Teorema de fubini

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Condiciones para cambiar el orden de integración en cálculo

En el análisis matemático, el teorema de Fubini es un resultado que da las condiciones bajo las cuales es posible calcular una integral doble usando una integral iterada, introducido por Guido Fubini en 1907. Uno puede cambiar el orden de integración si la integral doble produce una respuesta finita cuando el integrando se reemplaza por su valor absoluto.

<math alttext="{displaystyle ,iint limits _{Xtimes Y}f(x,y),{text{d}}(x,y)=int _{X}left(int _{Y}f(x,y),{text{d}}yright){text{d}}x=int _{Y}left(int _{X}f(x,y),{text{d}}xright){text{d}}yqquad {text{ if }}qquad iint limits _{Xtimes Y}|f(x,y)|,{text{d}}(x,y)∫ ∫ X× × Yf()x,Sí.)d()x,Sí.)=∫ ∫ X()∫ ∫ Yf()x,Sí.)dSí.)dx=∫ ∫ Y()∫ ∫ Xf()x,Sí.)dx)dSí.si∫ ∫ X× × YSilenciof()x,Sí.)Silenciod()x,Sí.).+JUEGO JUEGO .{displaystyle ,iint limits ##{Xtimes Y}f(x,y),{text{d}(x,y)=int _{X}left(int _{Y}f(x,y),{text{d}y)}{text{d}x=int _{y}d}{X} {d}{X}{y}}{x}{y}}}}}}{}}}}}{y}}}}}}}}}}}}}{y}}}}}}}}{y}}}}}}}}}}}}}}{y}}}f}}}}}}}}}}}}}}}{y}}}}}}}}{y}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {text{ if }qquad iint limits _{Xtimes Y} sobrevivirf(x,y)<img alt="{displaystyle ,iint limits _{Xtimes Y}f(x,y),{text{d}}(x,y)=int _{X}left(int _{Y}f(x,y),{text{d}}yright){text{d}}x=int _{Y}left(int _{X}f(x,y),{text{d}}xright){text{d}}yqquad {text{ if }}qquad iint limits _{Xtimes Y}|f(x,y)|,{text{d}}(x,y)

El teorema de Fubini implica que dos integrales iteradas son iguales a la integral doble correspondiente a través de sus integrandos. El teorema de Tonelli, presentado por Leonida Tonelli en 1909, es similar, pero se aplica a una función medible no negativa en lugar de una integrable sobre sus dominios.

A menudo se llama teorema relacionado Teorema de Fubini para serie infinita, que dice que si ${textstyle {a_{m,n}}_{m=1,n=1}^{infty }}$ es una secuencia doble de números reales, y si ${textstyle sum _{(m,n)in mathbb {N} times mathbb {N} }a_{m,n}}$ es absolutamente convergente, entonces

${displaystyle sum _{(m,n)in mathbb {N} times mathbb {N} }a_{m,n}=sum _{m=1}^{infty }sum _{n=1}^{infty }a_{m,n}=sum _{n=1}^{infty }sum _{m=1}^{infty }a_{m,n}}$

Aunque el teorema de Fubini para series infinitas es un caso especial del teorema de Fubini más general, no es apropiado caracterizarlo como una consecuencia lógica del teorema de Fubini. Esto se debe a que algunas propiedades de las medidas, en particular la subaditividad, a menudo se prueban usando el teorema de Fubini para series infinitas. En este caso, el teorema general de Fubini es una consecuencia lógica del teorema de Fubini para series infinitas.

Historia

El caso especial del teorema de Fubini para funciones continuas en un producto de subconjuntos acotados cerrados de espacios vectoriales reales fue conocido por Leonhard Euler en el siglo XVIII. Henri Lebesgue (1904) extendió esto a funciones medibles limitadas en un producto de intervalos. Levi conjeturó que el teorema podría extenderse a funciones que fueran integrables en lugar de acotadas, y Fubini (1907) lo demostró. Leonida Tonelli (1909) dio una variación del teorema de Fubini que se aplica a funciones no negativas en lugar de funciones integrables.

Medidas del producto

Si X e Y son espacios de medida con medidas, hay varias formas naturales de definir una medida de producto en su producto.

El producto X × Y de espacios de medida (en el sentido de la teoría de categorías) tiene como conjuntos medibles el σ-álgebra generada por los productos A × B de subconjuntos medibles de X e Y.

Una medida μ en X × Y se denomina medida de producto si μ(A × B) = μ₁(A)μ₂(B) para subconjuntos medibles A ⊂ X y B ⊂ Y y mide µ₁ en X y µ₂ en Y. En general, puede haber muchas medidas de productos diferentes en X × Y. El teorema de Fubini y el teorema de Tonelli necesitan condiciones técnicas para evitar esta complicación; la forma más común es asumir que todos los espacios de medida son σ-finitos, en cuyo caso hay una medida de producto única en X×Y. Siempre hay una medida de producto máxima única en X × Y, donde la medida de un conjunto medible es la inf de las medidas de los conjuntos que lo contienen que son uniones contables de productos de conjuntos medibles. La medida del producto máximo se puede construir aplicando el teorema de extensión de Carathéodory a la función aditiva μ tal que μ(A × B) = μ₁(A)μ₂(B) sobre el anillo de conjuntos generados por productos de conjuntos medibles. (El teorema de extensión de Carathéodory da una medida en un espacio de medida que, en general, contiene más conjuntos medibles que el espacio de medida X × Y, por lo que, estrictamente hablando, la medida debería restringirse al σ-álgebra generada por los productos A × B de subconjuntos medibles de X e Y.)

El producto de dos espacios de medida completos no suele ser completo. Por ejemplo, el producto de la medida de Lebesgue en el intervalo unitario I consigo mismo no es la medida de Lebesgue en el cuadrado I × I. Existe una variación del teorema de Fubini para medidas completas, que utiliza la finalización del producto de medidas en lugar del producto incompleto.

Para funciones integrables

Supongamos que X y Y son espacios de medida σ-finita, y supongamos que se da X × Y la medida del producto (que es única ya que X e Y son σ-finitas). El teorema de Fubini establece que si f es X × Y integrable, lo que significa que f es un medible función y

<math alttext="{displaystyle int _{Xtimes Y}|f(x,y)|,{text{d}}(x,y)∫ ∫ X× × YSilenciof()x,Sí.)Silenciod()x,Sí.).JUEGO JUEGO ,{displaystyle int _{Xtimes Y} sobrevivirf(x,y)<img alt="{displaystyle int _{Xtimes Y}|f(x,y)|,{text{d}}(x,y)

{displaystyle int _{X}left(int _{Y}f(x,y),{text{d}}yright),{text{d}}x=int _{Y}left(int _{X}f(x,y),{text{d}}xright),{text{d}}y=int _{Xtimes Y}f(x,y),{text{d}}(x,y).}

Las dos primeras integrales son integrales iteradas con respecto a dos medidas, respectivamente, y la tercera es una integral con respecto a la medida del producto. Las integrales parciales ${textstyle int _{Y}f(x,y),{text{d}}y}$ y ${textstyle int _{X}f(x,y),{text{d}}x}$ no se debe definir en todas partes, pero esto no importa como los puntos donde no se definen forma un conjunto de medidas 0.

Si la integral anterior del valor absoluto no es finita, entonces las dos integrales iteradas pueden tener valores diferentes. Vea a continuación una ilustración de esta posibilidad.

La condición de que X e Y sean σ-finitos generalmente es inofensiva porque en la práctica casi todos los espacios de medida para los que se desea usar el teorema de Fubini son σ -finito. El teorema de Fubini tiene algunas extensiones bastante técnicas para el caso en que no se supone que X e Y sean σ-finitos (Fremlin 2003). La principal complicación adicional en este caso es que puede haber más de una medida de producto en X×Y. El teorema de Fubini sigue siendo válido para la medida máxima del producto, pero puede fallar para otras medidas del producto. Por ejemplo, hay una medida de producto y una función medible no negativa f para la cual la integral doble de |f| es cero pero las dos integrales iteradas tienen valores diferentes; consulte la sección sobre contraejemplos a continuación para ver un ejemplo de esto. El teorema de Tonelli y el teorema de Fubini-Tonelli (que se indica a continuación) pueden fallar en espacios no σ-finitos incluso para la medida del producto máximo.

Teorema de Tonelli para funciones medibles no negativas

El teorema de Tonelli (llamado después de Leonida Tonelli) es un sucesor del teorema de Fubini. La conclusión del teorema de Tonelli es idéntica a la del teorema de Fubini, pero la suposición de que $|f|$ una integral finita es reemplazada por la suposición de que $f$ es una función medible no negativa.

El teorema de Tonelli establece que si (X, A, μ) y (Y, B, ν) son espacios de medida finita σ, mientras que f de X×Y a [0,∞] es medible no negativo función, entonces

{displaystyle int _{X}left(int _{Y}f(x,y),{text{d}}yright),{text{d}}x=int _{Y}left(int _{X}f(x,y),{text{d}}xright),{text{d}}y=int _{Xtimes Y}f(x,y),{text{d}}(x,y).}

Un caso especial del teorema de Tonelli está en el intercambio de las sumas, como en ${textstyle sum _{x}sum _{y}a_{xy}=sum _{y}sum _{x}a_{xy}}$ , donde $a_{xy}$ no negativo para todos x y Sí.. El crujo del teorema es que el intercambio de orden de summación se mantiene incluso si la serie se sumerge. En efecto, la única manera en que un cambio en orden de suma puede cambiar la suma es cuando hay algunas subsecuencias que se divierten para $+infty$ y otros divergiendo a $-infty$ . Con todos los elementos no negativos, esto no ocurre en el ejemplo indicado.

Sin la condición de que los espacios de medida sean σ-finitos, es posible que estas tres integrales tengan valores diferentes. Algunos autores dan generalizaciones del teorema de Tonelli a algunos espacios de medida que no son σ-finitos, pero estas generalizaciones a menudo agregan condiciones que reducen inmediatamente el problema al caso σ-finito. Por ejemplo, uno podría tomar el σ-álgebra en A×B como la generada por el producto de subconjuntos de medida finita, en lugar de la generada por todos los productos de medidas medibles. subconjuntos, aunque esto tiene la consecuencia indeseable de que las proyecciones del producto a sus factores A y B no son medibles. Otra forma es agregar la condición de que el soporte de f esté contenido en una unión contable de productos de conjuntos de medida finita. Fremlin (2003) da algunas extensiones bastante técnicas del teorema de Tonelli a algunos espacios no σ-finitos. Ninguna de estas generalizaciones ha encontrado aplicaciones significativas fuera de la teoría de la medida abstracta, en gran parte porque casi todos los espacios de medida de interés práctico son σ-finitos.

Teorema de Fubini-Tonelli

Combinando el teorema de Fubini con el teorema de Tonelli da el teorema Fubini-Tonelli (a menudo llamado teorema de Fubini), que dice que si $X$ y $Y$ son espacios de medida σ-finite, y si $f$ es una función mensurable, entonces

{displaystyle int _{X}left(int _{Y}|f(x,y)|,{text{d}}yright),{text{d}}x=int _{Y}left(int _{X}|f(x,y)|,{text{d}}xright),{text{d}}y=int _{Xtimes Y}|f(x,y)|,{text{d}}(x,y)}

{displaystyle int _{X}left(int _{Y}f(x,y),{text{d}}yright),{text{d}}x=int _{Y}left(int _{X}f(x,y),{text{d}}xright),{text{d}}y=int _{Xtimes Y}f(x,y),{text{d}}(x,y).}

El valor absoluto $f$ en las condiciones anteriores puede ser reemplazado por la parte positiva o negativa $f$ ; estas formas incluyen el teorema de Tonelli como un caso especial ya que la parte negativa de una función no negativa es cero y así tiene integral finita. Informalmente todas estas condiciones dicen que la doble integral de $f$ está bien definida, aunque posiblemente infinita.

La ventaja del Fubini-Tonelli sobre el teorema de Fubini es que las repetidas integrales de $|f|$ puede ser más fácil de estudiar que la doble integral. Como en el teorema de Fubini, las integrales individuales pueden no ser definidas en una medida 0 conjunto.

Para medidas completas

Las versiones de los teoremas de Fubini y Tonelli arriba no se aplican a la integración en el producto de la línea real $mathbb {R}$ con la medida Lebesgue. El problema es que la medida Lebesgue en ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ no es el producto de la medida Lebesgue en $mathbb {R}$ con sí mismo, pero más bien la terminación de esto: un producto de dos espacios de medida completos $X$ y $Y$ no está en general completo. Por esta razón se utiliza a veces versiones del teorema de Fubini para medidas completas: aproximadamente uno sólo reemplaza todas las medidas por sus terminaciones. Las diferentes versiones del teorema de Fubini son similares a las versiones anteriores, con las siguientes diferencias menores:

En lugar de tomar un producto $Xtimes Y$ de dos espacios de medida, uno toma la terminación de algún producto.
Si $f$ es mensurable al concluir $Xtimes Y$ entonces sus restricciones a las líneas verticales o horizontales pueden ser inconmensurables para una medida cero subconjunto de líneas, por lo que hay que permitir la posibilidad de que las integrales verticales o horizontales sean indefinidas en un conjunto de medidas 0 porque implican la integración de funciones no mensurables. Esto hace poca diferencia, porque ya pueden ser indefinidos debido a las funciones que no son integradoras.
Por lo general, se supone que las medidas adoptadas $X$ y $Y$ son completos, de lo contrario las dos integrales parciales a lo largo de líneas verticales o horizontales pueden ser bien definidas pero no mensurables. Por ejemplo, si $f$ es la función característica de un producto de un conjunto mensurable y un conjunto no mensurable contenido en una medida 0 conjunto entonces su único integral está bien definido en todas partes pero no mensurable.

Pruebas

Las demostraciones de los teoremas de Fubini y Tonelli son necesariamente algo técnicas, ya que tienen que usar una hipótesis relacionada con la finitud σ. La mayoría de las demostraciones implican desarrollar los teoremas completos probándolos para funciones cada vez más complicadas con los siguientes pasos.

Utilice el hecho de que la medida en el producto es una medida de producto para probar los teoremas para las funciones características de los rectángulos.
Utilice la condición de que los espacios sean σ-finite (o alguna condición relacionada) para probar el teorema para las funciones características de los conjuntos mensurables. Esto también cubre el caso de simples funciones mensurables (funciones mensurables que sólo tienen un número finito de valores).
Utilice la condición de que las funciones sean mesurables para probar los teoremas para funciones medibles positivas aproximándolas por simples funciones mensurables. Esto prueba el teorema de Tonelli.
Utilice la condición de que las funciones son integradoras para escribirlas como la diferencia de dos funciones integradoras positivas, y aplicar el teorema de Tonelli a cada una de ellas. Esto prueba el teorema de Fubini.

Integrales de Riemann

Para Riemann integrales, el teorema de Fubini se demuestra refinando las particiones a lo largo del eje x y el eje y para crear una partición conjunta de la forma ${displaystyle [x_{i},x_{i+1}]times [y_{j},y_{j+1}]}$ , que es una partición sobre $Xtimes Y$ . Esto se utiliza para demostrar que las dobles integrales de cada orden son iguales a la integral sobre $Xtimes Y$ .

Contraejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo el teorema de Fubini y el teorema de Tonelli pueden fallar si se omite alguna de sus hipótesis.

Fracaso del teorema de Tonelli para espacios no σ-finitos

Suponga que X es el intervalo unitario con los conjuntos medibles de Lebesgue y la medida de Lebesgue, y Y es el intervalo unitario con todos los subconjuntos medibles y la medida de conteo, de modo que Y no es σ-finito. Si f es la función característica de la diagonal de X×Y, entonces integrando f a lo largo de X da la función 0 en Y, pero integrando f a lo largo de Y da la función 1 en X. Entonces las dos integrales iteradas son diferentes. Esto muestra que el teorema de Tonelli puede fallar para espacios que no son σ-finitos sin importar qué medida del producto se elija. Ambas medidas son descomponibles, lo que demuestra que el teorema de Tonelli falla para las medidas descomponibles (que son un poco más generales que las medidas σ-finitas).

Fracaso del teorema de Fubini para medidas de productos no máximos

El teorema de Fubini se cumple para espacios incluso si no se supone que son σ-finitos siempre que se use la medida del producto máximo. En el ejemplo anterior, para la medida máxima del producto, la diagonal tiene una medida infinita, por lo que la integral doble de |f| es infinito, y el teorema de Fubini se cumple de forma vacía. Sin embargo, si damos a X×Y la medida del producto tal que la medida de un conjunto es la suma de las medidas de Lebesgue de sus secciones horizontales, entonces la integral doble de | f| es cero, pero las dos integrales iteradas todavía tienen valores diferentes. Esto da un ejemplo de una medida de producto donde falla el teorema de Fubini.

Esto da un ejemplo de dos medidas de productos diferentes en el mismo producto de dos espacios de medida. Para productos de dos espacios de medida finita σ, solo hay una medida de producto.

Fracaso del teorema de Tonelli para funciones no medibles

Supongamos que X es el primer ordinal incontable, con la medida finita donde los conjuntos medibles son contables (con medida 0) o los conjuntos de complemento contable (con medida 1). El subconjunto (no medible) E de X×X dado por pares (x,y ) con x<y es contable en cada línea horizontal y tiene complemento contable en cada línea vertical. Si f es la función característica de E entonces las dos integrales iteradas de f están definidas y tienen diferentes valores 1 y 0. La función f no es medible. Esto muestra que el teorema de Tonelli puede fallar para funciones no medibles.

Fracaso del teorema de Fubini para funciones no medibles

Una variación del ejemplo anterior muestra que el teorema de Fubini puede fallar para funciones no medibles incluso si |f| es integrable y ambas integrales repetidas están bien definidas: si tomamos f como 1 en E y –1 en el complemento de E, entonces |f| es integrable en el producto con integral 1, y ambas integrales repetidas están bien definidas, pero tienen diferentes valores 1 y –1.

Asumiendo la hipótesis del continuo, se puede identificar X con el intervalo unitario I, por lo que hay una función no negativa acotada en I ×I cuyas dos integrales iteradas (usando la medida de Lebesgue) están definidas pero son desiguales. Este ejemplo fue encontrado por Wacław Sierpiński (1920). Las versiones más fuertes del teorema de Fubini sobre un producto de dos intervalos unitarios con la medida de Lebesgue, donde ya no se supone que la función sea medible sino simplemente que las dos integrales iteradas están bien definidas y existen, son independientes del Zermelo estándar. –Axiomas de Fraenkel de la teoría de conjuntos. Tanto la hipótesis del continuo como el axioma de Martin implican que existe una función en el cuadrado unitario cuyas integrales iteradas no son iguales, mientras que Harvey Friedman (1980) demostró que es consistente con ZFC que un teorema fuerte de tipo Fubini para [ 0, 1] se cumple, y siempre que existan las dos integrales iteradas, son iguales. Ver Lista de sentencias indecidibles en ZFC.

Fracaso del teorema de Fubini para funciones no integrables

El teorema de Fubini nos dice que (para funciones medibles en un producto de σ-espacios de medida finitos) si la integral del valor absoluto es finita, entonces el orden de integración no importa; si integramos primero con respecto a x y luego con respecto a y, obtenemos el mismo resultado que si integramos primero con respecto a y y luego con respecto a x. La suposición de que la integral del valor absoluto es finita es la "integrabilidad de Lebesgue", y sin ella las dos integrales repetidas pueden tener valores diferentes.

Un ejemplo simple para mostrar que las integrales repetidas pueden ser diferentes en general es tomar los dos espacios de medida como los enteros positivos y tomar la función f(x,y) a 1 si x = y, −1 si x = y + 1 y 0 en caso contrario. Entonces las dos integrales repetidas tienen valores diferentes 0 y 1.

Otro ejemplo es el siguiente para la función

{displaystyle {frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{frac {partial ^{2}}{partial x,partial y}}arctan(y/x).}

{displaystyle int _{x=0}^{1}left(int _{y=0}^{1}{frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},{text{d}}yright),{text{d}}x={frac {pi }{4}}}

{displaystyle int _{y=0}^{1}left(int _{x=0}^{1}{frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},{text{d}}xright),{text{d}}y=-{frac {pi }{4}}}

{displaystyle int _{0}^{1}int _{0}^{1}left|{frac {x^{2}-y^{2}}{left(x^{2}+y^{2}right)^{2}}}right|,{text{d}}y,{text{d}}x=infty.}

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