Teorema de convolución

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Teorema en matemáticas

En matemáticas, el teorema de la convolución establece que, en condiciones adecuadas, la transformada de Fourier de una convolución de dos funciones (o señales) es el producto puntual de sus transformadas de Fourier. De manera más general, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo) es igual a la multiplicación puntual en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia). Otras versiones del teorema de convolución son aplicables a varias transformadas relacionadas con Fourier.

Funciones de variable continua

Considerar dos funciones g()x){displaystyle g(x)} y h()x){displaystyle h(x)} con Fourier transformados G{displaystyle G. y H{displaystyle H.:

G()f)≜ ≜ F{}g}()f)=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g()x)e− − i2π π fxdx,f▪ ▪ RH()f)≜ ≜ F{}h}()f)=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO h()x)e− − i2π π fxdx,f▪ ▪ R{displaystyle {begin{aligned}G(f) sensibletriangleq {mathcal {\{g}(f)=int _{-infty }{infty }g(x)e^{-i2pi fx},dx,quad fin mathbb {R}f)=int _{infty }h(x)e^{-i2pi fx},dx,quad fin mathbby {R} end{aligned}}
F{displaystyle {fnMithcal}}Operador de transformación Fourier2π π {displaystyle 2pi}2π π {displaystyle {sqrt {2pi}}}g{displaystyle g}h{displaystyle h}
r()x)={}gAlternativa Alternativa h}()x)≜ ≜ ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g()τ τ )h()x− − τ τ )dτ τ =∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g()x− − τ τ )h()τ τ )dτ τ .{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {nMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft.

En este contexto el asterisco denota la convolución, en lugar de la multiplicación estándar. El símbolo del producto tensor ⊗ ⊗ {displaystyle otimes } a veces se utiliza en su lugar.

El teorema de convolución establece que:

R()f)≜ ≜ F{}r}()f)=G()f)H()f).f▪ ▪ R{displaystyle R(f)triangleq {mathcal {F}{r}(f)=G(f)H(f).quad fin mathbb {R}

()Eq.1a)

Aplicando la inversa transformación Fourier F− − 1{displaystyle {fnMithcal} {fnK}} {fnMicrosoft} {fn}} {f}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}}}}, produce el corolario:

Convolution theorem
r()x)={}gAlternativa Alternativa h}()x)=F− − 1{}G⋅ ⋅ H},[displaystyle r(x)=g*h}(x)={mathcal {F}^{-1}{ Gcdot H},}

()Eq.1b)

Donde ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } denota la multiplicación de puntos

El teorema también se aplica generalmente a funciones multidimensionales.

Derivación multidimensional de Eq.1

Considerar funciones g,h{displaystyle g,h} en Lp-space L1()Rn){displaystyle L^{1}(mathbb {R} }, con Fourier transformados G,H{displaystyle G,H}:

G()f)≜ ≜ F{}g}()f)=∫ ∫ Rng()x)e− − i2π π f⋅ ⋅ xdx,f▪ ▪ RnH()f)≜ ≜ F{}h}()f)=∫ ∫ Rnh()x)e− − i2π π f⋅ ⋅ xdx,{fnMicrosoft Sans Serif}
Donde f⋅ ⋅ x{displaystyle fcdot x} indica el producto interno de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}: f⋅ ⋅ x=.. j=1nfjxj,{displaystyle fcdot x=sum _{j=1}{n}_{j}x_{j}} y dx=∏ ∏ j=1ndxj.{displaystyle dx=prod ¿Qué?

La revolución g{displaystyle g} y h{displaystyle h} se define por:

r()x)≜ ≜ ∫ ∫ Rng()τ τ )h()x− − τ τ )dτ τ .{displaystyle r(x)triangleq int _{mathbb {R}g(tau)h(x-tau),dtau.}

También:

∫ ∫ Silenciog()τ τ )h()x− − τ τ )Silenciodxdτ τ =∫ ∫ ()Silenciog()τ τ )Silencio∫ ∫ Silencioh()x− − τ τ )Silenciodx)dτ τ =∫ ∫ Silenciog()τ τ )Silencio.. h.. 1dτ τ =.. g.. 1.. h.. 1.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Por lo tanto, por el teorema de Fubini tenemos que r▪ ▪ L1()Rn){displaystyle rin L^{1}(mathbb {R} {n})} así que su transformación Fourier R{displaystyle R. se define por la fórmula integral:

R()f)≜ ≜ F{}r}()f)=∫ ∫ Rnr()x)e− − i2π π f⋅ ⋅ xdx=∫ ∫ Rn()∫ ∫ Rng()τ τ )h()x− − τ τ )dτ τ )e− − i2π π f⋅ ⋅ xdx.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Note que Silenciog()τ τ )h()x− − τ τ )e− − i2π π f⋅ ⋅ xSilencio=Silenciog()τ τ )h()x− − τ τ )Silencio{displaystyle Silenciog(tau)h(x-tau)e^{-i2pi fcdot x}Principalmente= sobrevivir(tau)h(x-tau) y por lo tanto, por el argumento anterior podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini (es decir, intercambiar el orden de integración):

R()f)=∫ ∫ Rng()τ τ )()∫ ∫ Rnh()x− − τ τ )e− − i2π π f⋅ ⋅ xdx)⏟ ⏟ H()f)e− − i2π π f⋅ ⋅ τ τ dτ τ =()∫ ∫ Rng()τ τ )e− − i2π π f⋅ ⋅ τ τ dτ τ )⏟ ⏟ G()f)H()f).{fnMicrosoft Sans Serif} H(f)end{aligned}}

Este teorema también es válido para la transformada de Laplace, la transformada bilateral de Laplace y, cuando se modifica adecuadamente, para la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (consulte el teorema de inversión de Mellin). Puede extenderse a la transformada de Fourier del análisis armónico abstracto definido sobre grupos abelianos localmente compactos.

Convolución periódica (coeficientes de la serie de Fourier)

Considerar P{displaystyle P}- Funciones experimentales gP{displaystyle G_{_{P}} y hP,{displaystyle ¿Qué? que puede expresarse como sumas periódicas:

gP()x)≜ ≜ .. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g()x− − mP){displaystyle g_{_{P}(x)\triangleq sum _{m=-infty }{infty }g(x-mP)}
hP()x)≜ ≜ .. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO h()x− − mP).{displaystyle h_{_{_}(x)\triangleq sum _{m=-infty } {infty }h(x-mP).}

En la práctica la parte no cero de los componentes g{displaystyle g} y h{displaystyle h} a menudo se limitan a la duración P,{displaystyle P,} pero nada en el teorema requiere eso. Los coeficientes de la serie Fourier son:

G[k]≜ ≜ F{}gP}[k]=1P∫ ∫ PgP()x)e− − i2π π kx/Pdx,k▪ ▪ Z;integración en cualquier intervalo de longitudPH[k]≜ ≜ F{}hP}[k]=1P∫ ∫ PhP()x)e− − i2π π kx/Pdx,k▪ ▪ Z{displaystyle {begin{aligned}G[k] {F}g_{_} {K}={frac} {1}{P}int} _{P}g_{_}(x)e^{-i2pi kx/P},dx,quad kin mathbb {Z};quad quad scriptstyle {text{integration over any interval of length }P\H[k] {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {f} {fnK}}} {f}} {fnK}} {fnK}}} {f}} {f}} {f}}}f}}}} {f} {f}f}}}}}f}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}\f}f}f}f}\f}f}f}f}f} {f}f} {f}f}f} {f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn {1}{P}int} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Z} end{aligned}}
F{displaystyle {fnMithcal}}Serie Fourier integral

  • El producto de punta: gP()x)⋅ ⋅ hP()x){displaystyle g_{_{P}(x)cdot h_{_{P}(x)} también P{displaystyle P}-peródico, y sus coeficientes de serie Fourier son dados por la discreta evolución de la G{displaystyle G. y H{displaystyle H. secuencias:
    F{}gP⋅ ⋅ hP}[k]={}GAlternativa Alternativa H}[k].{fnK}cdot ¿Qué?
  • La revolución:
    {}gPAlternativa Alternativa h}()x)≜ ≜ ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO gP()x− − τ τ )⋅ ⋅ h()τ τ )dτ τ ↑ ↑ ∫ ∫ PgP()x− − τ τ )⋅ ⋅ hP()τ τ )dτ τ ;integración en cualquier intervalo de longitudP{displaystyle {begin{aligned}{g_{_{_}*h}(x) "triangleq int _{-infty }{infty }g_{_{_{_}(x-tau)cdot h(tau) dtau \ ################################################################################################################################################################################################################################################################
    también P{displaystyle P}-peródico, y se llama un periodic convolution. El teorema de convolución correspondiente es:
F{}gPAlternativa Alternativa h}[k]=P⋅ ⋅ G[k]H[k].{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicrosoft} {f}}} {fnMicrosoft} {f}}f}}}}}}}}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnh}f}f}fnKf}}f}}}f}fn Pcdot G[k] H[k].

()Eq.2)

Derivación de Eq.2

F{}gPAlternativa Alternativa h}[k]≜ ≜ 1P∫ ∫ P()∫ ∫ PgP()τ τ )⋅ ⋅ hP()x− − τ τ )dτ τ )e− − i2π π kx/Pdx=∫ ∫ PgP()τ τ )()1P∫ ∫ PhP()x− − τ τ )e− − i2π π kx/Pdx)dτ τ =∫ ∫ PgP()τ τ )e− − i2π π kτ τ /P()1P∫ ∫ PhP()x− − τ τ )e− − i2π π k()x− − τ τ )/Pdx)⏟ ⏟ H[k],debido a la periodicidaddτ τ =()∫ ∫ PgP()τ τ )e− − i2π π kτ τ /Pdτ τ )⏟ ⏟ P⋅ ⋅ G[k]H[k].{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {F}g_{_}*h}[k] {fnMicroc {1} {fnMicroc} {fnK}} {fnK}} {fnMicroc}} {fn}} {fn}}fnK}}}fnK} {fn}}f}fn}f}fnKfnK}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn}f}f}f}f}fn}f}f}f}fn}fn}fn}fn}fn}f}f}f}f}fn} ¿Por qué? ¿Qué? h_{_{P}(x-tau) dtau right)e^{-i2pi kx/P},dx\ ¿Por qué? {1}{P}int} ¿Por qué? ¿Qué? e^{-i2pi ktau /P}underbrace {left({frac {1}{P}int} ¿Por qué? ¿Por qué? _{Pcdot G[k] H[k].

Funciones de variable discreta (sucesiones)

Por una derivación similar a Eq.1, hay un teorema análogo para secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora F{displaystyle {fnMithcal}} denota los tiempo discreto Fourier transform Operador. Considere dos secuencias g[n]{displaystyle g[n]} y h[n]{displaystyle h[n]} con transformaciones G{displaystyle G. y H{displaystyle H.:

G()f)≜ ≜ F{}g}()f)=.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g[n]⋅ ⋅ e− − i2π π fn,f▪ ▪ RH()f)≜ ≜ F{}h}()f)=.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO h[n]⋅ ⋅ e− − i2π π fn.f▪ ▪ R{displaystyle {begin{aligned}G(f) sensibletriangleq {mathcal {{g}(f)=sum _{n=-infty }{infty }g[n]cdot e^{-i2pi fn};,quad fin mathbb {R}f)=sum _{n=-infty }h [n]cdot e^{-i2pi fn}fn=infty }infty }h[n]cdot e^{-i2pi fn};.quad fin mathbb {R} end{aligned}}

The § Discrete convolution of g{displaystyle g} y h{displaystyle h} se define por:

r[n]≜ ≜ ()gAlternativa Alternativa h)[n]=.. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g[m]⋅ ⋅ h[n− − m]=.. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g[n− − m]⋅ ⋅ h[m].{displaystyle r[n]triangleq (g*h)[n]=sum _{m=-infty }^{infty }g[m]cdot h[n-m]=sum - ¿Qué?

El teorema de convolución para sucesiones discretas es:

R()f)=F{}gAlternativa Alternativa h}()f)=G()f)H()f).{displaystyle R(f)={mathcal {F}g*h}(f)= G(f)H(f). }

()Eq.3)

Convolución periódica

G()f){displaystyle G(f)} y H()f),{displaystyle H(f),} como se define anteriormente, son periódicos, con un período de 1. Considerar N{displaystyle N}- secuencias experimentales gN{displaystyle G_{_{N}} y hN{displaystyle ¿Qué?:

gN[n]≜ ≜ .. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g[n− − mN]{displaystyle G_{_{N}[n] triangleq sum _{m=-infty }{infty }g[n-mN]}
hN[n]≜ ≜ .. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO h[n− − mN],n▪ ▪ Z.{displaystyle h_{_{N} {n]triangleq sum _{m=-infty }{infty }h[n-mN],quad nin mathbb {Z}

Estas funciones ocurren como resultado del muestreo G{displaystyle G. y H{displaystyle H. a intervalos de 1/N{displaystyle 1/N} y realizar un inverso discreta Transformación de Fourier (DFT) on N{displaystyle N} muestras (ver § Sellling the DTFT). La convolución discreta:

{}gNAlternativa Alternativa h}[n]≜ ≜ .. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO gN[m]⋅ ⋅ h[n− − m]↑ ↑ .. m=0N− − 1gN[m]⋅ ⋅ hN[n− − m]{displaystyle [n] triánguloq sum - No. [m]cdot h[n-m]equiv sum ¿Qué? [n-m]

también N{displaystyle N}-peródico, y se llama un periodic convolution. Redefinir el F{displaystyle {fnMithcal}} operador como el N{displaystyle N}- longitud DFT, el teorema correspondiente es:

F{}gNAlternativa Alternativa h}[k]=F{}gN}[k]⏟ ⏟ G()k/N)⋅ ⋅ F{}hN}[k]⏟ ⏟ H()k/N),k▪ ▪ Z.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnh} {fnh} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn}} {fn0}}} {fnh} {fn}}fnMicrosoft}}}fnh} {fnMicrosoft}} {f}f}}}}}}}}}}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnh}fnh}}fnh}f}fnh}fnh}fnh}f}fnh}fnh}f}fnh}fnh}fnhfnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}}fnh} underbrace {{Mathcal {F}g_{_{N}} {k}} {}} {}} {g}} {g}}} {cH}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}}}} {cH}}} {cH}}} {c}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {g}}}}}}}}}}}} {g_}}}}}}}}}}}}}}}} {g_}}}}}}}}}}}}}}}} {g_} {g_}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {g_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {fnMicrosoft Sans Serif}cdot underbrace {\fnMitcal {F} {fn} {fnK}}} {fnK}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {f}}}} {fn}}}} {fn}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { { { { { { {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ¿Por qué? {Z}

()Eq.4a)

Y por lo tanto:

{}gNAlternativa Alternativa h}[n]=F− − 1{}F{}gN}⋅ ⋅ F{}hN}}.{displaystyle [n]= {fnMitcal {fnh} {fnMitcal} {fnMitcal} {fnh} {f}} {fnMitcal}} {fnh}} {fnh}} {fnHFF} {f}}}\\\fnMitHFF}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fnMitH\fnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnMitcal}fnhnhnhnMitHfnhnh}fnhnhnhnhnhnhnhnh}f}f}fnhnhnh}}fn {F}cdot {fnMitcal {fn}}\fnMicrosoft Sans Serif}

()Eq.4b)

En las condiciones adecuadas, es posible que esta secuencia de N-length contenga un segmento libre de distorsiones de un gAlternativa Alternativa h{displaystyle g*h} Convolution. Pero cuando la porción no cero de la g()n){displaystyle g(n)} o h()n){displaystyle h(n)} secuencia es igual o superior a N,{displaystyle N,} alguna distorsión es inevitable. Tal es el caso cuando el H()k/N){displaystyle H(k/N)} secuencia se obtiene mediante el muestreo directo del DTFT de la respuesta de impulso infinitamente larga § Discreta Hilbert transforma.

Para g{displaystyle g} y h{displaystyle h} secuencias cuya duración no cero es inferior o igual a N,{displaystyle N,} una simplificación final es:

Circular convolution
{}gNAlternativa Alternativa h}[n]=F− − 1{}F{}g}⋅ ⋅ F{}h}}.{displaystyle [n]= {fnMitcal {fnh} {fnMitcal} {fnMitcal} {fnh} {f}} {fnMitcal}} {fnh}} {fnh}} {fnHFF} {f}}}\\\fnMitHFF}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fnMitH\fnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnMitcal}fnhnhnhnMitHfnhnh}fnhnhnhnhnhnhnhnh}f}f}fnhnhnh}}fn {F}g}cdot {fnMitcal {f}\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

()Eq.4c)

Este formulario se usa a menudo para implementar eficientemente la convolución numérica por computadora. (ver § Algoritmos de convolución rápida y § Ejemplo)

Como un recíproco parcial, se ha demostrado que cualquier transformación lineal que convierta la convolución en un producto puntual es la DFT (hasta una permutación de coeficientes).

Derivations of Eq.4

A time-domain derivation proceeds as follows:

D F T { g N ∗ h } [ k ] ≜ n = 0 N − 1 ( ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ⋅ h N [ n − m ] ) e − i 2 π k n / N = ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ( ∑ n = 0 N − 1 h N [ n − m ] ⋅ e − i 2 π k n / N ) = ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ⋅ e − i 2 π k m / N ( ∑ n = 0 N − 1 h N [ n − m ] ⋅ e − i 2 π k ( n − m ) / N ) ⏟ D F T { h N } [ k ] due to periodicity = ( ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ⋅ e − i 2 π k m / N ) ⏟ D F T { g N } [ k ] ( D F T { h N } [ k ] ) . {displaystyle {begin{aligned}{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}*h}[k]&triangleq sum _{n=0}^{N-1}left(sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]cdot h_{_{N}}[n-m]right)e^{-i2pi kn/N}\&=sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]left(sum _{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[n-m]cdot e^{-i2pi kn/N}right)\&=sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]cdot e^{-i2pi km/N}underbrace {left(sum _{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[n-m]cdot e^{-i2pi k(n-m)/N}right)} _{{scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]quad scriptstyle {text{due to periodicity}}}\&=underbrace {left(sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]cdot e^{-i2pi km/N}right)} _{{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]}left({scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]right).end{aligned}}}

A frequency-domain derivation follows from § Periodic data, which indicates that the DTFTs can be written as:

F { g N ∗ h } ( f ) = 1 N ∑ k = − ( D F T { g N ∗ h } [ k ] ) ⋅ δ ( f − k / N ) . {displaystyle {mathcal {F}}{g_{_{N}}*h}(f)={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}*h}[k]right)cdot delta left(f-k/Nright).}

(5a)

F { g N } ( f ) = 1 N ∑ k = − ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ δ ( f − k / N ) . {displaystyle {mathcal {F}}{g_{_{N}}}(f)={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot delta left(f-k/Nright).}

The product with H ( f ) {displaystyle H(f)} is thereby reduced to a discrete-frequency function:

F { g N ∗ h } ( f ) = G N ( f ) H ( f ) = 1 N ∑ k = − ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ H ( f ) ⋅ δ ( f − k / N ) = 1 N ∑ k = − ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ H ( k / N ) ⋅ δ ( f − k / N ) = 1 N ∑ k = − ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ ( D F T { h N } [ k ] ) ⋅ δ ( f − k / N ) , ( E q .5 b ) {displaystyle {begin{aligned}{mathcal {F}}{g_{_{N}}*h}(f)&=G_{_{N}}(f)H(f)\&={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot H(f)cdot delta left(f-k/Nright)\&={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot H(k/N)cdot delta left(f-k/Nright)\&={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot left({scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]right)cdot delta left(f-k/Nright),quad scriptstyle {mathsf {(Eq.5b)}}end{aligned}}}
where the equivalence of H ( k / N ) {displaystyle H(k/N)} and ( D F T { h N } [ k ] ) {displaystyle left({scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]right)} follows from § Sampling the DTFT. Therefore, the equivalence of (5a) and (5b) requires:

D F T { g N ∗ h } [ k ] = ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ ( D F T { h N } [ k ] ) . {displaystyle {scriptstyle {rm {DFT}}}{{g_{_{N}}*h}[k]}=left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]right)cdot left({scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]right).}


We can also verify the inverse DTFT of (5b):

( g N ∗ h ) [ n ] = ∫ 0 1 ( 1 N ∑ k = − D F T { g N } [ k ] ⋅ D F T { h N } [ k ] ⋅ δ ( f − k / N ) ) ⋅ e i 2 π f n d f = 1 N ∑ k = − D F T { g N } [ k ] ⋅ D F T { h N } [ k ] ⋅ ( ∫ 0 1 δ ( f − k / N ) ⋅ e i 2 π f n d f ) ⏟ 0, for k ∉ [ 0 , N ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 ( D F T { g N } [ k ] ⋅ D F T { h N } [ k ] ) ⋅ e i 2 π n N k = D F T − 1 ( D F T { g N } ⋅ D F T { h N } ) . {displaystyle {begin{aligned}(g_{_{N}}*h)[n]&=int _{0}^{1}left({frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]cdot {scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]cdot delta left(f-k/Nright)right)cdot e^{i2pi fn}df\&={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]cdot {scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]cdot underbrace {left(int _{0}^{1}delta left(f-k/Nright)cdot e^{i2pi fn}dfright)} _{{text{0, for}} k notin [0, N)}\&={frac {1}{N}}sum _{k=0}^{N-1}{bigg (}{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}[k]cdot {scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}[k]{bigg)}cdot e^{i2pi {frac {n}{N}}k}\&= {scriptstyle {rm {DFT}}^{-1}}{bigg (}{scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}}cdot {scriptstyle {rm {DFT}}}{h_{_{N}}}{bigg)}.end{aligned}}}

Teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier

También existe un teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier:

F{}gAlternativa Alternativa h}=F{}g}⋅ ⋅ F{}h}{fnMicrosoft} {fnh}= {fnMitcal}} {f}fn}cdot {fnh} {fnh}}cdot {cdot {fnh} {fnh}} {f}} {cH}} {cH}}}cdot {cdot {cdot {f} {f}f} {f}}}}}cdot}cdot}cdot}cdot}cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {f} {f}cdot {f}}c}c}c}c}f}cdot {f}c}c}c}c}}cdot {f}cdot {cdot {cdot {cdot {f}cdot {f}c}cdot {cdot {f}
F{}g⋅ ⋅ h}=F{}g}Alternativa Alternativa F{}h}{displaystyle {Mathcal}gcdot ¿Qué? {fn} {fn} {fn}} {fn}} {f}} {fn} {f} {f} {fn}}}} {f}}} {f}}}} {f}} {f}} {f} {f}}}}} {f}}}}}}}}\\\\\\\\\f}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\g}}}}}}}}}}}}}}}}}
gAlternativa Alternativa h=F− − 1{}F{}g}⋅ ⋅ F{}h}}{displaystyle g*h={mthcal {f} {fnh} {fnh} {\fnhfn} {fn}fn}fn}fnhfnhfnhfnh\fnhfnhfnhfnh}\cHh}fnh}cH}fnh}fnhfnh}cHh}fnh}fnh}fnh}fnh}cHh}cHh}cHh}cHh}cHh}}fnh}\\\\\\\cHh}h}}cHh}cHh}cHh}cHh}}}}}cHh}cHh}cHh}cHh}cHh}cHh}}cHh} {fnh}cdot {fnh}fnhfnh} {fnh}cdot {cdot {fnh} {f}fnh}fn}fnh}fn}cdot {f}cdot {fnh}cdot {f}f}f}cdot}cdot {f}cdot}cdot {f}cdot {cdot {f}cdot {cdot}f}f}cdot {f}f}f}f}f}cdot {cdot}f}cdot}cdot {cdot {cdot {f}cdot {f}cdot {cdot {f}cdot {f}f}f}f}f}cdot
g⋅ ⋅ h=F− − 1{}F{}g}Alternativa Alternativa F{}h}}{displaystyle gcdot h={mthcal {f}{-1}left{mthcal {fn} {fn} {fn}fnh}fnh} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {f}}f}}} {fn}f}}} {f} {f} {f}} {f}f}}}}\\f}}}\\\f}}}}}\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}

Teorema de convolución para distribuciones temperadas

El teorema convolutivo se extiende a distribuciones templadas. Aquí, g{displaystyle g} es una distribución templada arbitraria (por ejemplo, el peine Dirac)

F{}fAlternativa Alternativa g}=F{}f}⋅ ⋅ F{}g}{fnh} {fnh} {fnh}=\fnh} {fnh} {fnh} {\fnh}}}\fnf}fnfnfnfnh}}\\fnh} {F}f}cdot {f} {f} {f}} {f}}cdot {f}cdot {f} {f} {f}}} {f} {f} {f}}}cdot {f}cdot {f}}cdot}cdot}cdot}cdot {cdot {f}cdot {cdot {cdot {f}}cdot {f}cdot {f} {f}f}}cdot {f}f}f}f}f}}cdot {f}cdot {cdot {cdot {cdot {f}f}cdot {f}f}cdot {f}f}f}f}f}f}cdot {cdot}
F{}α α ⋅ ⋅ g}=F{}α α }Alternativa Alternativa F{}g}{displaystyle {\fnh}\\fncdot g}= {\fnMitcal} {F} {fn} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {f}} {fn}}} {f}}} {\\fnMicrosoft}}}\\\\\\\fnMicrosoft}}}}\\\\\\\fnMicrob}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrob}}\\\\\\\\\\\\\\fn {fnMitcal} {F}{g}}
f=F{}α α }{displaystyle f=F {\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {}}− − JUEGO JUEGO {displaystyle -infty }+JUEGO JUEGO {displaystyle +infty }α α =F− − 1{}f}{displaystyle alpha =F^{-1}{f}

En particular, cada distribución templada compactamente apoyada, como el Delta Dirac, está "disminuyendo rápidamente". Funciones equivalentemente limitadas, como la función que es constantemente 1{displaystyle 1} son suaves funciones ordinarias "de crecimiento lento". Si, por ejemplo, g↑ ↑ .{displaystyle gequiv operatorname {text{¶} es el peine Dirac ambas ecuaciones producen la fórmula de summación Poisson y si, además, f↑ ↑ δ δ {displaystyle fequiv delta } es el Dirac delta entonces α α ↑ ↑ 1{displaystyle alpha equiv 1} es constantemente uno y estas ecuaciones producen la identidad de Dirac comb.

Recursos adicionales

Para obtener una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales, consulte:

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