Teorema de Falting

Teorema de Faltings es un resultado en geometría aritmética, según la cual una curva de género superior a 1 sobre el campo Q{displaystyle mathbb {Q} de números racionales sólo tiene finitos muchos puntos racionales. Esto fue conjeturado en 1922 por Louis Mordell, y conocido como el Conjetura de mordell hasta su prueba de 1983 de Gerd Faltings. La conjetura se generalizó posteriormente reemplazando Q{displaystyle mathbb {Q} por cualquier campo número.

Antecedentes

Vamos C{displaystyle C} ser una curva algebraica no-singular del género g{displaystyle g} sobre Q{displaystyle mathbb {Q}. Luego el conjunto de puntos racionales sobre C{displaystyle C} podrá determinarse de la siguiente manera:

• Cuando g=0{displaystyle g=0}, no hay puntos o infinitamente muchos. En esos casos, C{displaystyle C} puede ser manejado como una sección cónica.
• Cuando g=1{displaystyle g=1}, si hay puntos, entonces C{displaystyle C} es una curva elíptica y sus puntos racionales forman un grupo abeliano de generación finita. (Esto es Teorema de Mordell, más tarde generalizado al teorema Mordell – Weil.) Además, el teorema de torsión de Mazur restringe la estructura del subgrupo de torsión.
• Cuando 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g■1{displaystyle g título1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3aa256fb29a830d501693b50832d0e09f65557" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.377ex; height:2.509ex;"/>Según el teorema de Faltings, C{displaystyle C} tiene sólo un número finito de puntos racionales.

Pruebas

Igor Shafarevich conjeturó que solo hay un número finito de clases de isomorfismo de variedades abelianas de dimensión fija y grado de polarización fijo sobre un campo numérico fijo con buena reducción fuera de un conjunto finito fijo de lugares. Aleksei Parshin demostró que la conjetura de finitud de Shafarevich implicaría la conjetura de Mordell, usando lo que ahora se llama el truco de Parshin.

Gerd Faltings demostró la conjetura de finitud de Shafarevich usando una reducción conocida a un caso de la conjetura de Tate, junto con herramientas de geometría algebraica, incluida la teoría de los modelos de Néron. La idea principal de la prueba de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel.

Pruebas posteriores

• Paul Vojta dio una prueba basada en la aproximación diofantina. Enrico Bombieri encontró una variante más elemental de la prueba de Vojta.
• Brian Lawrence y Akshay Venkatesh dieron una prueba basada en la teoría de Hodge p-adic, tomando prestado también algunos de los ingredientes más fáciles de la prueba original de Faltings.

Consecuencias

El artículo de 1983 de Faltings tuvo como consecuencias una serie de afirmaciones que previamente se habían conjeturado:

• El Conjetura de mordell que una curva de género mayor a 1 sobre un campo número tiene sólo finitamente muchos puntos racionales;
• El Teorema de la escoria que variedades abelianas con isomorfo Módulos de Tate (como Ql l {displaystyle mathbb {Q}-módulos con acción de Galois) son isógenos.

Una aplicación de muestra del teorema de Faltings es a una forma débil del último teorema de Fermat: para cualquier tipo fijo n≥ ≥ 4{displaystyle ngeq 4} hay en la mayoría de las soluciones de enteros primitivos (pairwise coprime soluciones) a an+bn=cn{displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}, ya que para ello n{displaystyle n} la curva Fermat xn+Sí.n=1{displaystyle x^{n}+y^{n}=1} tiene un género superior a 1.

Generalizaciones

Debido al teorema Mordell – Weil, el teorema de Faltings puede ser reformulado como una declaración sobre la intersección de una curva C{displaystyle C} con un subgrupo finito .. {displaystyle "Gamma" de una variedad abeliana A{displaystyle A}. Generalización por sustitución A{displaystyle A} por una variedad semiabeliana, C{displaystyle C} por una arbitrariedad de A{displaystyle A}, y .. {displaystyle "Gamma" por un subgrupo de alto rango arbitrario A{displaystyle A} conduce a la conjetura Mordell-Lang, que fue probada en 1995 por McQuillan después del trabajo de Laurent, Raynaud, Hindry, Vojta y Faltings.

Otra generalización superior del teorema de Faltings es la conjetura Bombieri-Lang que si X{displaystyle X} es una variedad pseudo-canónica (es decir, una variedad de tipo general) sobre un campo número k{displaystyle k}, entonces X()k){displaystyle X(k)} no es Zariski dense en X{displaystyle X}. Paul Vojta ha planteado aún más conjeturas generales.

La conjetura de Mordell para campos funcionales fue probada por Yuri Ivanovich Manin y por Hans Grauert. En 1990, Robert F. Coleman encontró y arregló una brecha en la prueba de Manin.