Teorema de Earnshaw

El teorema de Earnshaw establece que un conjunto de cargas puntuales no puede mantenerse en una configuración de equilibrio estacionario estable únicamente mediante la interacción electrostática de las cargas. Esto fue demostrado por primera vez por el matemático británico Samuel Earnshaw en 1842. Generalmente se cita en referencia a campos magnéticos, pero se aplicó por primera vez a campos electrostáticos.

El teorema de Earnshaw se aplica a las fuerzas clásicas de la ley del cuadrado inverso (eléctricas y gravitacionales) y también a las fuerzas magnéticas de los imanes permanentes, si los imanes son duros (los imanes no varían en fuerza con los campos externos). El teorema de Earnshaw prohíbe la levitación magnética en muchas situaciones comunes.

Si los materiales no son duros, la extensión de Braunbeck muestra que los materiales con una permeabilidad magnética relativa mayor que uno (paramagnetismo) son aún más desestabilizadores, pero los materiales con una permeabilidad menor que uno (materiales diamagnéticos) permiten configuraciones estables.

Explicación

Informalmente, el caso de una carga puntual en un campo eléctrico estático arbitrario es una simple consecuencia de la ley de Gauss. Para que una partícula esté en equilibrio estable, pequeñas perturbaciones ("empujes") sobre la partícula en cualquier dirección no deberían romper el equilibrio; la partícula debería "retroceder" a su posición anterior. Esto significa que todas las líneas del campo de fuerza alrededor de la posición de equilibrio de la partícula deben apuntar hacia adentro, hacia esa posición. Si todas las líneas de campo circundantes apuntan hacia el punto de equilibrio, entonces la divergencia del campo en ese punto debe ser negativa (es decir, ese punto actúa como un sumidero). Sin embargo, la ley de Gauss dice que la divergencia de cualquier campo de fuerza eléctrico posible es cero en el espacio libre. En notación matemática, una fuerza eléctrica F(r) derivada de un potencial U(r) siempre será sin divergencia (satisface la ecuación de Laplace):

Silencio Silencio ⋅ ⋅ F=Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()− − Silencio Silencio U)=− − Silencio Silencio 2U=0.{displaystyle nabla cdot mathbf {F} =nabla cdot (-nabla U)=-nabla ^{2}U=0.}

Por lo tanto, no hay mínimos ni máximos locales del potencial de campo en el espacio libre, solo puntos silla. No puede existir un equilibrio estable de la partícula y debe haber inestabilidad en alguna dirección. Este argumento puede no ser suficiente si todas las segundas derivadas de U son nulas.

Para ser completamente riguroso, estrictamente hablando, la existencia de un punto estable no requiere que todos los vectores de fuerza vecinos apunten exactamente hacia el punto estable; los vectores de fuerza podrían, por ejemplo, girar en espiral hacia el punto estable. Un método para abordar esto invoca el hecho de que, además de la divergencia, la curvatura de cualquier campo eléctrico en el espacio libre también es cero (en ausencia de corrientes magnéticas).

También es posible demostrar este teorema directamente a partir de las ecuaciones de fuerza/energía para dipolos magnéticos estáticos (a continuación). Intuitivamente, sin embargo, es plausible que si el teorema se cumple para una sola carga puntual, también se cumplirá para dos cargas puntuales opuestas conectadas entre sí. En particular, se mantendría en el límite donde la distancia entre las cargas disminuye a cero mientras se mantiene el momento dipolar; es decir, se mantendría para un dipolo eléctrico. Pero si el teorema es válido para un dipolo eléctrico, entonces también será válido para un dipolo magnético, ya que las ecuaciones (estáticas) de fuerza/energía toman la misma forma tanto para los dipolos eléctricos como para los magnéticos.

Como consecuencia práctica, este teorema también establece que no existe una configuración estática posible de ferromagnetos que pueda levitar de manera estable un objeto contra la gravedad, incluso cuando las fuerzas magnéticas son más fuertes que las fuerzas gravitacionales.

El teorema de Earnshaw ha sido demostrado incluso para el caso general de los cuerpos extendidos, y esto es así incluso si son flexibles y conductores, siempre que no sean diamagnéticos, ya que el diamagnetismo constituye una (pequeña) fuerza repulsiva, pero ninguna atracción.

Sin embargo, existen varias excepciones a los supuestos de la regla, que permiten la levitación magnética.

Lagunas

El teorema de Earnshaw no tiene excepciones para los ferromagnetos permanentes que no se mueven. Sin embargo, el teorema de Earnshaw no se aplica necesariamente a ferroimanes en movimiento, ciertos sistemas electromagnéticos, pseudolevitación y materiales diamagnéticos. Por tanto, pueden parecer excepciones, aunque en realidad explotan las restricciones del teorema.

Levitación magnética estabilizada por giro: los ferroimanes giratorios (como el Levitron) pueden, mientras giran, levitar magnéticamente usando solo ferroimanes permanentes, y el sistema agrega fuerzas giroscópicas. (El ferroimán que gira no es un "ferroimán inmóvil").

Cambiar la polaridad de un electroimán o sistema de electroimanes puede hacer levitar un sistema mediante un gasto continuo de energía. Los trenes Maglev son una aplicación.

La pseudolevitación restringe el movimiento de los imanes, generalmente utilizando algún tipo de atadura o pared. Esto funciona porque el teorema sólo muestra que hay alguna dirección en la que habrá inestabilidad. Limitar el movimiento en esa dirección permite la levitación con menos de las 3 dimensiones completas disponibles para el movimiento (tenga en cuenta que el teorema está probado para 3 dimensiones, no para 1D o 2D).

Los materiales diamagnéticos están exceptuados porque solo exhiben repulsión contra el campo magnético, mientras que el teorema requiere materiales que tengan tanto repulsión como atracción. Un ejemplo de esto es la famosa rana levitante (ver Diamagnetismo).

Efecto sobre la física

Durante bastante tiempo, el teorema de Earnshaw planteó una sorprendente pregunta sobre por qué la materia es estable y se mantiene unida, ya que se encontró mucha evidencia de que la materia se mantenía unida electromagnéticamente a pesar de la inestabilidad comprobada de las configuraciones de carga estática. Dado que el teorema de Earnshaw sólo se aplica a cargas estacionarias, hubo intentos de explicar la estabilidad de los átomos utilizando modelos planetarios, como el modelo saturniano de Nagaoka (1904) y el modelo planetario de Rutherford (1911), donde los electrones puntuales giran alrededor de una carga puntual positiva en el centro. Sin embargo, la estabilidad de tales modelos planetarios fue inmediatamente cuestionada: los electrones tienen una aceleración distinta de cero cuando se mueven a lo largo de un círculo y, por lo tanto, irradiarían energía a través de un campo electromagnético no estacionario. El modelo de Bohr de 1913 prohibió formalmente esta radiación sin dar explicación de su ausencia.

Por otro lado, el teorema de Earnshaw sólo se aplica a cargas puntuales, pero no a cargas distribuidas. Esto llevó a J. J. Thomson en 1904 a su modelo de pudín de ciruelas, donde las cargas puntuales negativas (electrones o "ciruelas") están incrustadas en una carga positiva distribuida "pudín", donde podrían ser ya sea estacionario o moviéndose en círculos; esta es una configuración que incluye cargas positivas no puntuales (y también cargas negativas no estacionarias), que no está cubierta por el teorema de Earnshaw. Con el tiempo, esto abrió el camino al modelo de Schrödinger de 1926, donde la existencia de estados no radiativos en los que el electrón no es un punto sino una densidad de carga distribuida resuelve el enigma anterior a un nivel fundamental: no sólo había Esto no contradice el teorema de Earnshaw, pero también la densidad de carga resultante y la densidad de corriente son estacionarias, al igual que el campo electromagnético correspondiente, que ya no irradia energía hasta el infinito. Esto dio una explicación de la mecánica cuántica de la estabilidad del átomo.

A un nivel más práctico, se puede decir que el principio de exclusión de Pauli y la existencia de orbitales de electrones discretos son responsables de hacer que la materia en masa sea rígida.

Pruebas para dipolos magnéticos

Introducción

Si bien es posible una prueba más general, aquí se consideran tres casos específicos. El primer caso es un dipolo magnético de magnitud constante que tiene una orientación rápida (fija). El segundo y tercer caso son dipolos magnéticos donde la orientación cambia para permanecer alineada paralela o antiparalela a las líneas de campo del campo magnético externo. En materiales paramagnéticos y diamagnéticos, los dipolos están alineados paralelos y antiparalelos a las líneas de campo, respectivamente.

Fondo

Las pruebas consideradas aquí se basan en los siguientes principios.

La energía U de un dipolo magnético con un momento dipolar magnético M en un campo magnético externo B está dada por

U=− − M⋅ ⋅ B=− − ()MxBx+MSí.BSí.+MzBz).{displaystyle U=-mathbf {M} cdot mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).}

El dipolo solo levitará de manera estable en puntos donde la energía sea mínima. La energía sólo puede tener un mínimo en los puntos donde el laplaciano de la energía es mayor que cero. Eso es donde

0.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silencio Silencio 2U=∂ ∂ 2U∂ ∂ x2+∂ ∂ 2U∂ ∂ Sí.2+∂ ∂ 2U∂ ∂ z2■0.{displaystyle nabla ^{2}U={frac {partial ^{2}U}{partial ###{2}}+{frac {partial ^{2}U}{partial ¿Qué?

0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ff155cfeb5823c3e3064626057ea69defcd70d" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.508ex; height:6.343ex;"/>

Finalmente, debido a que tanto la divergencia como la curvatura de un campo magnético son cero (en ausencia de corriente o de un campo eléctrico cambiante), los laplacianos de los componentes individuales de un campo magnético son cero. Eso es,

Silencio Silencio 2Bx=Silencio Silencio 2BSí.=Silencio Silencio 2Bz=0.{displaystyle nabla ^{2}B_{x}=nabla ^{2}B_{y}=nabla ^{2}B_{z}=0.}

Esto se demuestra al final de este artículo, ya que es fundamental para comprender la prueba general.

Resumen de pruebas

Para un dipolo magnético de orientación fija (y magnitud constante) la energía estará dada por

U=− − M⋅ ⋅ B=− − ()MxBx+MSí.BSí.+MzBz),{displaystyle U=-mathbf {M} cdot mathbf [B] =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}),}

Silencio Silencio 2U=0,{displaystyle nabla ^{2}U=0,}

Los dipolos magnéticos alineados paralelos o antiparalelos a un campo externo con la magnitud del dipolo proporcional al campo externo corresponderán a materiales paramagnéticos y diamagnéticos respectivamente. En estos casos la energía estará dada por

U=− − M⋅ ⋅ B=− − kB⋅ ⋅ B=− − k()Bx2+BSí.2+Bz2),{displaystyle U=-mathbf {M} cdot mathbf {B} =-kmathbf {B} cdot mathbf [B] =-kleft(B_{x}{2}+B_{y}{2}+B_{z}{2}right),}

En este caso, se demostrará que

Silencio Silencio 2()Bx2+BSí.2+Bz2)≥ ≥ 0,{displaystyle nabla ^{2}left ¿Por qué? 0,}

Finalmente, el dipolo magnético de un material ferromagnético (un imán permanente) que está alineado paralelo o antiparalelo a un campo magnético estará dado por

M=kBSilencioBSilencio,{displaystyle mathbf {M} =k{mathbf {B} over Silenciomathbf {B}

entonces la energía estará dada por

U=− − M⋅ ⋅ B=− − kB⋅ ⋅ BSilencioBSilencio=− − kSilencioBSilencio2SilencioBSilencio=− − k()Bx2+BSí.2+Bz2)12;{displaystyle U=-mathbf {M} cdot mathbf {B} =-k{frac {mathbf {B} cdot mathbf {B}{Principiomathbf {B} Silencio. {Mathbf {B} Silencio. ¿Por qué? {1}{2}}}

pero esta es solo la raíz cuadrada de la energía para el caso paramagnético y diamagnético discutido anteriormente y, dado que la función de raíz cuadrada aumenta monótonamente, cualquier mínimo o máximo en el caso paramagnético y diamagnético será un mínimo o máximo aquí como Bueno. Sin embargo, no se conocen configuraciones de imanes permanentes que levitan de manera estable, por lo que puede haber otras razones no analizadas aquí por las que no es posible mantener imanes permanentes en orientaciones antiparalelas a los campos magnéticos (al menos no sin rotación; consulte imanes permanentes con giro estabilizado). levitación.

Pruebas detalladas

El teorema de Earnshaw se formuló originalmente para la electrostática (cargas puntuales) para demostrar que no existe una configuración estable de un conjunto de cargas puntuales. Las pruebas presentadas aquí para dipolos individuales deberían poder generalizarse a conjuntos de dipolos magnéticos porque están formuladas en términos de energía, que es aditiva. Sin embargo, un tratamiento riguroso de este tema está actualmente fuera del alcance de este artículo.

Dipolo magnético de orientación fija

Se comprobará que en todos los puntos del espacio libre

Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()Silencio Silencio U)=Silencio Silencio 2U=∂ ∂ 2U∂ ∂ x2+∂ ∂ 2U∂ ∂ Sí.2+∂ ∂ 2U∂ ∂ z2=0.{displaystyle nabla cdot (nabla U)=nabla ^{2}U={partial ^{2}U over {partial #########{2}U over {partial ¿Qué? }=0.}

La energía U del dipolo magnético M en el campo magnético externo B está dada por

U=− − M⋅ ⋅ B=− − MxBx− − MSí.BSí.− − MzBz.{displaystyle U=-mathbf {M} cdot mathbf {B} - Sí.

El laplaciano será

Silencio Silencio 2U=− − ∂ ∂ 2∂ ∂ x2()MxBx+MSí.BSí.+MzBz)− − ∂ ∂ 2∂ ∂ Sí.2()MxBx+MSí.BSí.+MzBz)− − ∂ ∂ 2∂ ∂ z2()MxBx+MSí.BSí.+MzBz){displaystyle nabla ^{2}U=-{frac {partial ^{2}{partial}{. (M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}right)-{frac {partial ^{2}{partial ¿Qué? {partial ^{2}{partial ¿Qué?

Expandiendo y reordenando los términos (y observando que el dipolo M es constante) tenemos

Silencio Silencio 2U=− − Mx()∂ ∂ 2Bx∂ ∂ x2+∂ ∂ 2Bx∂ ∂ Sí.2+∂ ∂ 2Bx∂ ∂ z2)− − MSí.()∂ ∂ 2BSí.∂ ∂ x2+∂ ∂ 2BSí.∂ ∂ Sí.2+∂ ∂ 2BSí.∂ ∂ z2)− − Mz()∂ ∂ 2Bz∂ ∂ x2+∂ ∂ 2Bz∂ ∂ Sí.2+∂ ∂ 2Bz∂ ∂ z2)=− − MxSilencio Silencio 2Bx− − MSí.Silencio Silencio 2BSí.− − MzSilencio Silencio 2Bz{displaystyle {begin{aligned}nabla ^{2}Uiéndose=-M_{x}left({partial ^{2}B_{x} over {partial #### {2}+{2}_B_{x} over {partial y}{2}}+{2}_B_{x} over {partial z}{2}right)-M_{y}left({partial ^{2}B_{y}over {partial } {partial } {partial } #### {2}+{2}_B_{y} over {partial y}{2}}+{2}_B_{y} over {partial z}{2}}right)-M_{z}left({partial ^{2}B_{z} over {partial }over {partial } #### {2}+{2}_B_{z} over {partial y}{2}}+{2}_B_{z} over {partial z}}right)[3pt] ^{2}B_{x}-M_{y}nabla ^{2}B_{y}-M_{z}nabla ^{2}B_{z}end{aligned}}

pero los laplacianos de los componentes individuales de un campo magnético son cero en el espacio libre (sin contar la radiación electromagnética), por lo que

Silencio Silencio 2U=− − Mx0− − MSí.0− − Mz0=0,{displaystyle nabla ^{2}U=-M_{x}0-M_{y}0-M_{z}0=0,}

lo que completa la prueba.

Dipolo magnético alineado con líneas de campo externas

Primero se considera el caso de un dipolo paramagnético o diamagnético. La energía está dada por

U=− − kSilencioBSilencio2=− − k()Bx2+BSí.2+Bz2).{displaystyle U=-k sufrimientomathbf {B} Silencio^{2}=-kleft(B_{x}^{2}+B_{y}{2}+B_{z}{2}right).}

Ampliar y reorganizar términos,

Silencio Silencio 2SilencioBSilencio2=Silencio Silencio 2()Bx2+BSí.2+Bz2)=2()SilencioSilencio Silencio BxSilencio2+SilencioSilencio Silencio BSí.Silencio2+SilencioSilencio Silencio BzSilencio2+BxSilencio Silencio 2Bx+BSí.Silencio Silencio 2BSí.+BzSilencio Silencio 2Bz){displaystyle {begin{aligned}nabla ^{2} {B} ^{2}left (B_{x}{2}+B_{y}{2}+B_{z}{2}right)\=2left(Princenabla) B_{x}Sobrevivir* B_{y}Sobrevivir* B_{z}sobrevivir^{2}+B_{x}nabla ^{2}B_{x}+B_{y}nabla ^{2}B_{y}+B_{z}nabla Bien.

pero dado que el laplaciano de cada componente individual del campo magnético es cero,

Silencio Silencio 2SilencioBSilencio2=2()SilencioSilencio Silencio BxSilencio2+SilencioSilencio Silencio BSí.Silencio2+SilencioSilencio Silencio BzSilencio2);{displaystyle nabla ^{2}Prisiónmathbf {B} Silencio^{2}=2left(Principenabla B_{x} B_{y}Sobrevivir* - ¿Qué?

y como el cuadrado de una magnitud siempre es positivo,

Silencio Silencio 2SilencioBSilencio2≥ ≥ 0.{displaystyle nabla ^{2} {B} 0.}

Como se analizó anteriormente, esto significa que el Laplaciano de la energía de un material paramagnético nunca puede ser positivo (sin levitación estable) y el Laplaciano de la energía de un material diamagnético nunca puede ser negativo (sin inestabilidad en todas las direcciones).

Además, debido a que la energía de un dipolo de magnitud fija alineado con el campo externo será la raíz cuadrada de la energía anterior, se aplica el mismo análisis.

Laplaciano de los componentes individuales de un campo magnético

Aquí se demuestra que el laplaciano de cada componente individual de un campo magnético es cero. Esto muestra la necesidad de invocar las propiedades de los campos magnéticos de que la divergencia de un campo magnético es siempre cero y la curvatura de un campo magnético es cero en el espacio libre. (Es decir, en ausencia de corriente o de un campo eléctrico cambiante). Consulte las ecuaciones de Maxwell para obtener una discusión más detallada de estas propiedades de los campos magnéticos.

Considere el laplaciano de la componente x del campo magnético

Silencio Silencio 2Bx=∂ ∂ 2Bx∂ ∂ x2+∂ ∂ 2Bx∂ ∂ Sí.2+∂ ∂ 2Bx∂ ∂ z2=∂ ∂ ∂ ∂ x∂ ∂ Bx∂ ∂ x+∂ ∂ ∂ ∂ Sí.∂ ∂ Bx∂ ∂ Sí.+∂ ∂ ∂ ∂ z∂ ∂ Bx∂ ∂ z{displaystyle {begin{aligned}nabla ^{2}B_{x} ^{2}B_{x}{partial ###{2}}+{frac {partial ^{2}B_{x}{partial ¿Qué? {partial }{partial {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMicroc {c} {cH}} {fnMicroc {fnMicroc}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}} {b} {b} {b}}}}}}f}f}}}f}f} {b}b}f}fnMicroc}f}}}fnMicroc {f}f} {fn}fnMicroc {b}fn}}f}f}f}b}f}b}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? Y... }{partial {fnMicroc {fnK} {fnK}} {f}f}} {fnK}} {f}}} {fn}}}} {f}}f}}f}f}} {f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn}fn}f}f}f}f}f}f}f}f}fn

Debido a que el rizo de B es cero,

∂ ∂ Bx∂ ∂ Sí.=∂ ∂ BSí.∂ ∂ x,{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} B_{x}{partial - Sí. ¿Qué?

∂ ∂ Bx∂ ∂ z=∂ ∂ Bz∂ ∂ x,{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} B_{x}{partial #={frac {partial} B_{z}{partial x}}}

Silencio Silencio 2Bx=∂ ∂ ∂ ∂ x∂ ∂ Bx∂ ∂ x+∂ ∂ ∂ ∂ Sí.∂ ∂ BSí.∂ ∂ x+∂ ∂ ∂ ∂ z∂ ∂ Bz∂ ∂ x.{displaystyle nabla ^{2}B_{x}={frac {partial }{partial {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}} {f}} {fn}} {fnMicroc {fnMicrosoft}} {fn}} {fnMicroc {f}}} {fnMicroc {fn}}}}}}} {f}}}}}}f}}}} {fnMicroc {fnMicroc} {b}f}}}}}}}}fn}}}}}}}}}}fn}}}}}}f} {b}}f}fn} {fnMicroc {b}}}}}fn}}}fnMicroc {f}}}f}fn}}fn} {b}fn}fn}}}f}b}f}b}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? B_{y}{partial {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft {fnMicrosoft}}}}}} {fnMicroc {f}fnMicroc}}}}} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMicrocfnMicroc}f}f}f}f}f}f}fnMicroc}f}f}f}f}f}f} {fnMicroc {f}f}f}fnMicroc}fn}f}f}f}f}\f}f}f}fn B_{z}{partial #

Pero dado que B_x es continuo, el orden de diferenciación no importa, dado

Silencio Silencio 2Bx=∂ ∂ ∂ ∂ x()∂ ∂ Bx∂ ∂ x+∂ ∂ BSí.∂ ∂ Sí.+∂ ∂ Bz∂ ∂ z)=∂ ∂ ∂ ∂ x()Silencio Silencio ⋅ ⋅ B).{displaystyle nabla ^{2}B_{x}={partial over partial x}left({partial B_{x} over partial x}+{partial B_{y} over partial y}+{partial B_{z} over partial z}right)={partial over partial x}(nabla cdot mathbf {B}).}

La divergencia de B es cero,

Silencio Silencio ⋅ ⋅ B=0,{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0,}

Silencio Silencio 2Bx=∂ ∂ ∂ ∂ x()Silencio Silencio ⋅ ⋅ B)=0.{displaystyle nabla ^{2}B_{x}={partial over partial x}(nabla cdot mathbf {B}=0.}

El Laplaciano del componente y del campo magnético B_y y el Laplaciano del z La componente del campo magnético B_z se puede calcular de forma análoga. Alternativamente, se puede utilizar la identidad

Silencio Silencio 2B=Silencio Silencio ()Silencio Silencio ⋅ ⋅ B)− − Silencio Silencio × × ()Silencio Silencio × × B),{displaystyle nabla ^{2}mathbf {B} =nabla left(nabla cdot mathbf {B} right)-nabla times left(nabla times mathbf {B} right),}