Teorema de densidad de Chebotarev

Teorema de densidad de Chebotarev en la teoría del número algebraico describe estadísticamente la división de primos en una extensión Galois dada K sobre el terreno ${displaystyle mathbb {Q}$ de números racionales. En términos generales, un primer entero factor en varios primos ideales en el anillo de los enteros algebraicos de K. Sólo hay patrones finitos de división que pueden ocurrir. Aunque la descripción completa de la división de cada primo p en una extensión general Galois es un problema importante sin resolver, el teorema de densidad Chebotarev dice que la frecuencia de la ocurrencia de un patrón dado, para todos los principios p menos que un entero grande N, tiende a un determinado límite como N va al infinito. Fue probado por Nikolai Chebotaryov en su tesis en 1922, publicada en (Tschebotareff 1926).

Un caso especial que es más fácil de decir dice que si K es un campo número algebraico que es una extensión de Galois ${displaystyle mathbb {Q}$ grado n, entonces los números primos que se dividen completamente K tienen densidad

1/n

entre todos los primos. De manera más general, el comportamiento de división se puede especificar asignando a (casi) cada número primo un invariante, su elemento de Frobenius, que es un representante de una clase de conjugación bien definida en el grupo de Galois.

Gal()K/Q).

Entonces el teorema dice que la distribución asintótica de estos invariantes es uniforme en todo el grupo, de modo que una clase de conjugación con elementos k ocurre con frecuencia asintótica a

k/n.

Historia y motivación

Cuando Carl Friedrich Gauss introdujo por primera vez la noción de enteros complejos Z[i], observó que los números primos ordinarios pueden factorizarse aún más en este nuevo conjunto de números enteros. De hecho, si un primo p es congruente con 1 mod 4, entonces se factoriza en un producto de dos enteros primos gaussianos distintos, o "se divide completamente"; si p es congruente con 3 mod 4, entonces sigue siendo primo o es "inerte"; y si p es 2, entonces se convierte en un producto del cuadrado del primo (1+i) y el entero gaussiano invertible -i; decimos que 2 "ramifica". Por ejemplo,

${displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)}$ se divide completamente;

${displaystyle 3}$ es inerte;

${displaystyle 2=-i(1+i)}{2}$ ramifica.

A partir de esta descripción, parece que cuando uno considera números primos cada vez más grandes, la frecuencia de una división de números primos se acerca completamente a 1/2, y lo mismo ocurre con los números primos que siguen siendo primos en Z[yo]. El teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas demuestra que éste es efectivamente el caso. Aunque los números primos aparecen de forma bastante errática, la división de los números primos en la extensión

${displaystyle mathbb {Z} subset mathbb {Z} [i]}$

sigue una ley estadística simple.

Leyes estadísticas similares también se aplican a la división de números primos en las extensiones ciclotómicas, obtenidas del campo de números racionales al unir una raíz primitiva de unidad de un orden dado. Por ejemplo, los números primos enteros ordinarios se agrupan en cuatro clases, cada una con una probabilidad de 1/4, según su patrón de división en el anillo de números enteros correspondientes a las raíces octavas de la unidad. En este caso, la extensión del campo tiene grado 4 y es abeliana, con el grupo de Galois isomorfo al grupo de cuatro de Klein. Resultó que el grupo de Galois de la extensión juega un papel clave en el patrón de división de los números primos. Georg Frobenius estableció el marco para investigar este patrón y demostró un caso especial del teorema. La afirmación general fue demostrada por Nikolai Grigoryevich Chebotaryov en 1922.

Relación con el teorema de Dirichlet

El teorema de densidad de Chebotarev puede verse como una generalización del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas. Una forma cuantitativa del teorema de Dirichlet establece que si N≥2 es un número entero y a es coprimo de N, entonces la proporción de los primos p congruentes con a mod N es asintótica con 1/n, donde n=φ(N) es la función totiente de Euler. Este es un caso especial del teorema de densidad de Chebotarev para el Nésimo campo ciclotómico K. De hecho, el grupo Galois de K/Q es abeliano y puede identificarse canónicamente con el grupo de clases de residuos invertibles mod N. La invariante de división de un primo p que no divide a N es simplemente su clase de residuo porque el número de primos distintos en los que p se divide es φ(< i>N)/m, donde m es el orden multiplicativo de p módulo N; por lo tanto, según el teorema de densidad de Chebotarev, los números primos se distribuyen asintóticamente de manera uniforme entre diferentes residuos clases coprimos a N.

Formulación

En su artículo de encuesta, Lenstra & Stevenhagen (1996) da un resultado anterior de Frobenius en esta área. Supongamos que K es una extensión de Galois del campo de números racionales Q y P(t) un polinomio entero mónico. tal que K es un campo de división de P. Tiene sentido factorizar P módulo un número primo p. Su 'tipo dividido' es la lista de grados de factores irreducibles de P mod p, es decir, P factoriza de alguna manera sobre el campo primo F_p. Si n es el grado de P, entonces el tipo de división es una partición Π de n. Considerando también el grupo de Galois G de K sobre Q, cada g en G es una permutación de las raíces de P en K; en otras palabras, al elegir un ordenamiento de α y sus conjugados algebraicos, G se representa fielmente como un subgrupo del grupo simétrico S_{n. Podemos escribir g mediante su representación de ciclo, lo que da un 'tipo de ciclo' c(g), nuevamente una partición de n.}

El teorema de Frobenius establece que para cualquier elección dada de Π los primos p para los cuales el tipo de división de P mod p es Π tiene una densidad natural δ, siendo δ igual a la proporción de g en G que tienen tipo de ciclo Π.

El enunciado del teorema de Chebotarev más general es en términos del elemento de Frobenius de un primo (ideal), que de hecho es una clase de conjugación asociada C de elementos del grupo Galois G. Si fijamos C entonces el teorema dice que asintóticamente una proporción |C|/|G| de los números primos tienen asociado el elemento de Frobenius como C. Cuando G es abeliano, las clases, por supuesto, tienen tamaño 1. Para el caso de un grupo no abeliano de orden 6, tienen tamaños 1, 2 y 3, y correspondientemente hay (por ejemplo) 50 % de primos p que tienen un elemento de orden 2 como Frobenius. Entonces, estos primos tienen un residuo de grado 2, por lo que se dividen en exactamente tres ideales primos en una extensión de grado 6 de Q con él como grupo de Galois.

Declaración

Sea L una extensión finita de Galois de un campo numérico K con grupo de Galois G. Sea X un subconjunto de G que es estable bajo conjugación. El conjunto de primos v de K que no están ramificados en L y cuya clase de conjugación de Frobenius asociada F _v está contenido en X tiene densidad

${displaystyle {frac {#X} {g}}}$

La afirmación es válida cuando la densidad se refiere ya sea a la densidad natural o a la densidad analítica del conjunto de números primos.

Versión efectiva

La hipótesis de Riemann generalizada implica una versión efectiva del teorema de densidad de Chebotarev: si L/K es una extensión finita de Galois con el grupo de Galois G, y C una unión de clases de conjugación de G, el número de primos no ramificados de K de norma inferior a x > con la clase de conjugación de Frobenius en C es

${displaystyle {frac {fnMicroc {fnK}{fnMicroc {fnh}{f}} {fnMicrosoft}}} {fnK}} {fnMicrosoft}}}}}} {fnK}}}} Bigl (}mathrm {li} (x)+O{bigl (}{sqrt {x}(nlog x+log SilencioDelta){bigr)}{Bigr)}}}}}}$

donde la constante implícita en la notación O grande es absoluta, n es el grado de L sobre Q y Δ su discriminante.

La forma efectiva de la teoría de la densidad de Chebotarev se vuelve mucho más débil sin GRH. Toma. L ser una extensión galois finita de Q con el grupo Galois G y grado d. Toma. ${displaystyle rho }$ para ser una representación irreductible notrivial G grado n, y tomar ${displaystyle {mathfrak}(rho)}$ ser el director de Artin de esta representación. Supongamos que, ${displaystyle rho _{0}$ a subrepresentación de ${displaystyle rho otimes rho }$ o ${displaystyle rho otimes {bar {rho }}$, ${displaystyle L(rho _{0},s)}$ es entera; es decir, la conjetura Artin está satisfecha para todos ${displaystyle rho _{0}$. Toma. ${displaystyle chi _{rho }$ ser el personaje asociado a ${displaystyle rho }$. Entonces hay un positivo absoluto ${displaystyle c}$ tal que, ${displaystyle xgeq 2}$,

${displaystyle sum _{pleq x,pnot mid {mathfrak {f}(rho)}chi _{rho }({text{Fr}_{p})log p=rx+O{biggl (}{frac {beta{betabetad} } {beta {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {f} {f}} {biggr)} {f} {f}(rho)+{sqrt {log x}} {biggr)}(dnlog(x{mathfrak {f} {rho)}{rho)} {f}} {f} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f} {f} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}f} {f} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}f} {f}} {f} {f} {f}f}f}f}f}}}}}f}}}}}}}}}}$

Donde ${displaystyle r}$ 1 si ${displaystyle rho }$ es trivial y es de otro modo 0, y donde ${displaystyle beta }$ es un cero real excepcional ${displaystyle L(rhos)}$; si no hay tal cero, el ${displaystyle x^{beta}/beta }$ el término puede ser ignorado. La constante implícita de esta expresión es absoluta.

Extensiones infinitas

El enunciado del teorema de densidad de Chebotarev se puede generalizar al caso de una extensión de Galois infinita L / K que no está ramificada fuera de un conjunto finito S de primos de K (es decir, si hay un conjunto finito S de primos de K tal que cualquier primo de K que no está en S no está ramificado en la extensión L / K). En este caso, el grupo Galois G de L / K es un grupo profinito equipado con la topología Krull. Dado que G es compacto en esta topología, existe una medida de Haar μ única en G. Para cada primo v de K que no está en S hay una clase de conjugación de Frobenius asociada F_{v< /sub>. El teorema de densidad de Chebotarev en esta situación se puede enunciar de la siguiente manera:}

Vamos. X ser un subconjunto de G que es estable bajo conjugación y cuyo límite tiene la medida de Haar cero. Entonces, el conjunto de primos v de K no en S tales que F_v ⊆ X tiene densidad

${displaystyle {frac {mu (X)}{mu (G)}}}$

Esto se reduce al caso finito cuando L / K es finito (la medida de Haar es entonces solo la medida de conteo).

Una consecuencia de esta versión del teorema es que los elementos de Frobenius de los primos no ramificados de L son densos en G.

Consecuencias importantes

El teorema de densidad de Chebotarev reduce el problema de clasificar extensiones de Galois de un cuerpo numérico al de describir la división de números primos en extensiones. Específicamente, implica que, como extensión de Galois de K, L está determinada únicamente por el conjunto de números primos de K que se dividen completamente en él. Un corolario relacionado es que si casi todos los ideales primos de K se dividen completamente en L, entonces, de hecho, L = K >.