Teorema de correspondencia

En la teoría del grupo, correspondencia (también el Teorema de celo, y de manera diversa y ambigua el tercero y cuarto teorema isomorfismo) declara que si N{displaystyle N} es un subgrupo normal de un grupo G{displaystyle G., entonces existe una bijeción del conjunto de todos los subgrupos A{displaystyle A} de G{displaystyle G. que contiene N{displaystyle N}, en el conjunto de todos los subgrupos del grupo de cociente G/N{displaystyle G/N}. Loosely speaking, the structure of the subgroups of G/N{displaystyle G/N} es exactamente igual a la estructura de los subgrupos de G{displaystyle G. que contiene N{displaystyle N}Con N{displaystyle N} colapsó al elemento de identidad.

Específicamente, si

G es un grupo,

N◃ ◃ G{displaystyle Ntriangleleft G., un subgrupo normal de G,

<math alttext="{displaystyle {mathcal {G}}={Amid Nsubseteq AG={}A▪ ▪ N⊆ ⊆ Ac)G}{displaystyle {mathcal {}={Amid Nsubseteq A won}<img alt="{displaystyle {mathcal {G}}={Amid Nsubseteq A, el conjunto de todos los subgrupos A de G que contienen N, y

<math alttext="{displaystyle {mathcal {N}}={Smid SN={}S▪ ▪ Sc)G/N}{displaystyle {mathcal {N}={Smid S won/N}<img alt="{displaystyle {mathcal {N}}={Smid S, el conjunto de todos los subgrupos de G/N,

entonces hay un mapa bijetivo φ φ :G→ → N{displaystyle phi:{mathcal {G}to { {N}} tales que

φ φ ()A)=A/N{displaystyle phi (A)=A/N} para todos A▪ ▪ G.{displaystyle Ain {mathcal {G}}

Uno más tiene eso si A y B están dentro G{displaystyle {Mathcal {}}} entonces

• A⊆ ⊆ B{displaystyle Asubseteq B} si A/N⊆ ⊆ B/N{displaystyle A/Nsubseteq B/N};
• si A⊆ ⊆ B{displaystyle Asubseteq B} entonces SilencioB:ASilencio=SilencioB/N:A/NSilencio{displaystyle TENBIA:A, donde SilencioB:ASilencio{displaystyle TENIB:A es el índice de A dentro B (el número de cosets bA de A dentro B);
• . . A,B. . /N=.A/N,B/N.,{displaystyle langle A,Brangle /N=leftlangle A/N,B/Nrightrangle} Donde . . A,B. . {displaystyle langle A,Brangle } es el subgrupo de G{displaystyle G. generados por A∪ ∪ B;{displaystyle Acup B;}
• ()A∩ ∩ B)/N=A/N∩ ∩ B/N{displaystyle (Acap B)/N=A/Ncap B/N}, y
• A{displaystyle A} es un subgrupo normal de G{displaystyle G. si A/N{displaystyle A/N} es un subgrupo normal de G/N{displaystyle G/N}.

Esta lista está lejos de ser exhaustiva. De hecho, la mayoría de las propiedades de los subgrupos se conservan en sus imágenes bajo la bijección en subgrupos de un grupo de cocientes.

Más generalmente, hay un monotono Conexión Galois ()fAlternativa Alternativa ,fAlternativa Alternativa ){displaystyle (f^{*},f_{*}} entre la celosía de subgrupos G{displaystyle G. (no necesariamente contiene) N{displaystyle N}) y la celo de subgrupos de G/N{displaystyle G/N}: la unión inferior de un subgrupo H{displaystyle H. de G{displaystyle G. es dado por fAlternativa Alternativa ()H)=HN/N{displaystyle f^{*}(H)=HN/N} y la unión superior de un subgrupo K/N{displaystyle K/N} de G/N{displaystyle G/N} es dado por fAlternativa Alternativa ()K/N)=K{displaystyle F_{*}(K/N)=K}. El operador de cierre asociado en subgrupos de G{displaystyle G. es H̄ ̄ =HN{displaystyle {bar}=HN}; el operador del núcleo asociado en subgrupos de G/N{displaystyle G/N} es la identidad. Aquí se puede encontrar una prueba del teorema de correspondencia.

Se aplican resultados similares para anillos, módulos, espacios vectoriales y álgebras. De manera más general, un resultado análogo que se refiere a relaciones de congruencia en lugar de subgrupos normales es válido para cualquier estructura algebraica.