Teorema de convolución

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Teorema en matemáticas

En matemáticas, el teorema de la convolución establece que, en condiciones adecuadas, la transformada de Fourier de una convolución de dos funciones (o señales) es el producto puntual de sus transformadas de Fourier. De manera más general, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo) es igual a la multiplicación puntual en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia). Otras versiones del teorema de convolución son aplicables a varias transformadas relacionadas con Fourier.

Funciones de variable continua

Considerar dos funciones $g(x)$ y $h(x)$ con Fourier transformados $G$ y $H$ :

{displaystyle {begin{aligned}G(f)&triangleq {mathcal {F}}{g}(f)=int _{-infty }^{infty }g(x)e^{-i2pi fx},dx,quad fin mathbb {R} \H(f)&triangleq {mathcal {F}}{h}(f)=int _{-infty }^{infty }h(x)e^{-i2pi fx},dx,quad fin mathbb {R} end{aligned}}}

{mathcal {F}}

Operador de transformación Fourier

2pi

{sqrt {2pi }}

g

h

{displaystyle r(x)={g*h}(x)triangleq int _{-infty }^{infty }g(tau)h(x-tau),dtau =int _{-infty }^{infty }g(x-tau)h(tau),dtau.}

En este contexto el asterisco denota la convolución, en lugar de la multiplicación estándar. El símbolo del producto tensor $otimes$ a veces se utiliza en su lugar.

El teorema de convolución establece que:

{displaystyle R(f)triangleq {mathcal {F}}{r}(f)=G(f)H(f).quad fin mathbb {R} }

()Eq.1a)

Aplicando la inversa transformación Fourier ${mathcal {F}}^{-1}$ , produce el corolario:

Convolution theorem

{displaystyle r(x)={g*h}(x)={mathcal {F}}^{-1}{Gcdot H},}

()Eq.1b)

Donde $cdot$ denota la multiplicación de puntos

El teorema también se aplica generalmente a funciones multidimensionales.

Derivación multidimensional de Eq.1

Considerar funciones ${displaystyle g,h}$ en Lp-space ${displaystyle L^{1}(mathbb {R} ^{n})}$ , con Fourier transformados $G,H$ :

{displaystyle {begin{aligned}G(f)&triangleq {mathcal {F}}{g}(f)=int _{mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-i2pi fcdot x},dx,quad fin mathbb {R} ^{n}\H(f)&triangleq {mathcal {F}}{h}(f)=int _{mathbb {R} ^{n}}h(x)e^{-i2pi fcdot x},dx,end{aligned}}}

Donde

{displaystyle fcdot x}

indica el producto interno de

mathbb {R} ^{n}

{displaystyle fcdot x=sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j},}

{displaystyle dx=prod _{j=1}^{n}dx_{j}.}

La revolución $g$ y $h$ se define por:

{displaystyle r(x)triangleq int _{mathbb {R} ^{n}}g(tau)h(x-tau),dtau.}

También:

{displaystyle iint |g(tau)h(x-tau)|,dx,dtau =int left(|g(tau)|int |h(x-tau)|,dxright),dtau =int |g(tau)|,|h|_{1},dtau =|g|_{1}|h|_{1}.}

Por lo tanto, por el teorema de Fubini tenemos que ${displaystyle rin L^{1}(mathbb {R} ^{n})}$ así que su transformación Fourier $R$ se define por la fórmula integral:

{displaystyle {begin{aligned}R(f)triangleq {mathcal {F}}{r}(f)&=int _{mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2pi fcdot x},dx\&=int _{mathbb {R} ^{n}}left(int _{mathbb {R} ^{n}}g(tau)h(x-tau),dtau right),e^{-i2pi fcdot x},dx.end{aligned}}}

Note que ${displaystyle |g(tau)h(x-tau)e^{-i2pi fcdot x}|=|g(tau)h(x-tau)|}$ y por lo tanto, por el argumento anterior podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini (es decir, intercambiar el orden de integración):

{displaystyle {begin{aligned}R(f)&=int _{mathbb {R} ^{n}}g(tau)underbrace {left(int _{mathbb {R} ^{n}}h(x-tau) e^{-i2pi fcdot x},dxright)} _{H(f) e^{-i2pi fcdot tau }},dtau \&=underbrace {left(int _{mathbb {R} ^{n}}g(tau) e^{-i2pi fcdot tau },dtau right)} _{G(f)} H(f).end{aligned}}}

Este teorema también es válido para la transformada de Laplace, la transformada bilateral de Laplace y, cuando se modifica adecuadamente, para la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (consulte el teorema de inversión de Mellin). Puede extenderse a la transformada de Fourier del análisis armónico abstracto definido sobre grupos abelianos localmente compactos.

Convolución periódica (coeficientes de la serie de Fourier)

Considerar $P$ - Funciones experimentales ${displaystyle g_{_{P}}}$ y ${displaystyle h_{_{P}},}$ que puede expresarse como sumas periódicas:

{displaystyle g_{_{P}}(x) triangleq sum _{m=-infty }^{infty }g(x-mP)}

{displaystyle h_{_{P}}(x) triangleq sum _{m=-infty }^{infty }h(x-mP).}

En la práctica la parte no cero de los componentes $g$ y $h$ a menudo se limitan a la duración $P,$ pero nada en el teorema requiere eso. Los coeficientes de la serie Fourier son:

{displaystyle {begin{aligned}G[k]&triangleq {mathcal {F}}{g_{_{P}}}[k]={frac {1}{P}}int _{P}g_{_{P}}(x)e^{-i2pi kx/P},dx,quad kin mathbb {Z};quad quad scriptstyle {text{integration over any interval of length }}P\H[k]&triangleq {mathcal {F}}{h_{_{P}}}[k]={frac {1}{P}}int _{P}h_{_{P}}(x)e^{-i2pi kx/P},dx,quad kin mathbb {Z} end{aligned}}}

{mathcal {F}}

Serie Fourier integral

El producto de punta: ${displaystyle g_{_{P}}(x)cdot h_{_{P}}(x)}$ también $P$ -peródico, y sus coeficientes de serie Fourier son dados por la discreta evolución de la $G$ y $H$ secuencias: ${displaystyle {mathcal {F}}{g_{_{P}}cdot h_{_{P}}}[k]={G*H}[k].}$
La revolución: ${displaystyle {begin{aligned}{g_{_{P}}*h}(x) &triangleq int _{-infty }^{infty }g_{_{P}}(x-tau)cdot h(tau) dtau \&equiv int _{P}g_{_{P}}(x-tau)cdot h_{_{P}}(tau) dtau;quad quad scriptstyle {text{integration over any interval of length }}Pend{aligned}}}$ también $P$ -peródico, y se llama un periodic convolution. El teorema de convolución correspondiente es:

{displaystyle {mathcal {F}}{g_{_{P}}*h}[k]= Pcdot G[k] H[k].}

()Eq.2)

Derivación de Eq.2

{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {F}}{g_{_{P}}*h}[k]&triangleq {frac {1}{P}}int _{P}left(int _{P}g_{_{P}}(tau)cdot h_{_{P}}(x-tau) dtau right)e^{-i2pi kx/P},dx\&=int _{P}g_{_{P}}(tau)left({frac {1}{P}}int _{P}h_{_{P}}(x-tau) e^{-i2pi kx/P}dxright),dtau \&=int _{P}g_{_{P}}(tau) e^{-i2pi ktau /P}underbrace {left({frac {1}{P}}int _{P}h_{_{P}}(x-tau) e^{-i2pi k(x-tau)/P}dxright)} _{H[k],quad {text{due to periodicity}}},dtau \&=underbrace {left(int _{P} g_{_{P}}(tau) e^{-i2pi ktau /P}dtau right)} _{Pcdot G[k]} H[k].end{aligned}}}

Funciones de variable discreta (sucesiones)

Por una derivación similar a Eq.1, hay un teorema análogo para secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora ${mathcal {F}}$ denota los tiempo discreto Fourier transform Operador. Considere dos secuencias $g[n]$ y $h[n]$ con transformaciones $G$ y $H$ :

{displaystyle {begin{aligned}G(f)&triangleq {mathcal {F}}{g}(f)=sum _{n=-infty }^{infty }g[n]cdot e^{-i2pi fn};,quad fin mathbb {R} \H(f)&triangleq {mathcal {F}}{h}(f)=sum _{n=-infty }^{infty }h[n]cdot e^{-i2pi fn};.quad fin mathbb {R} end{aligned}}}

The § Discrete convolution of $g$ y $h$ se define por:

{displaystyle r[n]triangleq (g*h)[n]=sum _{m=-infty }^{infty }g[m]cdot h[n-m]=sum _{m=-infty }^{infty }g[n-m]cdot h[m].}

El teorema de convolución para sucesiones discretas es:

{displaystyle R(f)={mathcal {F}}{g*h}(f)= G(f)H(f).}

()Eq.3)

Convolución periódica

$G(f)$ y ${displaystyle H(f),}$ como se define anteriormente, son periódicos, con un período de 1. Considerar $N$ - secuencias experimentales ${displaystyle g_{_{N}}}$ y ${displaystyle h_{_{N}}}$ :

{displaystyle g_{_{N}}[n] triangleq sum _{m=-infty }^{infty }g[n-mN]}

{displaystyle h_{_{N}}[n] triangleq sum _{m=-infty }^{infty }h[n-mN],quad nin mathbb {Z}.}

Estas funciones ocurren como resultado del muestreo $G$ y $H$ a intervalos de $1/N$ y realizar un inverso discreta Transformación de Fourier (DFT) on $N$ muestras (ver § Sellling the DTFT). La convolución discreta:

{displaystyle {g_{_{N}}*h}[n] triangleq sum _{m=-infty }^{infty }g_{_{N}}[m]cdot h[n-m]equiv sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]cdot h_{_{N}}[n-m]}

también $N$ -peródico, y se llama un periodic convolution. Redefinir el ${mathcal {F}}$ operador como el $N$ - longitud DFT, el teorema correspondiente es:

{displaystyle {mathcal {F}}{g_{_{N}}*h}[k]= underbrace {{mathcal {F}}{g_{_{N}}}[k]} _{G(k/N)}cdot underbrace {{mathcal {F}}{h_{_{N}}}[k]} _{H(k/N)},quad kin mathbb {Z}.}

()Eq.4a)

Y por lo tanto:

{displaystyle {g_{_{N}}*h}[n]= {mathcal {F}}^{-1}{{mathcal {F}}{g_{_{N}}}cdot {mathcal {F}}{h_{_{N}}}}.}

()Eq.4b)

En las condiciones adecuadas, es posible que esta secuencia de N-length contenga un segmento libre de distorsiones de un ${displaystyle g*h}$ Convolution. Pero cuando la porción no cero de la $g(n)$ o $h(n)$ secuencia es igual o superior a $N,$ alguna distorsión es inevitable. Tal es el caso cuando el ${displaystyle H(k/N)}$ secuencia se obtiene mediante el muestreo directo del DTFT de la respuesta de impulso infinitamente larga § Discreta Hilbert transforma.

Para $g$ y $h$ secuencias cuya duración no cero es inferior o igual a $N,$ una simplificación final es:

Circular convolution

{displaystyle {g_{_{N}}*h}[n]= {mathcal {F}}^{-1}{{mathcal {F}}{g}cdot {mathcal {F}}{h}}.}

()Eq.4c)

Este formulario se usa a menudo para implementar eficientemente la convolución numérica por computadora. (ver § Algoritmos de convolución rápida y § Ejemplo)

Como un recíproco parcial, se ha demostrado que cualquier transformación lineal que convierta la convolución en un producto puntual es la DFT (hasta una permutación de coeficientes).

Derivations of Eq.4

A time-domain derivation proceeds as follows:

{displaystyle {begin{aligned}{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}*h}[k]&triangleq sum _{n=0}^{N-1}left(sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]cdot h_{_{N}}[n-m]right)e^{-i2pi kn/N}\&=sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]left(sum _{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[n-m]cdot e^{-i2pi kn/N}right)\&=sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]cdot e^{-i2pi km/N}underbrace {left(sum _{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[n-m]cdot e^{-i2pi k(n-m)/N}right)} _{{scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]quad scriptstyle {text{due to periodicity}}}\&=underbrace {left(sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]cdot e^{-i2pi km/N}right)} _{{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]}left({scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]right).end{aligned}}}

A frequency-domain derivation follows from § Periodic data, which indicates that the DTFTs can be written as:

{displaystyle {mathcal {F}}{g_{_{N}}*h}(f)={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}*h}[k]right)cdot delta left(f-k/Nright).}

(5a)

{displaystyle {mathcal {F}}{g_{_{N}}}(f)={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot delta left(f-k/Nright).}

The product with $H(f)$ is thereby reduced to a discrete-frequency function:

{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {F}}{g_{_{N}}*h}(f)&=G_{_{N}}(f)H(f)\&={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot H(f)cdot delta left(f-k/Nright)\&={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot H(k/N)cdot delta left(f-k/Nright)\&={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot left({scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]right)cdot delta left(f-k/Nright),quad scriptstyle {mathsf {(Eq.5b)}}end{aligned}}}

where the equivalence of

{displaystyle H(k/N)}

and

{displaystyle left({scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]right)}

follows from § Sampling the DTFT. Therefore, the equivalence of (5a) and (5b) requires:

{displaystyle {scriptstyle {rm {DFT}}}{{g_{_{N}}*h}[k]}=left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot left({scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]right).}

We can also verify the inverse DTFT of (5b):

{displaystyle {begin{aligned}(g_{_{N}}*h)[n]&=int _{0}^{1}left({frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]cdot {scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]cdot delta left(f-k/Nright)right)cdot e^{i2pi fn}df\&={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]cdot {scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]cdot underbrace {left(int _{0}^{1}delta left(f-k/Nright)cdot e^{i2pi fn}dfright)} _{{text{0, for}} k notin [0, N)}\&={frac {1}{N}}sum _{k=0}^{N-1}{bigg (}{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]cdot {scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]{bigg)}cdot e^{i2pi {frac {n}{N}}k}\&= {scriptstyle {rm {DFT}}^{-1}}{bigg (}{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}cdot {scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}{bigg)}.end{aligned}}}

Teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier

También existe un teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier:

{displaystyle {mathcal {F}}{g*h}={mathcal {F}}{g}cdot {mathcal {F}}{h}}

{displaystyle {mathcal {F}}{gcdot h}={mathcal {F}}{g}*{mathcal {F}}{h}}

{displaystyle g*h={mathcal {F}}^{-1}left{{mathcal {F}}{g}cdot {mathcal {F}}{h}right}}

{displaystyle gcdot h={mathcal {F}}^{-1}left{{mathcal {F}}{g}*{mathcal {F}}{h}right}}

Teorema de convolución para distribuciones temperadas

El teorema convolutivo se extiende a distribuciones templadas. Aquí, $g$ es una distribución templada arbitraria (por ejemplo, el peine Dirac)

{displaystyle {mathcal {F}}{f*g}={mathcal {F}}{f}cdot {mathcal {F}}{g}}

{displaystyle {mathcal {F}}{alpha cdot g}={mathcal {F}}{alpha }*{mathcal {F}}{g}}

{displaystyle f=F{alpha }}

-infty

+infty

{displaystyle alpha =F^{-1}{f}}

En particular, cada distribución templada compactamente apoyada, como el Delta Dirac, está "disminuyendo rápidamente". Funciones equivalentemente limitadas, como la función que es constantemente $1$ son suaves funciones ordinarias "de crecimiento lento". Si, por ejemplo, ${displaystyle gequiv operatorname {text{Ш}} }$ es el peine Dirac ambas ecuaciones producen la fórmula de summación Poisson y si, además, ${displaystyle fequiv delta }$ es el Dirac delta entonces ${displaystyle alpha equiv 1}$ es constantemente uno y estas ecuaciones producen la identidad de Dirac comb.

Recursos adicionales

Para obtener una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales, consulte:

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