Teorema de Gauss-Bonnet

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Teorema de geometría diferencial

Un ejemplo de una región compleja donde se puede aplicar el teorema Gauss–Bonnet. Muestra el signo de la curvatura geodésica.

En el campo matemático de la geometría diferencial, el teorema de Gauss-Bonnet (o fórmula de Gauss-Bonnet) es una fórmula fundamental que relaciona la curvatura de una superficie con su topología subyacente.

En la aplicación más simple, el caso de un triángulo en un plano, la suma de sus ángulos es 180 grados. El teorema de Gauss-Bonnet extiende esto a formas más complicadas y superficies curvas, conectando las geometrías locales y globales.

El teorema lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, quien desarrolló una versión pero nunca la publicó, y Pierre Ossian Bonnet, quien publicó un caso especial en 1848.

Declaración

Suponga que $M$ es una variedad riemanniana bidimensional compacta con límite $\partial M$ . Sea $K$ la curvatura gaussiana de $M$ , y sea $k g$ la curvatura geodésica de $\partial M$ . Entonces

{displaystyle int _{M}K,dA+int _{partial M}k_{g},ds=2pi chi (M),,}

donde $dA$ es el elemento de área de la superficie, y $ds$ es el elemento de línea a lo largo del límite de $M$ . Aquí, $χ (M)$ es la característica de Euler de $M$ .

Si el límite $\partial M$ es suave por partes, entonces interpretamos la integral $\int \partial M k g ds$ como la suma de las integrales correspondientes a lo largo de las porciones suaves del límite, más la suma de los ángulos por los cuales las porciones suaves giran en las esquinas del límite.

Muchas demostraciones estándar utilizan el teorema de las tangentes de giro, que establece aproximadamente que el número de vueltas de una curva de Jordan es exactamente ±1.

Un ejemplo sencillo

Suppose $M$ es el hemisferio norte cortado de una esfera de radio $R$ . Su característica Euler es 1. En el lado izquierdo del teorema, tenemos ${displaystyle K=1/R^{2}}$ y ${displaystyle k_{g}=0}$ , porque el límite es el ecuador y el ecuador es una geodésica de la esfera. Entonces... ${displaystyle int _{M}KdA=2pi }$ .

Por otro lado, supongamos que aplanamos el hemisferio para convertirlo en un disco. Esta transformación es un homeomorfismo, por lo que la característica de Euler es todavía 1. Sin embargo, en el lado izquierdo del teorema ahora tenemos $K=0$ y ${displaystyle k_{g}=1/R}$ , porque una circunferencia no es una geodésica del avión. Entonces... ${displaystyle int _{partial M}k_{g}ds=2pi }$ .

Por último, tome una esfera octante, también homoemorfa a los casos anteriores. Entonces... ${displaystyle int _{M}KdA={frac {1}{R^{2}}}{frac {4pi R^{2}}{8}}={frac {pi }{2}}}$ . Ahora ${displaystyle k_{g}=0}$ casi por todas partes a lo largo de la frontera, que es un triángulo geodésico. Pero tenemos tres esquinas de ángulo derecho, así que ${displaystyle int _{partial M}k_{g}ds={frac {3pi }{2}}}$ .

Interpretación y significado

El teorema se aplica en particular a superficies compactas sin límite, en cuyo caso la integral

{displaystyle int _{partial M}k_{g},ds}

se puede omitir. Establece que la curvatura gaussiana total de dicha superficie cerrada es igual a 2 $π$ veces la característica de Euler de la superficie. Tenga en cuenta que para superficies compactas orientables sin límite, la característica de Euler es igual a $2 - 2 g$ , donde $g$ es el género de la superficie: cualquier superficie compacta orientable sin límite es topológicamente equivalente a una esfera con algunas manijas adjuntas, y $g$ cuenta el número de identificadores.

Si se dobla y deforma la superficie $M$ , su característica de Euler, al ser una invariante topológica, no cambiará, mientras que la las curvaturas en algunos puntos lo harán. El teorema establece, algo sorprendentemente, que la integral total de todas las curvaturas seguirá siendo la misma, sin importar cómo se realice la deformación. Entonces, por ejemplo, si tiene una esfera con una "abolladura", entonces su curvatura total es 4 $π$ (siendo la característica de Euler de una esfera 2), sin importar cuán grande o profunda sea la abolladura.

La compacidad de la superficie es de crucial importancia. Considere, por ejemplo, el disco unitario abierto, una superficie de Riemann no compacta sin límite, con curvatura 0 y con característica de Euler 1: la fórmula de Gauss-Bonnet no funciona. Sin embargo, es válido para el disco compacto de unidad cerrada, que también tiene la característica 1 de Euler, debido a la integral de límite añadida con valor 2 $π$ .

Como aplicación, un toro tiene la característica de Euler 0, por lo que su curvatura total también debe ser cero. Si el toro lleva la métrica riemanniana ordinaria desde su incrustación en $R 3$ , entonces el interior tiene una curvatura gaussiana negativa, el afuera tiene una curvatura gaussiana positiva, y la curvatura total es de hecho 0. También es posible construir un toroide identificando los lados opuestos de un cuadrado, en cuyo caso la métrica riemanniana en el toroide es plana y tiene una curvatura constante 0, nuevamente resultando en curvatura total 0. No es posible especificar una métrica riemanniana en el toro con una curvatura gaussiana positiva en todas partes o negativa en todas partes.

Para triángulos

A veces, la fórmula de Gauss-Bonnet se establece como

{displaystyle int _{T}K=2pi -sum alpha -int _{partial T}kappa _{g},}

donde $T$ es un triángulo geodésico. Aquí definimos un "triángulo" en $M$ para ser una región simplemente conectada cuyo límite consta de tres geodésicas. Luego podemos aplicar GB a la superficie $T$ formada por el interior de ese triángulo y el límite por partes del triángulo.

La curvatura geodésica de las geodésicas limítrofes es 0, y la característica de Euler de $T$ es 1.

Por lo tanto, la suma de los ángulos de giro del triángulo geodésico es igual a 2 $π$ menos la curvatura total dentro del triángulo. Dado que el ángulo de giro en una esquina es igual a $π$ menos el ángulo interior, podemos reformularlo de la siguiente manera:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo geodésico es igual a

π

más la curvatura total encerrada por el triángulo:

{displaystyle sum (pi -alpha)=pi +int _{T}K.}

En el caso del plano (donde la curvatura gaussiana es 0 y las geodésicas son líneas rectas), recuperamos la conocida fórmula para la suma de ángulos en un triángulo ordinario. En la esfera estándar, donde la curvatura es 1 en todas partes, vemos que la suma de los ángulos de los triángulos geodésicos siempre es mayor que $π$ .

Casos especiales

Varios resultados anteriores en geometría esférica y geometría hiperbólica, descubiertos durante los siglos anteriores, se subsumieron como casos especiales de Gauss-Bonnet.

Triángulos

En trigonometría esférica y trigonometría hiperbólica, el área de un triángulo es proporcional a la cantidad en la que sus ángulos interiores no suman 180°, o de manera equivalente a la cantidad (inversa) en la que sus ángulos exteriores no suman a 360°.

El área de un triángulo esférico es proporcional a su exceso, según el teorema de Girard: la cantidad en la que sus ángulos interiores suman más de 180°, que es igual a la cantidad en la que sus ángulos exteriores suman hasta menos de 360°.

El área de un triángulo hiperbólico, por el contrario, es proporcional a su defecto, tal y como establece Johann Heinrich Lambert.

Poliedros

Descartes' El teorema del defecto angular total de un poliedro es el poliedro análogo: establece que la suma del defecto en todos los vértices de un poliedro que es homeomorfo a la esfera es 4 $π$ . Más generalmente, si el poliedro tiene la característica de Euler $χ = 2 - 2 g$ (donde $g$ es el género, que significa "número de agujeros"), entonces la suma del defecto es $2 πχ$ . Este es el caso especial de Gauss-Bonnet, donde la curvatura se concentra en puntos discretos (los vértices).

Pensando en la curvatura como una medida, más que como una función, Descartes' El teorema de Gauss-Bonnet es Gauss-Bonnet donde la curvatura es una medida discreta, y Gauss-Bonnet para medidas generaliza tanto Gauss-Bonnet para variedades suaves como Descartes' teorema.

Análogo combinatorio

Hay varios análogos combinatorios del teorema de Gauss-Bonnet. Enunciamos el siguiente. Sea $M$ una pseudo-variedad bidimensional finita. Sea $χ (v)$ el número de triángulos que contienen el vértice $v$ . Entonces

{displaystyle sum _{v,in ,operatorname {int} M}{bigl (}6-chi (v){bigr)}+sum _{v,in ,partial M}{bigl (}3-chi (v){bigr)}=6chi (M), }

donde la primera suma se extiende sobre los vértices en el interior de $M$ , la segunda suma se encuentra sobre los vértices de los límites, y $χ (M)$ es la característica de Euler de $M$ .

Se pueden obtener fórmulas similares para pseudovariedades bidimensionales cuando reemplazamos triángulos con polígonos más altos. Para polígonos de $n$ vértices, debemos reemplazar 3 y 6 en la fórmula anterior con $n / n - 2$ y $2 n / n - 2$ , respectivamente. Por ejemplo, para los cuadriláteros debemos reemplazar 3 y 6 en la fórmula anterior con 2 y 4, respectivamente. Más específicamente, si $M$ es una variedad digital bidimensional cerrada, el género resulta

{displaystyle g=1+{frac {M_{5}+2M_{6}-M_{3}}{8}},}

donde $M i$ indica el número de puntos de superficie que tiene cada uno $i$ puntos adyacentes en la superficie. Esta es la fórmula más simple del teorema de Gauss-Bonnet en el espacio digital tridimensional.

Generalizaciones

El teorema de Chern (después de Shiing-Shen Chern 1945) es la generalización $2 n$ -dimensional de GB (ver también el homomorfismo de Chern-Weil).

El teorema de Riemann-Roch también puede verse como una generalización de GB a variedades complejas.

Una generalización de gran alcance que incluye todos los teoremas mencionados anteriormente es el teorema del índice de Atiyah-Singer.

Una generalización a 2-variedades que no necesita ser compacta es la desigualdad de Cohn-Vossen.

En la cultura popular

En la novela Diáspora de Greg Egan, dos personajes discuten la derivación de este teorema.

El teorema se puede usar directamente como un sistema para controlar la escultura. Por ejemplo, en el trabajo de Edmund Harriss en la colección de la Universidad de Arkansas Honors College.

Escultura hecha de materiales planos usando el Teorema Gauss–Bonnet

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