Teorema de diferenciación de Lebesgue

En matemáticas, el teorema de diferenciación de Lebesgue es un teorema de análisis real que establece que, para casi todos los puntos, el valor de una función integrable es el promedio límite tomado alrededor del punto. El teorema recibe su nombre de Henri Lebesgue.

Para una función de Lebesgue integrada real o compleja f on Rⁿ, la integral indefinida es una función de conjunto que mapea un conjunto mensurable A a la Lebesgue integral de ${\displaystyle f\cdot \mathbf {1}$, donde ${\displaystyle \mathbf {1}$ denota la función característica del conjunto A. Normalmente está escrito $${\displaystyle A\mapsto \int _{ A}f\ \mathrm {d} \lambda}$$ con λ el n–dimensional Medida de lebesgue.

El derivados de este integral en x se define como $${\displaystyle \lim _{B\to x}{\frac {1} {\fnK}}\int} ### {B}f\,\mathrm {d} \lambda}$$Donde vivBSilencio denota el volumen (es decir, la medida Lebesgue) de una bola Bcentrado en x, y B → x significa que el diámetro Btiende a 0.
El Teorema de diferenciación de lebesgue (Lebesgue 1910) declara que este derivado existe y es igual a f()x) en casi todos los puntos x ▪ Rⁿ. De hecho, una declaración ligeramente más fuerte es verdad. Note that: $${\fnMicrosoft Sans Serif}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right viven=\left habit{\frac] {1}{Principalmente]}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right sobre la vida\leq {\frac {1}\int _{B} eternaf(y)-f(x) permanente\,\mathrm {d}\lambda (y).}}}$$

La afirmación más fuerte es que el lado derecho tiende a cero para casi todos los puntos x. Los puntos x para los que esto es cierto se denominan puntos de Lebesgue de f.

También tiene una versión más general. Uno puede reemplazar las bolas Bpor una familia ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ de conjuntos Ude excentricidad atada. Esto significa que hay algunos fijos c ■ 0 tal que cada conjunto Ude la familia está contenida en una bola Bcon ${\displaystyle SilencioU sobreviviente\geq c\, sobrevivir$. También se asume que cada punto x ▪ Rⁿ está contenida en conjuntos arbitrariamente pequeños de ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. Cuando estos sets se contraen x, el mismo resultado sostiene: por casi todos los puntos x, $${\displaystyle f(x)=\lim _{U\to x,\,U\in {\mathcal {V}}{\frac {1} {\fnK} {\fnK} {\fnK}} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fnK}}}}}} {\f}} {\fn}} {\fnH}}} {\f}}{\f}}}}{\f}}}}}}} {\f}{\f}}}}}}}{\f}{\f}}}{\f}}}}}}}}}{\f} {\f}}}}}\f}\f}{\f}\f}\f}{\f}{\f}\f}\f}}\f}\f} {\f}{\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f ¿Qué?$$

La familia de cubos es un ejemplo de tal familia ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, al igual que la familia ${\displaystyle {\fnMithcal}}$()m) de rectángulos en R² tal que la proporción de lados permanezca entre m⁻¹ y m, para algunos fijos m ≥ 1. Si se da una norma arbitraria Rⁿ, la familia de bolas para la métrica asociada a la norma es otro ejemplo.

El caso unidimensional fue probado anteriormente por Lebesgue (1904). Si f es integrado en la línea real, la función $${\displaystyle F(x)=\int _{(-\inftyx]}f(t)\,\mathrm {d} t}$$es casi en todas partes diferente, con ${\displaystyle F'(x)=f(x). }$ We ${\displaystyle F}$ definido por una integral Riemann esto sería esencialmente el teorema fundamental del cálculo, pero Lebesgue demostró que sigue siendo cierto al utilizar la integral Lebesgue.

El teorema en su forma más fuerte (que establece que casi todos los puntos son puntos de Lebesgue de una función localmente integrable f) se puede demostrar como consecuencia de las estimaciones débiles de L1 para la función máxima de Hardy-Littlewood. La demostración que se presenta a continuación sigue el tratamiento estándar que se puede encontrar en Benedetto y Czaja (2009), Stein y Shakarchi (2005), Wheeden y Zygmund (1977) y Rudin (1987).

Dado que el enunciado es de carácter local, se puede suponer que f es cero fuera de alguna esfera de radio finito y, por lo tanto, integrable. Entonces, basta con demostrar que el conjunto

${\displaystyle E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} {n}:\limsup ¿Por qué? {1}{\B}{\bigg Н}\int _{B}f(x)\,\mathrm {d} Y {\bigg Неный нельный нельный неннный нельный ненный нелининини неннный нелиный неный нененый неный ный ный нененый неный нининининенененинининининнннннининининининининининининининининининннинининннннининининнннининининининининый ный ный ный ный ный ный ный {\Bigr}}}$

tiene medida 0 para todo α > 0.

Sea ε > 0. Utilizando la densidad de funciones continuas de soporte compacto en L1(Rn), se puede encontrar una función g que satisfaga

${\displaystyle \"Principio de la muerte" }$

Entonces resulta útil reescribir la diferencia principal como

${\displaystyle {\frac {1}{\B}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d}y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{Principi}}\int {B} {\big} {\Bigr)}+{\Bigl {1}{\Bigr}\int}\g}\g} {\Bigl (}{\Bigl {1}{\b}\g} {\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g} {\g}}\g}\g}\g}}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g} {\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\g}\$

El primer término puede estar vinculado por el valor a x de la función máxima para f − g, denotado aquí por ${\displaystyle (f-g)^{*}(x)}$:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {} {\f} {\f} {\f} {\g} {\g} {\g} {\g} {\g}} {\g}\g}} {\g}}}} {\m}}}} {\g}}}} {\g}\g}}}}}}}}}}}} {\g} {\g} {\g}}}} {\g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\g} {\g}}}} {\g}} {\g}}}}}}}} {\m}}}}}} {\g}}}}}}}}}}}}}}}} {\g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\g}}}}}}}$

El segundo término desaparece en el límite ya que g es una función continua, y el tercer término está acotado por |f(x) − g(x)|. Para que el valor absoluto de la diferencia original sea mayor que 2α en el límite, al menos uno de los términos primero o tercero debe ser mayor que α en valor absoluto. Sin embargo, la estimación de la función Hardy–Littlewood dice que

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}}} {\f}\f}\f}\f}\fnMicrosigualt. Más grande que nunca. {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}} {\fn}}}}}}} {\Alfa }\,\f-g\prensivamente_ {L^{1} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}} {\fn}}}}}}} {\Alfa }\,\varepsilon}$

para alguna constante A_n que depende únicamente de la dimensión n. La desigualdad de Markov (también llamada desigualdad de Chebyshev) dice que

${\displaystyle {\Bigl Silencio}\left\{x: "Perfecto"(x)-g(x) confianza\alpha \right\}{\ Más grande que nunca. {1}{\alpha }\,\f-g\prensivamente_ {L^{1} {1}{\alpha }\,\varepsilon }$

por lo tanto

${\fnMicrosoft Sans Serif} {A_{n}+1}{\alpha Varepsilon.$

Dado que ε es arbitrario, se puede considerar arbitrariamente pequeño y se cumple el teorema.

El lema de recubrimiento de Vitali es vital para la prueba de este teorema; su papel consiste en demostrar la estimación de la función máxima de Hardy-Littlewood.

El teorema también se cumple si se sustituyen las bolas, en la definición de la derivada, por familias de conjuntos con diámetro tendente a cero que satisfacen la condición de regularidad de Lebesgue, definida anteriormente como familia de conjuntos con excentricidad acotada. Esto se deduce porque la misma sustitución puede hacerse en el enunciado del lema de recubrimiento de Vitali.

Éste es un análogo y una generalización del teorema fundamental del cálculo, que iguala una función integrable de Riemann y la derivada de su integral (indefinida). También es posible demostrar una inversa: que toda función diferenciable es igual a la integral de su derivada, pero esto requiere una integral de Henstock-Kurzweil para poder integrar una derivada arbitraria.

Un caso especial del teorema de diferenciación de Lebesgue es el teorema de densidad de Lebesgue, que es equivalente al teorema de diferenciación para funciones características de conjuntos mensurables. El teorema de densidad suele demostrarse utilizando un método más simple (p. ej., véase Medida y categoría).

Este teorema también es válido para cualquier medida de Borel finita en Rⁿ en lugar de la medida de Lebesgue (se puede encontrar una prueba en, por ejemplo, (Ledrappier & Young 1985)). De manera más general, es válido para cualquier medida de Borel finita en un espacio métrico separable tal que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones:

• el espacio métrico es un manifold Riemanniano,
• el espacio métrico es un espacio ultramétrico localmente compacto,
• la medida es doble.

Una prueba de estos resultados se puede encontrar en las secciones 2.8 y 2.9 de (Federer 1969).

• Teorema de densidad de Lebesgue

• Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitivos. París: Gauthier-Villars.
• Lebesgue, Henri (1910). "Sur l'intégration des fonctions discontinues". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 27: 361-450. doi:10.24033/asens.624.
• Wheeden, Richard L.; Zygmund, Antoni (1977). Medición e integral – Una introducción al análisis real. Marcel Dekker.
• Oxtoby, John C. (1980). Medida y categoría. Springer Verlag.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Análisis real. Princeton Conferencias en Análisis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. xx+402. ISBN 0-691-11386-6. MR2129625
• Benedetto, John J.; Czaja, Wojciech (2009). Integración y análisis moderno. Birkhäuser Textos avanzados. Springer. pp. 361–364. ISBN 978-0817643065.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo. Serie Internacional en Matemáticas Puras y Aplicadas (3a edición). McGraw-Hill. ISBN 0070542341.
• Ledrappier, F.; Young, L.S. (1985). "La Entropía Métrica de los Diffeomorfismos: Parte I: Caracterización de las medidas Satisfying Pesin's Entropy Formula". Anales de Matemáticas. 122 (3): 509-539. doi:10.2307/1971328. JSTOR 1971328.
• Federer, Herbert (1969). Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band. Vol. 153. Nueva York: Springer-Verlag New York Inc.