Teorema de Ehrenfest

El Ehrenfest theorem, nombrado por el físico teórico austriaco Paul Ehrenfest, relaciona el tiempo derivado de los valores de expectativa de los operadores de posición e impulso x y p al valor de expectativa de la fuerza ${\displaystyle F=-V'(x)}$ en una partícula masiva que se mueve en un potencial de escalar ${\displaystyle V(x)}$,

El teorema de Ehrenfest es un caso especial de una relación más general entre la expectativa de cualquier operador mecánico cuántico y la expectativa del operador con el Hamiltonian del sistema

donde A es algún operador de mecánica cuántica y ⟨A⟩ es su valor esperado.

Es más evidente en la visión de Heisenberg de la mecánica cuántica, donde equivale simplemente al valor esperado de la ecuación de movimiento de Heisenberg. Proporciona apoyo matemático al principio de correspondencia.

La razón es que el teorema de Ehrenfest está estrechamente relacionado con el teorema de la mecánica hamiltoniana de Liouville, que involucra el soporte de Poisson en lugar de un conmutador. La regla general de Dirac sugiere que los enunciados en mecánica cuántica que contienen un conmutador corresponden a enunciados en mecánica clásica donde el conmutador es reemplazado por un paréntesis de Poisson multiplicado por iħ. Esto hace que los valores esperados del operador obedezcan las ecuaciones de movimiento clásicas correspondientes, siempre que el hamiltoniano sea, como máximo, cuadrático en las coordenadas y los momentos. De lo contrario, las ecuaciones de evolución aún pueden ser válidas aproximadamente, siempre que las fluctuaciones sean pequeñas.

Relación con la física clásica

Aunque, a primera vista, podría parecer que el teorema de Ehrenfest está diciendo que los valores de expectativa mecánica cuántica obedecen las ecuaciones clásicas de movimiento de Newton, este no es en realidad el caso. Si el par ${\displaystyle (\langle x\rangle\langle p\rangle)}$ era para satisfacer la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación tendría que ser

$${\displaystyle -V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),}$$

$${\displaystyle -\left\langle V'(x)\right\rangle.}$$

${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle x^{3}$

${\displaystyle V'}$

${\displaystyle x^{2}$

${\displaystyle \langle x\rangle ^{2}$

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$

${\displaystyle x}$

Una excepción ocurre cuando las ecuaciones clásicas del movimiento son lineales, es decir, cuando ${\displaystyle V}$ es cuadrático y ${\displaystyle V'}$ es lineal. En ese caso especial, ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ y ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$ Está de acuerdo. Así, para el caso de un oscilador armónico cuántico, la posición esperada y el impulso esperado siguen exactamente las trayectorias clásicas.

Para sistemas generales, si la función de onda está muy concentrada en un punto ${\displaystyle x_{0}$Entonces ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ y ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$ será casi lo mismo, ya que ambos serán aproximadamente iguales ${\displaystyle V'(x_{0}}$. En ese caso, la posición prevista y el impulso previsto aproximadamente seguir las trayectorias clásicas, por lo menos mientras la función de onda siga localizada en posición.

Derivación en el cuadro de Schrödinger

Supongamos que algún sistema se encuentra actualmente en un estado cuántico Φ. Si queremos conocer la derivada temporal instantánea del valor esperado de A, es decir, por definición

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac} {d} {dt}\langle Un ángulo {d}{dt}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\\fnción=\int \left({\frac {\partial\ \Phi ^{*}{\partial t}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}\right)\ Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}\derecha)\,d^{3}x\\ tro=\int \left({\frac {\partial {\partial} \Phi ^{*}{\partial t}\right)A\Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial} A}{\partial t}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial {\fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {\fnMicroc} {\fnMicroc {1}{i\hbar }H\Phi }$$

Al tomar el conjugado complejo encontramos

$${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} \Phi ^{*}{\partial t}=-{\frac {1}{i\hbar }\Phi ^{*} H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }\Phi ^{*}H.}$$

Tenga en cuenta H = H ^∗, porque el hamiltoniano es hermitiano. Colocando esto en la ecuación anterior tenemos

$${\displaystyle {\frac {d}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }\int \Phi ^{*}(AH-HA)\ Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}\right\rangle.}$$

A menudo (pero no siempre) el operador A es independiente del tiempo, por lo que su derivada es cero y podemos ignorar la ultimo plazo.

Derivación en el cuadro de Heisenberg

En el cuadro de Heisenberg, la derivación es sencilla. La imagen de Heisenberg traslada la dependencia temporal del sistema a operadores en lugar de vectores de estado. Comenzando con la ecuación de movimiento de Heisenberg,

$${\displaystyle {\frac {d}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial [A(t),H]$$

${\displaystyle Silencioso \rangle }$

${\displaystyle \langle \Psi tención}$

$${\displaystyle \left\langle \Psi \left WordPress{\frac {d}A(t)\right sobrevivir\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi\left{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}justo de la vida\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left sometida {\frac {1} {i\hbar }[A(t),H]\right sometida\Psi \right\rangle}$$

Se puede tirar del d/dt fuera de el primer término, ya que los vectores de estado ya no dependen del tiempo en la Imagen de Heisenberg. Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {d}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle {\fnMicrosoft Sans Serif}\left\langle [A(t),H]\right\rangle.}$$

Ejemplo general

Para el ejemplo muy general de una partícula masiva que se mueve en un potencial, el hamiltoniano es simplemente

$${\displaystyle H(x,p,t)={\frac [p^{2}{2m}+V(x,t)}$$

Supongamos que queremos conocer el cambio instantáneo en la expectativa del impulso p. Usando el teorema de Ehrenfest, tenemos

$${\displaystyle {\frac {d}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial [p,V(x,t)]$$

dado que el operador p viaja consigo mismo y no depende del tiempo. Expandiendo el lado derecho, reemplazando p por −iħ∇, obtenemos

$${\displaystyle {\frac {d}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}(V(x,t)\Phi)~dx~.}$$

Después de aplicar la regla del producto en el segundo término, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac} {d}{dt}\langle p\rangle >\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}V(x,t)\right)\ Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}V(x,t)\right)\ Phi ~dx\\\ - {\frac {\partial }{\partial x}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle.\end{aligned}}$$

Como se explica en la introducción, este resultado hace no dicen que el par ${\displaystyle (\langle X\rangle\langle P\rangle)}$ satisfice la segunda ley de Newton, porque el lado derecho de la fórmula es ${\displaystyle \langle F(x,t)\rangle}$ en lugar de ${\displaystyle F(\langle X\ranglet)}$. Sin embargo, como se explica en la introducción, para los estados que están muy localizados en el espacio, la posición y el impulso esperados serán aproximadamente seguir las trayectorias clásicas, que pueden entenderse como una instancia del principio de correspondencia.

De manera similar, podemos obtener el cambio instantáneo en el valor esperado de la posición.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac} {d} {dt}\langle x\rangle {1}{i\hbar }\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}\right\rangle \\[5pt] ventaja={\frac {1}{i\hbar }\left\langle \left[x,{\frac] {p^{2}{2m}+V(x,t)\right\rangle +0\[5pt] limit={\frac {1}{i\hbar }\left\langle \left[x,{\frac] {p^{2}{2m}\right\rangle \\[5pt] {d} {dp}p^{2}\rangle \\[5pt] {1} {m}\langle p\rangle \end{aligned}}$$

Este resultado en realidad concuerda exactamente con la ecuación clásica.

Derivación de la ecuación de Schrödinger a partir de los teoremas de Ehrenfest

Se estableció anteriormente que los teoremas de Ehrenfest son consecuencias de la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, lo contrario también es cierto: la ecuación de Schrödinger se puede deducir de los teoremas de Ehrenfest. Empezamos desde

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac} {d} {dt}\left\langle \Psi (t)\right sometida{\hat {x}\left sometida\Psi (t)\right\rangle <\left\langle \Psi (t)\right sobre la vida {\hat {\p}\left sometida\Psi (t)\right\rangle\[5pt]{dt}\left\langle \Psi (t)\right sometida{\hat {p}\left sometida\Psi (t)\right\rangle >\left\langle \Psi (t)\right sobre la vida-V'({\hat {x})\left sometida\Psi (t)\right\rangle.\end{aligned}}}}}}}$$

La aplicación de la regla del producto conduce a

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi}{dt}{\dt} {\f}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}\ Grandes vidas Big tención}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big Н}{\hat {x}{\f}{\f} {\f} Grandes vidas - Está bien. ¿Qué? Big tención}\Psi \right\rangle\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\ Grandes vidas Big tención}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big Н}{\hat {p}{\f}{\f} {\f} Grandes vidas. ####\langle \Psi Silencio-V'({\hat {x}}Sobrevivió\Psi \rangle\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle i\hbar \left durable{\frac {d\Psi - Está bien. - Hola.$$

$${\displaystyle im[{\hat {}},{\hat {x}]=\hbar {\hat {\h},\qquad i [{\hat {\h}},{\hat {\h}]=-\hbar V'({\hat {x}}}}}}$$

Asumiendo que los observables de la coordinación y el impulso obedecen a la relación de conmutación canónica [x̂, p̂= i. Ajuste ${\displaystyle {\hat {}=H({\hat {x},{\hat {}}}} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}}}}}}$, las ecuaciones de conmutador se pueden convertir en las ecuaciones diferenciales

$${\displaystyle m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}=V'(x),}$$

$${\displaystyle {\hat {}={\frac} {\hat {\fn} {2m}+V({\hat {x}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fnK\f}}}} {\fnK\f}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

De donde, la ecuación de Schrödinger se derivó de los teoremas de Ehrenfest asumiendo la relación de conmutación canónica entre la coordenada y el momento. Si se supone que las coordenadas y el momento conmutan, el mismo método computacional conduce a la mecánica clásica de Koopman-von Neumann, que es la formulación espacial de Hilbert de la mecánica clásica. Por lo tanto, esta derivación, así como la derivación de la mecánica de Koopman-von Neumann, muestra que la diferencia esencial entre la mecánica cuántica y la clásica se reduce al valor del conmutador [x̂, p̂].

Las implicaciones del teorema de Ehrenfest para sistemas con dinámica clásicamente caótica se analizan en el artículo de Scholarpedia Tiempo y caos de Ehrenfest. Debido a la inestabilidad exponencial de las trayectorias clásicas, se demuestra que el tiempo de Ehrenfest, en el que existe una correspondencia completa entre la evolución cuántica y la clásica, es logarítmicamente corto y proporcional a un logaritmo de un número cuántico típico. Para el caso de la dinámica integrable esta escala de tiempo es mucho mayor siendo proporcional a una determinada potencia del número cuántico.