn-BanachSi

{displaystyle p:Xto mathbb {R} }

es un seminorm definido en un espacio vectorial real o complejo

X,

entonces cada funcional lineal dominado definido en un subespacio vectorial

X

tiene una extensión lineal dominada a todos

X.

En el caso en que

X

es un espacio vectorial real

{displaystyle p:Xto mathbb {R} }

es simplemente una función convexa o sublinear, esta conclusión seguirá siendo verdadera si ambas instancias "dominadas" (significando)

{displaystyle |F|leq p}

) se debilitan para significar "dominated above" (significando

{displaystyle Fleq p}

Prueba

Las siguientes observaciones permiten aplicar el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales a funcionales lineales (de valores complejos) en espacios vectoriales complejos.

Cada funcional lineal ${displaystyle F:Xto mathbb {C} }$ en un espacio vectorial complejo está completamente determinado por su parte real ${displaystyle ;operatorname {Re} F:Xto mathbb {R} ;}$ a través de la fórmula

{displaystyle F(x);=;operatorname {Re} F(x)-ioperatorname {Re} F(ix)qquad {text{ for all }}xin X}

|cdot |

X

{displaystyle |F|=|operatorname {Re} F|.}

X

Msubseteq X

M

F

f

{displaystyle operatorname {Re} F}

{displaystyle operatorname {Re} f}

X

X

{displaystyle R:Xto mathbb {R} }

{displaystyle xmapsto R(x)-iR(ix)}

X

R.

Si $F$ es un funcional lineal en un espacio vectorial (complejo o real) $X$ y si ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ es un seminorm entonces

{displaystyle |F|,leq ,pquad {text{ if and only if }}quad operatorname {Re} F,leq ,p.}

p

p.

Prueba de Hahn-Banach para espacios vectoriales complejos por reducción a espacios vectoriales reales

Suppose ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ es un seminorm en un espacio vectorial complejo $X$ y dejar ${displaystyle f:Mto mathbb {C} }$ ser un funcional lineal definido en un subespacial vectorial $M$ de $X$ que satisfice ${displaystyle |f|leq p}$ on ${displaystyle M.}$ Considerar $X$ como un espacio vectorial real y aplicar el teorema Hahn-Banach para espacios vectoriales reales a la funcionalidad real-lineal ${displaystyle ;operatorname {Re} f:Mto mathbb {R} ;}$ para obtener una extensión real-lineal ${displaystyle R:Xto mathbb {R} }$ que también está dominado por $p,$ que significa que satisface ${displaystyle Rleq p}$ on $X$ y ${displaystyle R=operatorname {Re} f}$ on ${displaystyle M.}$ El mapa ${displaystyle F:Xto mathbb {C} }$ definidas por ${displaystyle F(x);=;R(x)-iR(ix)}$ es un funcional lineal en $X$ que se extiende $f$ (porque sus partes reales están de acuerdo en $M$ ) y satisfies ${displaystyle |F|leq p}$ on $X$ (porque ${displaystyle operatorname {Re} Fleq p}$ y $p$ es un seminorm). $blacksquare$

La prueba anterior muestra que cuando $p$ es un seminorm entonces hay una correspondencia entre las extensiones lineales dominadas de ${displaystyle f:Mto mathbb {C} }$ y las extensiones reales dominadas de ${displaystyle operatorname {Re} f:Mto mathbb {R};}$ la prueba incluso da una fórmula para construir explícitamente una extensión lineal $f$ de cualquier extensión real-lineal dada de su parte real.

Continuidad

Un funcional lineal $F$ en un espacio vectorial topológico es continuo si y sólo si esto es verdad de su parte real ${displaystyle operatorname {Re} F;}$ si el dominio es un espacio normal entonces ${displaystyle |F|=|operatorname {Re} F|}$ (donde un lado es infinito si y sólo si el otro lado es infinito). Assume $X$ es un espacio vectorial topológico y ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ es función sublinear. Si $p$ es una función sublinear continua que domina una funcionalidad lineal $F$ entonces $F$ es necesariamente continuo. Además, un funcional lineal $F$ es continuo si y sólo si su valor absoluto ${displaystyle |F|}$ (que es un seminorm que domina) $F$ ) es continuo. En particular, una funcionalidad lineal es continua si está dominada por alguna función sublinear continua.

Prueba

El teorema de Hahn-Banach para espacios vectores reales finalmente sigue del resultado inicial de Helly para el caso especial donde el funcional lineal se extiende desde el $M$ a un espacio vectorial más grande en el que $M$ ha codimension $1.$

Lemma()Teorema de extensión dominado de una dimensión)—Vamos ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ ser una función sublinear en un espacio vectorial real $X,$ Deja ${displaystyle f:Mto mathbb {R} }$ un funcional lineal en un subespacial vectorial adecuado ${displaystyle Msubsetneq X}$ tales que ${displaystyle fleq p}$ on $M$ (que significa) ${displaystyle f(m)leq p(m)}$ para todos $min M$ ), y dejar $xin X$ ser un vector no dentro $M$ (so ${displaystyle Moplus mathbb {R} x=operatorname {span} {M,x}}$ ). Existe una extensión lineal ${displaystyle F:Moplus mathbb {R} xto mathbb {R} }$ de $f$ tales que ${displaystyle Fleq p}$ on ${displaystyle Moplus mathbb {R} x.}$

Prueba

Dado cualquier número real $b,$ el mapa ${displaystyle F_{b}:Moplus mathbb {R} xto mathbb {R} }$ definidas por ${displaystyle F_{b}(m+rx)=f(m)+rb}$ es siempre una extensión lineal $f$ a ${displaystyle Moplus mathbb {R} x}$ pero podría no satisfacer ${displaystyle F_{b}leq p.}$ Se mostrará que $b$ siempre se puede elegir para garantizar que ${displaystyle F_{b}leq p,}$ que completará la prueba.

Si ${displaystyle m,nin M}$ entonces

{displaystyle f(m)-f(n)=f(m-n)leq p(m-n)=p(m+x-x-n)leq p(m+x)+p(-x-n)}

que implica

{displaystyle -p(-n-x)-f(n)~leq ~p(m+x)-f(m).}

So define

{displaystyle a=sup _{nin M}[-p(-n-x)-f(n)]qquad {text{ and }}qquad c=inf _{min M}[p(m+x)-f(m)]}

Donde

{displaystyle aleq c}

son números reales. Garantía

{displaystyle F_{b}leq p,}

es suficiente

{displaystyle aleq bleq c}

(de hecho, esto también es necesario) porque entonces

b

satisfizo "la desigualdad decisiva"

{displaystyle -p(-n-x)-f(n)~leq ~b~leq ~p(m+x)-f(m)qquad {text{ for all }};m,nin M.}

Para ver eso ${displaystyle f(m)+rbleq p(m+rx)}$ sigue: $rneq 0$ y sustituto ${displaystyle {tfrac {1}{r}}m}$ para ambos $m$ y $n$ para obtener

{displaystyle -pleft(-{tfrac {1}{r}}m-xright)-{tfrac {1}{r}}fleft(mright)~leq ~b~leq ~pleft({tfrac {1}{r}}m+xright)-{tfrac {1}{r}}fleft(mright).}

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>

(respectivamente, si

<math alttext="{displaystyle rr.0{displaystyle r made0} <img alt="{displaystyle r

) entonces el lado derecho (respectivamente, la izquierda) igual

{displaystyle {tfrac {1}{r}}left[p(m+rx)-f(m)right]}

para que se multipliquen

r

{displaystyle rbleq p(m+rx)-f(m).}

blacksquare

Esta lema sigue siendo verdadera ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ es simplemente una función convexa en lugar de una función sublinear.

Prueba
Supongamos que $p$ es convexo, lo que significa que ${displaystyle p(ty+(1-t)z)leq tp(y)+(1-t)p(z)}$ para todos ${displaystyle 0leq tleq 1}$ y ${displaystyle y,zin X.}$ Vamos ${displaystyle M,}$ ${displaystyle f:Mto mathbb {R}}$ y ${displaystyle xin Xsetminus M}$ como en la declaración de la lema. Dados ${displaystyle m,nin M}$ y cualquier real positivo $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r,s■0,{displaystyle r,s confianza0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211174fd69134a919ccca321ace3a4acde8a40ca" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.081ex; height:2.509ex;"/>$ los números reales positivos ${displaystyle t:={tfrac {s}{r+s}}}$ y ${displaystyle {tfrac {r}{r+s}}=1-t}$ sum to $1$ para que la convexidad de $p$ on $X$ garantías ${displaystyle {begin{alignedat}{9}pleft({tfrac {s}{r+s}}m+{tfrac {r}{r+s}}nright)~&=~p{big (}{tfrac {s}{r+s}}(m-rx)&&+{tfrac {r}{r+s}}(n+sx){big)}&&\&leq ~{tfrac {s}{r+s}};p(m-rx)&&+{tfrac {r}{r+s}};p(n+sx)&&\end{alignedat}}}$ y por consiguiente ${displaystyle {begin{alignedat}{9}sf(m)+rf(n)~&=~(r+s);fleft({tfrac {s}{r+s}}m+{tfrac {r}{r+s}}nright)&&qquad {text{ by linearity of }}f\&leq ~(r+s);pleft({tfrac {s}{r+s}}m+{tfrac {r}{r+s}}nright)&&qquad fleq p{text{ on }}M\&leq ~sp(m-rx)+rp(n+sx)\end{alignedat}}}$ demostrando así que ${displaystyle -sp(m-rx)+sf(m)~leq ~rp(n+sx)-rf(n),}$ que después de multiplicar ambos lados por ${displaystyle {tfrac {1}{rs}}}$ se convierte en ${displaystyle {tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]~leq ~{tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)].}$ Esto implica que los valores definidos por $0}}{tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]qquad {text{ and }}qquad c=inf _{stackrel {nin M}{s>0}}{tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)]}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a=Supr■0m▪ ▪ M1r[− − p()m− − rx)+f()m)]yc=infs■0n▪ ▪ M1s[p()n+sx)− − f()n)]{displaystyle a=sup _{stackrel {min [-p(m-rx)+f(m)]qquad {text{ and }qquad c=inf _{stackrel {nin [p(n+sx)-f(n)]}0}}{tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]qquad {text{ and }}qquad c=inf _{stackrel {nin M}{s>0}}{tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)]}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9c1f35e55c1923aa5712e0fb354e646af5e7a2" style="vertical-align: -3.838ex; width:72.876ex; height:6.176ex;"/>$ son números reales que satisfacen ${displaystyle aleq c.}$ Como en la prueba anterior del teorema de extensión unidimensional dominado arriba, para cualquier real $bin mathbb{R}$ definir ${displaystyle F_{b}:Moplus mathbb {R} xto mathbb {R} }$ por ${displaystyle F_{b}(m+rx)=f(m)+rb.}$ Se puede verificar que si ${displaystyle aleq bleq c}$ entonces ${displaystyle F_{b}leq p}$ Donde ${displaystyle rbleq p(m+rx)-f(m)}$ A continuación ${displaystyle bleq c}$ cuando $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ (respectivamente, sigue $aleq b$ cuando $<math alttext="{displaystyle rr.0{displaystyle r made0} <img alt="{displaystyle r$ ). $blacksquare$

Prueba

Supongamos que $p$ es convexo, lo que significa que ${displaystyle p(ty+(1-t)z)leq tp(y)+(1-t)p(z)}$ para todos ${displaystyle 0leq tleq 1}$ y ${displaystyle y,zin X.}$ Vamos ${displaystyle M,}$ ${displaystyle f:Mto mathbb {R}}$ y ${displaystyle xin Xsetminus M}$ como en la declaración de la lema. Dados ${displaystyle m,nin M}$ y cualquier real positivo $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r,s■0,{displaystyle r,s confianza0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211174fd69134a919ccca321ace3a4acde8a40ca" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.081ex; height:2.509ex;"/>$ los números reales positivos ${displaystyle t:={tfrac {s}{r+s}}}$ y ${displaystyle {tfrac {r}{r+s}}=1-t}$ sum to $1$ para que la convexidad de $p$ on $X$ garantías

{displaystyle {begin{alignedat}{9}pleft({tfrac {s}{r+s}}m+{tfrac {r}{r+s}}nright)~&=~p{big (}{tfrac {s}{r+s}}(m-rx)&&+{tfrac {r}{r+s}}(n+sx){big)}&&\&leq ~{tfrac {s}{r+s}};p(m-rx)&&+{tfrac {r}{r+s}};p(n+sx)&&\end{alignedat}}}

y por consiguiente

{displaystyle {begin{alignedat}{9}sf(m)+rf(n)~&=~(r+s);fleft({tfrac {s}{r+s}}m+{tfrac {r}{r+s}}nright)&&qquad {text{ by linearity of }}f\&leq ~(r+s);pleft({tfrac {s}{r+s}}m+{tfrac {r}{r+s}}nright)&&qquad fleq p{text{ on }}M\&leq ~sp(m-rx)+rp(n+sx)\end{alignedat}}}

demostrando así que

{displaystyle -sp(m-rx)+sf(m)~leq ~rp(n+sx)-rf(n),}

que después de multiplicar ambos lados por

{displaystyle {tfrac {1}{rs}}}

se convierte en

{displaystyle {tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]~leq ~{tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)].}

Esto implica que los valores definidos por

0}}{tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]qquad {text{ and }}qquad c=inf _{stackrel {nin M}{s>0}}{tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)]}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a=Supr■0m▪ ▪ M1r[− − p()m− − rx)+f()m)]yc=infs■0n▪ ▪ M1s[p()n+sx)− − f()n)]{displaystyle a=sup _{stackrel {min [-p(m-rx)+f(m)]qquad {text{ and }qquad c=inf _{stackrel {nin [p(n+sx)-f(n)]}0}}{tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]qquad {text{ and }}qquad c=inf _{stackrel {nin M}{s>0}}{tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)]}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9c1f35e55c1923aa5712e0fb354e646af5e7a2" style="vertical-align: -3.838ex; width:72.876ex; height:6.176ex;"/>

son números reales que satisfacen

{displaystyle aleq c.}

Como en la prueba anterior del teorema de extensión unidimensional dominado arriba, para cualquier real

bin mathbb{R}

definir

{displaystyle F_{b}:Moplus mathbb {R} xto mathbb {R} }

por

{displaystyle F_{b}(m+rx)=f(m)+rb.}

Se puede verificar que si

{displaystyle aleq bleq c}

entonces

{displaystyle F_{b}leq p}

Donde

{displaystyle rbleq p(m+rx)-f(m)}

A continuación

{displaystyle bleq c}

cuando

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>

(respectivamente, sigue

aleq b

cuando

<math alttext="{displaystyle rr.0{displaystyle r made0} <img alt="{displaystyle r

blacksquare

El lema anterior es el paso clave para deducir el teorema de la extensión dominada del lema de Zorn.

Prueba de teorema de extensión dominado usando la lema de Zorn

El conjunto de todas las posibles extensiones lineales dominadas de $f$ son parcialmente ordenados por la extensión uno del otro, por lo que hay una extensión máxima $F.$ Por el resultado codimension-1, si $F$ no se define en todos $X,$ entonces se puede ampliar más. Así $F$ debe definirse en todas partes, como se afirma. $blacksquare$

Cuando $M$ tiene codimensión contable, luego el uso de la inducción y la lema completa la prueba del teorema Hahn-Banach. La prueba estándar del caso general utiliza la lema de Zorn, aunque el ultrafiltro más débil (que es equivalente al teorema de compactidad y al teorema ideal de Boolean) puede ser utilizado en su lugar. Hahn-Banach también se puede probar utilizando el teorema de Tychonoff para espacios compactos Hausdorff (que también es equivalente al lema ultrafiltro)

El proyecto Mizar ha formalizado completamente y verificado automáticamente la prueba del teorema de Hahn-Banach en el archivo HAHNBAN.

En espacios localmente convexos

En la forma anterior, el funcional a extender ya debe estar acotado por una función sublineal. En algunas aplicaciones, esto podría convertirse en una petición de principio. Sin embargo, en espacios localmente convexos, cualquier funcional continuo ya está acotado por la norma, que es sublineal. Se tiene pues

Extensiones continuas en espacios locales convexos—Vamos $X$ ser localmente convexo espacio vectorial topológico sobre $mathbf {K}$ (ya $mathbb {R}$ o $mathbb{C}$ ), $M$ un subespacio vectorial $X$ , y $f$ un funcionamiento lineal continuo en ${displaystyle M.}$ Entonces... $f$ tiene una extensión lineal continua a todos $X$ . Si la topología en $X$ surge de una norma, entonces la norma $f$ se conserva por esta extensión.

En términos teóricos de categoría, el campo $mathbf {K}$ es un objeto inyectable en la categoría de espacios vectoriales convexos locales.

Geométrica Hahn-Banach (los teoremas de separación Hahn-Banach)

(feminine)

El elemento clave del teorema Hahn-Banach es fundamentalmente un resultado de la separación de dos conjuntos convexo: ${displaystyle {-p(-x-n)-f(n):nin M},}$ y ${displaystyle {p(m+x)-f(m):min M}.}$ Este tipo de argumento aparece ampliamente en geometría convexa, teoría de optimización y economía. Lemmas a este fin derivados del teorema original de Hahn-Banach son conocidos como Teoremas de separación Hahn-Banach.

Theorem—Vamos $A$ y $B$ ser subconjuntos convexos no vacíos de un espacio vectorial convexo real localmente $X.$ Si ${displaystyle operatorname {Int} Aneq varnothing }$ y ${displaystyle Bcap operatorname {Int} A=varnothing }$ entonces existe un funcionamiento lineal continuo $f$ on $X$ tales que ${displaystyle sup f(A)leq inf f(B)}$ y $<math alttext="{displaystyle f(a)f()a).inff()B){displaystyle f(a) <img alt="{displaystyle f(a)$ para todos ${displaystyle ain operatorname {Int} A}$ (como una $f$ es necesariamente no cero).

Cuando los conjuntos convexos tienen propiedades adicionales, como por ejemplo ser abiertos o compactos, entonces la conclusión puede reforzarse sustancialmente:

Theorem—Vamos $A$ y $B$ ser convexas subconjuntos no vacíos de un espacio vectorial topológico real $X.$

Si $A$ está abierto entonces $A$ y $B$ son separado por un hiperplano cerrado. Explícitamente, esto significa que existe un mapa lineal continuo ${displaystyle f:Xto mathbf {K} }$ y ${displaystyle sin mathbb {R} }$ tales que $<math alttext="{displaystyle f(a)f()a).s\leq \leq f()b){displaystyle f(a) <img alt="{displaystyle f(a)$ para todos ${displaystyle ain A,bin B.}$ Si ambos $A$ y $B$ están abiertos entonces el lado derecho puede ser tomado estricto también.
Si $X$ es localmente convex, $A$ es compacto, y $B$ cerrado, entonces $A$ y $B$ son estrictamente separados: existe un mapa lineal continuo ${displaystyle f:Xto mathbf {K} }$ y ${displaystyle s,tin mathbb {R} }$ tales que $<math alttext="{displaystyle f(a)<t<sf()a).t.s.f()b){displaystyle f(a) seleccionadat <img alt="{displaystyle f(a)<t<s$ para todos ${displaystyle ain A,bin B.}$

Si $X$ es complejo (más que real) entonces las mismas afirmaciones sostienen, pero para la parte real de $f.$

Luego después de un importante corolario se conoce como el Teorema geométrico Hahn-Banach o Teorema de Mazur. Se deriva de la primera bala anterior y de la convexidad ${displaystyle M.}$

Theorem (Mazur)—Vamos $M$ ser un subespacio vectorial del espacio vectorial topológico $X$ y supongan $K$ es un subconjunto abierto convexo no vacío $X$ con ${displaystyle Kcap M=varnothing.}$ Luego hay un hiperplano cerrado (codimensión-1 subespacial vectorial) ${displaystyle Nsubseteq X}$ que contiene ${displaystyle M,}$ pero sigue descompuesto $K.$

El teorema de Mazur aclara que los subespacios vectoriales (incluso aquellos que no son cerrados) se pueden caracterizar por funcionales lineales.

Corollary(Separación de un subespacio y un conjunto de convexo abierto)—Vamos $M$ ser un subespacio vectorial de un espacio vectorial localmente convexo $X,$ y $U$ ser un subconjunto convexo abierto no vacío de ${displaystyle M.}$ Entonces existe un funcionamiento lineal continuo $f$ on $X$ tales que ${displaystyle f(m)=0}$ para todos $min M$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Re⁡ ⁡ f■0{displaystyle operatorname {Re} f}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b3f787967a5569e39800f7ad28576ceeb652df" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.67ex; height:2.509ex;"/>$ on $U.$

Apoyo a los hiperplanos

Puesto que los puntos son trivialmente convexos, el Hahn-Banach geométrico implica que las funcionalidades pueden detectar el límite de un conjunto. En particular, $X$ ser un espacio vectorial topológico real y $Asubseteq X$ ser convexo con ${displaystyle operatorname {Int} Aneq varnothing.}$ Si ${displaystyle a_{0}in Asetminus operatorname {Int} A}$ entonces hay un funcional que se desvanece ${displaystyle a_{0},}$ pero apoyado en el interior de $A.$

Llamar a un espacio normal $X$ lisa si en cada punto $x$ en su bola de unidad existe un hiperplano cerrado único a la bola de unidad en $x.$ Köthe mostró en 1983 que un espacio normal es suave en un momento $x$ si y sólo si la norma es Gateaux diferenciable en ese punto.

Barrios equilibrados o en disco

Vamos $U$ ser un barrio convexo equilibrado del origen en un espacio vectorial localmente convexo $X$ y supongan $xin X$ no es un elemento $U.$ Entonces existe un funcionamiento lineal continuo $f$ on $X$ tales que ${displaystyle sup |f(U)|leq |f(x)|.}$

Aplicaciones

El teorema de Hahn-Banach es el primer signo de una filosofía importante en el análisis funcional: para entender un espacio, uno debe entender sus funcionales continuos.

Por ejemplo, subespacios lineales se caracterizan por funcionalidades: si $X$ es un espacio vectorial normalizado con subespacial lineal $M$ (no necesariamente cerrado) y si $z$ es un elemento $X$ no en el cierre de $M$ , entonces existe un mapa lineal continuo ${displaystyle f:Xto mathbf {K} }$ con ${displaystyle f(m)=0}$ para todos ${displaystyle min M,}$ ${displaystyle f(z)=1,}$ y ${displaystyle |f|=operatorname {dist} (z,M)^{-1}.}$ (Para ver esto, note que ${displaystyle operatorname {dist} (cdotM)}$ es una función sublinear.) Además, si $z$ es un elemento $X$ , entonces existe un mapa lineal continuo ${displaystyle f:Xto mathbf {K} }$ tales que ${displaystyle f(z)=|z|}$ y ${displaystyle |f|leq 1.}$ Esto implica que la inyección natural $J$ desde un espacio normal $X$ en su doble dual $V^{{**}}$ es isométrico.

Ese último resultado también sugiere que el teorema de Hahn-Banach a menudo se puede utilizar para localizar una topología "nicer" en la que trabajar. Por ejemplo, muchos resultados en el análisis funcional suponen que un espacio es Hausdorff o localmente convex. Sin embargo, supongamos $X$ es un espacio vectorial topológico, no necesariamente Hausdorff o localmente convex, pero con un conjunto abierto, no vacío, adecuado, $M$ . Entonces geométrico Hahn-Banach implica que hay un hiperplano separando $M$ desde cualquier otro punto. En particular, debe existir un no cero funcional sobre $X$ — es decir, el espacio dual continuo $X^{*}$ es no-trivial. Considerando $X$ con la débil topología inducida por ${displaystyle X^{*},}$ entonces $X$ se vuelve localmente convexo; por la segunda bala de Hahn-Banach geométrico, la topología débil en este nuevo espacio separa puntos. Así $X$ con esta débil topología se convierte en Hausdorff. Esto a veces permite que algunos resultados de espacios vectoriales topológicos locales se apliquen a espacios no hausdorff y no localmente convexos.

Ecuaciones diferenciales parciales

El teorema Hahn-Banach es a menudo útil cuando uno desea aplicar el método de las estimaciones a priori. Supongamos que deseamos resolver la ecuación diferencial lineal ${displaystyle Pu=f}$ para $u,$ con $f$ dado en algunos espacios de Banach $X$ . Si tenemos control sobre el tamaño de $u$ en términos de ${displaystyle |f|_{X}}$ y podemos pensar en $u$ como un funcional lineal consolidado en algún espacio adecuado de las funciones de prueba ${displaystyle g,}$ entonces podemos ver $f$ como un funcional lineal por adjunción: ${displaystyle (f,g)=(u,P^{*}g).}$ Al principio, esta funcionalidad sólo se define en la imagen de $P,$ pero usando el teorema Hahn-Banach, podemos tratar de extenderlo a todo el codomain $X$ . El funcional resultante a menudo se define como una solución débil a la ecuación.

Caracterización de los espacios reflexivos de Banach

Theorem—Un espacio de Banach real es reflexivo si y sólo si cada par de subconjuntos convexos cerrados no vacíos, uno de los cuales está atado, puede ser estrictamente separado por un hiperplano.

Ejemplo de la teoría de Fredholm

Para ilustrar una aplicación real del teorema de Hahn-Banach, ahora probaremos un resultado que se deriva casi por completo del teorema de Hahn-Banach.

Proposición—Suppose $X$ es un Hausdorff localmente convex TVS sobre el campo $mathbf {K}$ y $Y$ es un subespacio vectorial $X$ que es TVS – isómorfo a ${displaystyle mathbf {K} ^{I}}$ para algunos set ${displaystyle I.}$ Entonces... $Y$ es un subespacio vectorial cerrado y complementado $X.$

Prueba

Desde ${displaystyle mathbf {K} ^{I}}$ es un TVS completo así que $Y,$ y como cualquier subconjunto completo de un Hausdorff TVS está cerrado, $Y$ es un subconjunto cerrado $X.$ Vamos ${displaystyle f=left(f_{i}right)_{iin I}:Yto mathbf {K} ^{I}}$ ser un isomorfismo TVS, para que cada uno ${displaystyle f_{i}:Yto mathbf {K} }$ es un funcional lineal subjetivo continuo. Por el teorema Hahn-Banach, podemos extender cada uno $f_{i}$ a un funcional lineal continuo ${displaystyle F_{i}:Xto mathbf {K} }$ on $X.$ Vamos ${displaystyle F:=left(F_{i}right)_{iin I}:Xto mathbf {K} ^{I}}$ Así que... $F$ es una subjeción lineal continua tal que su restricción a $Y$ es ${displaystyle F{big vert }_{Y}=left(F_{i}{big vert }_{Y}right)_{iin I}=left(f_{i}right)_{iin I}=f.}$ Vamos ${displaystyle P:=f^{-1}circ F:Xto Y,}$ que es un mapa lineal continuo cuya restricción a $Y$ es ${displaystyle P{big vert }_{Y}=f^{-1}circ F{big vert }_{Y}=f^{-1}circ f=mathbf {1} _{Y},}$ Donde ${displaystyle mathbb {1} _{Y}}$ denota el mapa de identidad en $Y.$ Esto demuestra que $P$ es una proyección lineal continua $Y$ (es decir, ${displaystyle Pcirc P=P}$ ). Así $Y$ se complementa con $X$ y ${displaystyle X=Yoplus ker P}$ en la categoría de TVSs. $blacksquare$

El resultado anterior se puede utilizar para mostrar que cada subespacial de vectores cerrados ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}$ se complementa porque cualquier espacio de este tipo es dimensional finito o de otro tipo TVS-isomorfo a ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }.}$

Generalizaciones

Plantilla general

Ahora hay muchas otras versiones del teorema de Hahn-Banach. La plantilla general para las diversas versiones del teorema de Hahn-Banach presentado en este artículo es la siguiente:

{displaystyle p:Xto mathbb {R} }

es una función sublinear (posiblemente un seminorm) en un espacio vectorial

X,

M

es un subespacio vectorial

X

(posiblemente cerrado) y

f

es un funcional lineal en

M

satisfacción

{displaystyle |f|leq p}

M

(y posiblemente algunas otras condiciones). Uno concluye entonces que existe una extensión lineal

F

f

X

tales que

{displaystyle |F|leq p}

X

(posiblemente con propiedades adicionales).

Theorem—Si $D$ es un disco absorbente en un espacio vectorial real o complejo $X$ y si $f$ ser un funcional lineal definido en un subespacial vectorial $M$ de $X$ tales que ${displaystyle |f|leq 1}$ on ${displaystyle Mcap D,}$ entonces existe un funcional lineal $F$ on $X$ Ampliación $f$ tales que ${displaystyle |F|leq 1}$ on $D.$

Para semi-menores

Teorema Hahn-Banach para seminormas—Si ${displaystyle p:Mto mathbb {R} }$ es un seminorm definido en un subespacial vectorial $M$ de $X,$ y si ${displaystyle q:Xto mathbb {R} }$ es un seminorm en $X$ tales que ${displaystyle pleq q{big vert }_{M},}$ entonces existe un seminorm ${displaystyle P:Xto mathbb {R} }$ on $X$ tales que ${displaystyle P{big vert }_{M}=p}$ on $M$ y ${displaystyle Pleq q}$ on $X.$

Prueba del teorema Hahn-Banach para seminormas

Vamos $S$ ser el casco convexo de ${displaystyle {min M:p(m)leq 1}cup {xin X:q(x)leq 1}.}$ Porque... $S$ es un disco absorbente en $X,$ su Minkowski funcional $P$ es un seminorm. Entonces... ${displaystyle p=P}$ on $M$ y ${displaystyle Pleq q}$ on $X.$

Separación geométrica

Teorema de sándwich Hahn-Banach—Vamos ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ ser una función sublinear en un espacio vectorial real $X,$ Deja $Ssubseteq X$ ser cualquier subconjunto de $X,$ y dejar ${displaystyle f:Sto mathbb {R} }$ Ser cualquiera mapa. Si existen números reales positivos $a$ y $b$ tales que

{displaystyle 0geq inf _{sin S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]qquad {text{ for all }}x,yin S,}

entonces existe un funcional lineal

{displaystyle F:Xto mathbb {R} }

X

tales que

{displaystyle Fleq p}

X

{displaystyle fleq Fleq p}

S.

Extensión lineal dominada máxima

Theorem(Andenaes, 1970)—Vamos ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ ser una función sublinear en un espacio vectorial real $X,$ Deja ${displaystyle f:Mto mathbb {R} }$ ser un funcional lineal en un subespacial vectorial $M$ de $X$ tales que ${displaystyle fleq p}$ on ${displaystyle M,}$ y dejar $Ssubseteq X$ ser cualquier subconjunto de $X.$ Entonces existe un funcional lineal ${displaystyle F:Xto mathbb {R} }$ on $X$ que se extiende $f,$ satisfizo ${displaystyle Fleq p}$ on $X,$ y es (puntualmente) maximal en $S$ en el siguiente sentido: ${displaystyle {widehat {F}}:Xto mathbb {R} }$ es un funcional lineal en $X$ que se extiende $f$ y satisfizos ${displaystyle {widehat {F}}leq p}$ on $X,$ entonces ${displaystyle Fleq {widehat {F}}}$ on $S$ implicación ${displaystyle F={widehat {F}}}$ on $S.$

Si ${displaystyle S={s}}$ es un conjunto de un singleton (donde ${displaystyle sin X}$ es algún vector) y si ${displaystyle F:Xto mathbb {R} }$ es una extensión lineal dominada al máximo ${displaystyle f:Mto mathbb {R}}$ entonces ${displaystyle F(s)=inf _{min M}[f(s)+p(s-m)].}$

Vector valorada Hahn – Banach

(feminine)

Valor de vectores Teorema de Hahn-Banach—Si $X$ y $Y$ son espacios vectoriales sobre el mismo campo y si ${displaystyle f:Mto Y}$ ser un mapa lineal definido en un subespacial vectorial $M$ de $X,$ entonces existe un mapa lineal ${displaystyle F:Xto Y}$ que se extiende $f.$

Para funciones no lineales

El siguiente teorema de Mazur-Orlicz (1953) es equivalente al teorema de Hahn-Banach.

Teorema Mazur-Orlicz—Vamos ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ ser una función sublinear en un espacio vectorial real o complejo $X,$ Deja $T$ ser cualquier juego, y dejar ${displaystyle R:Tto mathbb {R} }$ y ${displaystyle v:Tto X}$ Sea cualquier mapa. Las declaraciones siguientes son equivalentes:

existe una funcionalidad lineal de valor real $F$ on $X$ tales que ${displaystyle Fleq p}$ on $X$ y ${displaystyle Rleq Fcirc v}$ on $T$ ;
para cualquier secuencia finita ${displaystyle s_{1},ldotss_{n}}$ de $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ números reales no negativos, y cualquier secuencia ${displaystyle t_{1},ldotst_{n}in T}$ de elementos de $T,$ ${displaystyle sum _{i=1}^{n}s_{i}Rleft(t_{i}right)leq pleft(sum _{i=1}^{n}s_{i}vleft(t_{i}right)right).}$

El siguiente teorema caracteriza cuando cualquiera función de escalar $X$ (no necesariamente lineal) tiene una extensión lineal continua a todos $X.$

Theorem()Principio de prórroga)—Vamos $f$ una función valorada en un subconjunto $S$ de un espacio vectorial topológico $X.$ Entonces existe un funcionamiento lineal continuo $F$ on $X$ Ampliación $f$ si existe un seminorm continuo $p$ on $X$ tales que

{displaystyle left|sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})right|leq pleft(sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}right)}

para todos los enteros positivos

n

y todas las secuencias finitas

a_1, ldots, a_n

de escalares y elementos

{displaystyle s_{1},ldotss_{n}}

S.

Conversar

Sea $X$ un espacio vectorial topológico. Un subespacio vectorial $M$ de $X$ tiene la propiedad de extensión si cualquier función lineal continua en $M$ se puede extender a una función lineal continua funcional en $X$ , y decimos que $X$ tiene la propiedad de extensión Hahn–Banach (HBEP) si cada subespacio vectorial de $X$ tiene la propiedad de extensión.

El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para espacios vectoriales topológicos metrizables completos, existe una inversa, debido a Kalton: todo TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo. Por otro lado, un espacio vectorial $X$ de dimensión incontable, dotado de la topología vectorial más fina, entonces este es un espacio vectorial topológico con la propiedad de extensión de Hahn-Banach que no es localmente convexa ni metrizable.

Un subespacio vectorial $M$ de un TVS $X$ tiene propiedad de separación si por cada elemento de $X$ tales que ${displaystyle xnot in M,}$ existe un funcionamiento lineal continuo $f$ on $X$ tales que $f(x)neq 0$ y ${displaystyle f(m)=0}$ para todos ${displaystyle min M.}$ Claramente, el espacio dual continuo de un TVS $X$ puntos separados sobre $X$ si ${0},$ tiene la propiedad de separación. En 1992, Kakol demostró que cualquier espacio vectorial infinito $X$ , hay TVS-topologías en $X$ que no tienen el HBEP a pesar de tener suficientes funciones lineales continuas para el espacio dual continuo para separar puntos en $X$ . Sin embargo, si $X$ es un TVS entonces cada uno subespacial de vectores $X$ tiene la propiedad de extensión si y sólo si cada uno subespacial de vectores $X$ tiene la propiedad de separación.

Relación con el axioma de elección y otros teoremas

La demostración del teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales (HB) suele utilizar el lema de Zorn, que en el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) es equivalente al axioma de elección (AC). Fue descubierto por Łoś y Ryll-Nardzewski e independientemente por Luxemburg que HB se puede probar usando el lema de ultrafiltro (UL), que es equivalente (bajo ZF) al teorema del ideal primo booleano (BPI). BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección y más tarde se demostró que HB es estrictamente más débil que BPI.

El lema del ultrafiltro es equivalente (bajo ZF) al teorema de Banach-Alaoglu, que es otro teorema fundamental en el análisis funcional. Aunque el teorema de Banach-Alaoglu implica HB, no es equivalente a él (dicho de otra manera, el teorema de Banach-Alaoglu es estrictamente más fuerte que HB). Sin embargo, HB equivale a cierta versión debilitada del teorema de Banach-Alaoglu para espacios normados. El teorema de Hahn-Banach también es equivalente a la siguiente afirmación:

(Agencia Fides) En cada álgebra booleana

B

existe un "cargo de probabilidad", es decir: un mapa aditivo no constante

B

{displaystyle [0,1].}

(BPI es equivalente a la afirmación de que siempre hay cargos de probabilidad no constantes que toman solo los valores 0 y 1).

En ZF, el teorema de Hahn-Banach es suficiente para derivar la existencia de un conjunto medible no de Lebesgue. Además, el teorema de Hahn-Banach implica la paradoja de Banach-Tarski.

Para los espacios de Banach separables, D. K. Brown y S. G. Simpson demostraron que el teorema de Hahn-Banach se deriva de WKL₀, un subsistema débil de aritmética de segundo orden que adopta la forma de Kőnig's lema restringido a árboles binarios como un axioma. De hecho, prueban que bajo un conjunto débil de suposiciones, los dos son equivalentes, un ejemplo de matemática inversa.

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