Teorema de disipación de fluctuaciones

El teorema de fluctuación-disipación (FDT) o la relación de fluctuación-disipación (FDR) es un poderoso Herramienta en física estadística para predecir el comportamiento de sistemas que obedecen a un equilibrio detallado. Dado que un sistema obedece a un equilibrio detallado, el teorema es una prueba de que las fluctuaciones termodinámicas en una variable física predicen la respuesta cuantificada por la admitancia o impedancia (en su sentido general, no sólo en términos electromagnéticos) de la misma variable física (como voltaje, diferencia de temperatura, etc.) y viceversa. El teorema de fluctuación-disipación se aplica tanto a los sistemas mecánicos clásicos como a los cuánticos.

El teorema de fluctuación-disipación fue demostrado por Herbert Callen y Theodore Welton en 1951. y ampliado por Ryogo Kubo. Existen antecedentes del teorema general, incluida la explicación de Einstein del movimiento browniano. durante su annus mirabilis y la explicación de Harry Nyquist en 1928 sobre el ruido de Johnson en las resistencias eléctricas.

Resumen cualitativo y ejemplos

El teorema de fluctuación-disipación dice que cuando hay un proceso que disipa energía, convirtiéndola en calor (por ejemplo, fricción), hay un proceso inverso relacionado con las fluctuaciones térmicas. Esto se entiende mejor considerando algunos ejemplos:

• Drag and Brownian motion

  Si un objeto se mueve a través de un líquido, experimenta resistencia al aire o resistencia al líquido. Arrastre disipa la energía cinética, convirtiéndolo en calor. La fluctuación correspondiente es movimiento Brownian. Un objeto en un líquido no se queda quieto, sino que se mueve alrededor con una velocidad pequeña y rápidamente cambiante, como moléculas en el líquido chocan contra él. El movimiento marroniano convierte la energía térmica en energía cinética, el reverso de la arrastre.

• Resistencia y ruido de Johnson

  Si la corriente eléctrica está corriendo a través de un bucle de alambre con un resistor en él, la corriente irá rápidamente a cero debido a la resistencia. La resistencia disipa la energía eléctrica, convirtiéndolo en calor (calor Joule). La fluctuación correspondiente es el ruido de Johnson. Un bucle de alambre con un resistor en él no tiene ninguna corriente cero, tiene una corriente pequeña y rápida fluctuación causada por las fluctuaciones térmicas de los electrones y átomos en el resistor. El ruido de Johnson convierte la energía térmica en energía eléctrica, el reverso de la resistencia.

• Absorción de luz y radiación térmica

  Cuando la luz imprime un objeto, se absorbe una fracción de la luz, haciendo que el objeto sea más caliente. De esta manera, la absorción de la luz convierte la energía de la luz en calor. La fluctuación correspondiente es la radiación térmica (por ejemplo, el resplandor de un objeto rojo caliente). La radiación térmica convierte la energía térmica en energía ligera —el reverso de la absorción de la luz. De hecho, la ley de radiación térmica de Kirchhoff confirma que cuanto más eficazmente un objeto absorbe la luz, más radiación térmica emite.

Ejemplos en detalle

El teorema de fluctuación-disipación es un resultado general de la termodinámica estadística que cuantifica la relación entre las fluctuaciones en un sistema que obedece a un equilibrio detallado y la respuesta del sistema a las perturbaciones aplicadas.

Movimiento browniano

Por ejemplo, Albert Einstein señaló en su artículo de 1905 sobre el movimiento browniano que las mismas fuerzas aleatorias que causan el movimiento errático de una partícula en el movimiento browniano también causarían arrastre si la partícula fuera arrastrada a través del fluido. En otras palabras, la fluctuación de la partícula en reposo tiene el mismo origen que la fuerza de fricción disipativa contra la que debemos trabajar si intentamos perturbar el sistema en una dirección particular.

A partir de esta observación, Einstein pudo utilizar la mecánica estadística para derivar la relación Einstein-Smoluchowski.

${displaystyle D={mu ,k_{rm {B}T}$

que conecta la constante de difusión D y la movilidad de las partículas μ, la relación entre la velocidad de deriva terminal de la partícula y una fuerza aplicada. k_B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta.

Ruido térmico en una resistencia

En 1928, John B. Johnson descubrió y Harry Nyquist explicó a Johnson-Nyquist ruido. Sin corriente aplicada, la tensión media-cuadra depende de la resistencia ${displaystyle R.$, ${displaystyle k_{rm}T}$, y el ancho de banda ${displaystyle Delta nu }$ sobre el cual se mide el voltaje:

${displaystyle langle V^{2}rangle approx 4Rk_{rm Delta nu.$

Esta observación se puede entender a través de la lente del teorema de disipación- fluctuación. Tome, por ejemplo, un circuito simple que consiste en un resistor con una resistencia ${displaystyle R.$ y un condensador con una pequeña capacitancia ${displaystyle C}$. La ley de Kirchhoff rinde

${displaystyle V=-R{frac {dQ}{dt}+{frac} {C}}$

y entonces la función de respuesta para este circuito es

${displaystyle chi (omega)equiv {frac {Q(omega)}{V(omega)}}={frac {1}{frac} {1}{C}-iomega R}$

En el límite de baja frecuencia ${displaystyle omega ll (RC)^{-1}$, su parte imaginaria es simplemente

${displaystyle {text{Im}left[chi (omega)right]approx omega RC^{2}}$

que entonces puede estar vinculado a la función de densidad espectral de potencia ${displaystyle S_{V}(omega)}$ del voltaje a través de la fluctuación-disipación teorema

${displaystyle S_{V}(omega)={frac {S_{Q} {C^{2}}}approx {fnMicroc {2K_{rm} {B}T}{2}omega }{text{Im}left[chi (omega)right]=2Rk_{rm {B}T}$

El ruido del voltaje Johnson-Nyquist ${displaystyle langle V^{2}rangle }$ se observó dentro de un ancho de banda de frecuencia pequeña ${displaystyle Delta nu =Delta omega /(2pi)}$ centrado alrededor ${displaystyle omega =pm omega ¿Qué?$. Por lo tanto

${displaystyle langle V^{2}rangle approx S_{V}(omega)times 2Delta nu approx 4Rk_{rm {B}TDelta nu}$

Formulación general

El teorema de fluctuación-disipación se puede formular de muchas maneras; Una forma particularmente útil es la siguiente:.

Vamos ${displaystyle x(t)}$ ser un observable de un sistema dinámico con Hamiltonian ${displaystyle H_{0}(x)}$ sujeto a fluctuaciones térmicas. El observable ${displaystyle x(t)}$ fluctuará alrededor de su valor medio ${displaystyle langle xrangle ¿Qué?$con fluctuaciones caracterizadas por un espectro de potencia ${displaystyle S_{x}(omega)=langle {hat {x} {omega){hat {x}}}{*}(omega)rangle }$. Supongamos que podemos cambiar en un campo de tiempo, espacialmente constante ${displaystyle f(t)}$ que altera el Hamiltonian a ${displaystyle H(x)=H_{0}(x)-f(t)x}$. La respuesta del observable ${displaystyle x(t)}$ a un campo dependiente del tiempo ${displaystyle f(t)}$ es caracterizado a primera orden por la función de susceptibilidad o respuesta lineal ${displaystyle chi (t)}$ del sistema

${displaystyle langle x(t)rangle =langle xrangle _{0}+int _{-infty }^{t}!f(tau)chi (t-tau),dtau}$

donde la perturbación es adiabaticamente (muy lentamente) encendido ${displaystyle tau =-infty }$.

El teorema de fluctuación–disipación relaciona el espectro de potencia de dos caras (es decir, frecuencias positivas y negativas) ${displaystyle x}$ a la parte imaginaria de la transformación Fourier ${displaystyle {hat {chi }}(omega)}$ de la susceptibilidad ${displaystyle chi (t)}$:

$${displaystyle S_{x}(omega)=-{frac {2k_{mathrm {B}T}{omega #### Operatorname {Im} {hat {chi } {omega). }$$

Que sostiene bajo la convención de transformación Fourier ${displaystyle f(omega)=int _{-infty } {infty }f(t)e^{-iomega t},dt}$. El lado izquierdo describe las fluctuaciones en ${displaystyle x}$, el lado derecho está estrechamente relacionado con la energía disipada por el sistema cuando es bombeado por un campo oscilatorio ${displaystyle f(t)=Fsin(omega t+phi)}$.

Esta es la forma clásica del teorema; las fluctuaciones cuánticas se tienen en cuenta reemplazando ${displaystyle 2k_{mathrm {B}T/omega }$ con ${displaystyle hbar ,coth(hbar omega /2k_{mathrm {B}T)}$ (cuyo límite para ${displaystyle hbar to 0}$ es ${displaystyle 2k_{mathrm {B}T/omega }$). Una prueba se puede encontrar mediante la reducción de LSZ, una identidad de la teoría del campo cuántico.

El teorema de fluctuación-disipación se puede generalizar de forma sencilla al caso de campos dependientes del espacio, al caso de varias variables o a un entorno de mecánica cuántica. Un caso especial en el que la magnitud fluctuante es la propia energía es el teorema de fluctuación-disipación del calor específico dependiente de la frecuencia.

Derivación

Versión clásica

Derivamos el teorema de fluctuación-disipación en la forma dada anteriormente, usando la misma notación. Considere el siguiente caso de prueba: el campo f ha estado activado durante un tiempo infinito y se desactiva en t=0

${displaystyle f(t)=f_{0}theta (-t),}$

Donde ${displaystyle theta (t)}$ es la función Heaviside. Podemos expresar el valor de expectativa ${displaystyle x}$ por la distribución de probabilidad W()x,0) y la probabilidad de transición ${displaystyle P(x',t habitx,0)}$

${displaystyle langle x(t)rangle =int dx'int dx,x'P(x',t habitx,0)W(x,0). }$

Función de distribución de probabilidad W()x,0) es una distribución de equilibrio y por lo tanto dada por la distribución Boltzmann para el Hamiltonian ${displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}$

${displaystyle W(x,0)={frac {exp(-beta H(x)}{int dx',exp(-beta H(x)}},}$

Donde ${displaystyle beta ^{-1}=k_{rm {B}T}$. Para un campo débil ${displaystyle beta xf_{0}ll} 1}$, podemos ampliar el lado derecho

${displaystyle W(x,0)approx W_{0}(x)[1+beta f_{0}(x(0)-langle xrangle _{0}],}$

Aquí. ${displaystyle W_{0}(x)}$ es la distribución del equilibrio en ausencia de un campo. Enchufe esta aproximación en la fórmula para ${displaystyle langle x(t)rangle }$ rendimientos

${displaystyle langle x(t)rangle =langle xrangle _{0}+beta f_{0}A(t),}$

()*)

donde A(t) es la función de autocorrelación de x en ausencia de un campo:

${displaystyle A(t)=langle [x(t)-langle xrangle _{0}][x(0)-langle xrangle _{0}]rangle _{0}}$

Tenga en cuenta que, en ausencia de un campo, el sistema es invariable bajo turnos de tiempo. Podemos reescribir ${displaystyle langle x(t)rangle -langle xrangle ¿Qué?$ usando la susceptibilidad del sistema y por lo tanto encontrar con la ecuación anterior (*)

${displaystyle f_{0}in ¿Qué?$

En consecuencia,

${displaystyle -chi (t)=beta {dA(t) over dt}theta (t).}$

()#)

Para hacer una afirmación sobre la dependencia de la frecuencia, es necesario tomar la transformada de Fourier de la ecuación (**). Integrando por partes es posible demostrar que

${displaystyle -{hat {chi }(omega)=iomega beta int _{0}^{infty }e^{-iomega t}A(t),dt-beta A(0). }$

Desde ${displaystyle A(t)}$ es real y simétrico, sigue que

${displaystyle 2operatorname {Im} [{hat {chi } {omega)]=-omega beta {hat {hat}(omega). }$

Finalmente, para procesos estacionarios, el teorema de Wiener-Khinchin establece que la densidad espectral bilateral es igual a la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:

${displaystyle S_{x}(omega)={hat {A}(omega). }$

Por lo tanto, se deduce que

${displaystyle S_{x}(omega)=-{frac {2k_{text{B}T}{omega #### Operatorname {Im} [{hat {chi } {omega]].}$

Versión cuántica

La fluctuación-disipación teorema relaciona la función de correlación del observable de interés ${displaystyle langle {hatx}(t){hat {x}(0)rangle }$ (una medida de fluctuación) a la parte imaginaria de la función de respuesta ${displaystyle {text{Im}}left[chi (omega)right]=left[chi (omega)-chi ^{*}(omega)right]/2i}$ en el dominio de frecuencia (una medida de disipación). Un vínculo entre estas cantidades se puede encontrar a través de la llamada fórmula Kubo

${displaystyle chi (t-t')={frac {hbar }theta (t-t')langle [{hat {x}(t),{hat {x} {x}(t')]rangle }$

que sigue, bajo los supuestos de la teoría de la respuesta lineal, desde la evolución del conjunto promedio del observable ${displaystyle langle {hat {}(t)rangle }$ en presencia de una fuente inquietante. Una vez que Fourier se transformó, la fórmula Kubo permite escribir la parte imaginaria de la función de respuesta como

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMinMinKfnKfnKf}fnKf}f}fnMinKfnKfnKf}f}f}f}f}fnMinMinMinMinKfnKfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMi$

En el conjunto canónico, el segundo término puede reexpresarse como

${displaystyle langle {hatx}(0){hat {x}(t)rangle ={text{hat {x}(0){hat {x}(t)rangle ={text{f} {fnK} {fnK} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fn} {fn} {f} {fnh} {fnK} {fnK} {f} {fnK}}}} {fnfnf} {fnf}}f}f}}}} {fnfnf}}}}fnfnfnf}}}}fnfnf}}}fnfnfnKfnfnf}}fnf}fnfnfnKfnKf}}fnf}}fnfnfnfnfnKfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKf}}}}}} {fnMicrosoft Sans Ser} {fnK}} {fn}} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {f}}} {fn}} {f}} {fnK}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}f}}}}}}}}f}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}f}}}}f}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

donde en la segunda igualdad nos posicionamos ${displaystyle {hat {x}(t)}$ usando la propiedad cíclica de traza. Luego, en la tercera igualdad, insertamos ${displaystyle e^{-beta {f}e^{beta} {fnK}}}$ junto al trazo e interpretado ${displaystyle e^{-beta {f}}}$ como operador de evolución del tiempo ${displaystyle e^{-{frac {}{hbar} ¿Qué?$ con intervalo de tiempo imaginario ${displaystyle Delta t=-ihbar beta }$. El cambio de tiempo imaginario se convierte en un ${displaystyle e^{-beta hbar omega }$ factor después de la transformación de Fourier

${displaystyle int _{-infty }{+infty }langle {hat {x}(t-ihbar beta){hat {x}(0)rangle e^{iomega t}dt=e^{-beta hbar omega ################## {hat {x}(t){hat {x}(0)rangle e^{iomega t}dt}$

y así la expresión ${displaystyle {text{Im}left[chi (omega)right]$ puede ser reescrito fácilmente como la relación de fluctuación-disipación cuántica

${displaystyle S_{x}(omega)=2hbar left[n_{rm {BE}(omega)+1right]{text{Im}}left[chi (omega)right]}}$

donde la densidad espectral de potencia ${displaystyle S_{x}(omega)}$ es la transformación Fourier de la autocorrelación ${displaystyle langle {hatx}(t){hat {x}(0)rangle }$ y ${displaystyle n_{rm {BE}(omega)=left(e^{beta hbar omega) - Sí.$ es la función de distribución Bose-Einstein. El mismo cálculo también produce

${displaystyle S_{x}(-omega)=e^{-betahbar omega }S_{x}(omega)=2hbar left[n_{rm {BE}(omega)right]{text{im}}left[chi (omega)right]neq]$

por lo tanto, diferente de lo obtenido en el caso clásico, la densidad espectral de potencia no es exactamente la frecuencia-simétrica en el límite cuántico. Consistentemente, ${displaystyle langle {hatx}(t){hat {x}(0)rangle }$ tiene una parte imaginaria originaria de las reglas de conmutación de los operadores. El adicional "${displaystyle +1}$" término en la expresión de ${displaystyle S_{x}(omega)}$ en frecuencias positivas también se puede considerar como vinculada a la emisión espontánea. Un resultado a menudo citado es también la densidad espectral de potencia simetrizada

${fnMiga)} {fnK}}=2hbar left[n_{rm {}(omega)+{fc {fn_} {fn_} {fn]fnMiga)} {fnuncio} {fn0}fn0} {fnMientras] {mfnMientroscccccccccccccccccccccccccfnK]ccfnKfnKccccccccfnKcfnKcccccfnKcfnKfnKfnK]fnK]fnKccfnK]ccccccfn {fnK}left[chi (omega)right].}$

El "${displaystyle +1/2}$"se puede considerar como vinculado a las fluctuaciones cuánticas, o al movimiento de cero puntos del observable ${displaystyle {hat {x}}$. A altas temperaturas, ${displaystyle n_{rm {BE}approx (beta hbar omega)^{-1}gg 1}$, es decir, la contribución cuántica es insignificante, y recuperamos la versión clásica.

Infracciones en los sistemas vítreos

Si bien el teorema de fluctuación-disipación proporciona una relación general entre la respuesta de los sistemas que obedecen el equilibrio detallado, cuando se viola el equilibrio detallado la comparación de las fluctuaciones a la disipación es más compleja. Bajo la llamada temperatura de vidrio ${displaystyle T_{rm {g}}$, los sistemas cristalinos no están equilibrados, y lentamente acercan su estado de equilibrio. Este enfoque lento del equilibrio es sinónimo de la violación del equilibrio detallado. Por lo tanto, estos sistemas requieren que se estudien grandes escalas de tiempo mientras avanzan lentamente hacia el equilibrio.

Estudiar la violación de la relación fluctuación-disipación en sistemas vidriosos, particularmente las gafas de giro, realizó simulaciones numéricas de sistemas macroscópicos (es decir, grandes en comparación con sus longitudes de correlación) descritas por el modelo tridimensional Edwards-Anderson utilizando supercomputers. En sus simulaciones, el sistema se prepara inicialmente a alta temperatura, rápidamente enfriado a una temperatura ${displaystyle T=0.64T_{rm {g}}$ debajo de la temperatura del vidrio ${displaystyle T_{rm {g}}$, y a la izquierda para equilibrar durante mucho tiempo ${displaystyle t_{rm {}}$ bajo un campo magnético ${displaystyle H.$. Entonces, en un momento posterior ${displaystyle t+t_{rm {}$, dos observables dinámicos son probadas, a saber, la función de respuesta

$${displaystyle chi (t+t_{rm {w},t_{rm {})equiv left.{frac {partial m(t+t_{rm {w}}{partial H}}right imper_{H=0}$$

$${displaystyle C(t+t_{rm {w},t_{rm {w})equiv {frac {1}{V}left.sum _{x}langle S_{x}(t_{rm {w})S_{x}(t+t_{rm {w})rangle right perpetua_{H=0}}$$

${displaystyle S_{x}=pm 1}$

${displaystyle x}$

${displaystyle V}$

${textstyle m(t)equiv {frac {1} {V}sum _{x}langle S_{x}(t)rangle }$

$${displaystyle Tchi (t+t_{rm {w},t_{rm {w})=1-C(t+t_{rm {w},t_{rm {}}$$

Sus resultados confirman la expectativa de que a medida que se deja que el sistema se equilibre durante tiempos más prolongados, la relación fluctuación-disipación está más cerca de satisfacerse.

A mediados de la década de 1990, en el estudio de la dinámica de los modelos de vidrio giratorio, se descubrió una generalización del teorema de fluctuación-disipación que se cumple para estados asintóticos no estacionarios, donde la temperatura que aparece en la relación de equilibrio es sustituida por una temperatura efectiva con una dependencia no trivial de las escalas de tiempo. Se propone que esta relación se mantenga en sistemas vítreos más allá de los modelos para los que se encontró inicialmente.