Teorema de convolución
En matemáticas, el teorema de la convolución establece que, en condiciones adecuadas, la transformada de Fourier de una convolución de dos funciones (o señales) es el producto puntual de sus transformadas de Fourier. De manera más general, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo) es igual a la multiplicación puntual en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia). Otras versiones del teorema de convolución son aplicables a varias transformadas relacionadas con Fourier.
Funciones de variable continua
Considerar dos funciones g()x){displaystyle g(x)} y h()x){displaystyle h(x)} con Fourier transformados G{displaystyle G. y H{displaystyle H.:
En este contexto el asterisco denota la convolución, en lugar de la multiplicación estándar. El símbolo del producto tensor ⊗ ⊗ {displaystyle otimes } a veces se utiliza en su lugar.
El teorema de convolución establece que:
R()f)≜ ≜ F{}r}()f)=G()f)H()f).f▪ ▪ R{displaystyle R(f)triangleq {mathcal {F}{r}(f)=G(f)H(f).quad fin mathbb {R} | ()Eq.1a) |
Aplicando la inversa transformación Fourier F− − 1{displaystyle {fnMithcal} {fnK}} {fnMicrosoft} {fn}} {f}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}}}}, produce el corolario:
r()x)={}gAlternativa Alternativa h}()x)=F− − 1{}G⋅ ⋅ H},[displaystyle r(x)=g*h}(x)={mathcal {F}^{-1}{ Gcdot H},} | ()Eq.1b) |
Donde ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } denota la multiplicación de puntos
El teorema también se aplica generalmente a funciones multidimensionales.
Considerar funciones g,h{displaystyle g,h} en Lp-space L1()Rn){displaystyle L^{1}(mathbb {R} }, con Fourier transformados G,H{displaystyle G,H}:
La revolución g{displaystyle g} y h{displaystyle h} se define por:
También:
Por lo tanto, por el teorema de Fubini tenemos que r▪ ▪ L1()Rn){displaystyle rin L^{1}(mathbb {R} {n})} así que su transformación Fourier R{displaystyle R. se define por la fórmula integral:
Note que Silenciog()τ τ )h()x− − τ τ )e− − i2π π f⋅ ⋅ xSilencio=Silenciog()τ τ )h()x− − τ τ )Silencio{displaystyle Silenciog(tau)h(x-tau)e^{-i2pi fcdot x}Principalmente= sobrevivir(tau)h(x-tau) y por lo tanto, por el argumento anterior podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini (es decir, intercambiar el orden de integración):
Este teorema también es válido para la transformada de Laplace, la transformada bilateral de Laplace y, cuando se modifica adecuadamente, para la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (consulte el teorema de inversión de Mellin). Puede extenderse a la transformada de Fourier del análisis armónico abstracto definido sobre grupos abelianos localmente compactos.
Convolución periódica (coeficientes de la serie de Fourier)
Considerar P{displaystyle P}- Funciones experimentales gP{displaystyle G_{_{P}} y hP,{displaystyle ¿Qué? que puede expresarse como sumas periódicas:
En la práctica la parte no cero de los componentes g{displaystyle g} y h{displaystyle h} a menudo se limitan a la duración P,{displaystyle P,} pero nada en el teorema requiere eso. Los coeficientes de la serie Fourier son:
- El producto de punta: gP()x)⋅ ⋅ hP()x){displaystyle g_{_{P}(x)cdot h_{_{P}(x)} también P{displaystyle P}-peródico, y sus coeficientes de serie Fourier son dados por la discreta evolución de la G{displaystyle G. y H{displaystyle H. secuencias: F{}gP⋅ ⋅ hP}[k]={}GAlternativa Alternativa H}[k].{fnK}cdot ¿Qué?
- La revolución: también P{displaystyle P}-peródico, y se llama un periodic convolution. El teorema de convolución correspondiente es:{}gPAlternativa Alternativa h}()x)≜ ≜ ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO gP()x− − τ τ )⋅ ⋅ h()τ τ )dτ τ ↑ ↑ ∫ ∫ PgP()x− − τ τ )⋅ ⋅ hP()τ τ )dτ τ ;integración en cualquier intervalo de longitudP{displaystyle {begin{aligned}{g_{_{_}*h}(x) "triangleq int _{-infty }{infty }g_{_{_{_}(x-tau)cdot h(tau) dtau \ ################################################################################################################################################################################################################################################################
F{}gPAlternativa Alternativa h}[k]=P⋅ ⋅ G[k]H[k].{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicrosoft} {f}}} {fnMicrosoft} {f}}f}}}}}}}}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnh}f}f}fnKf}}f}}}f}fn Pcdot G[k] H[k]. | ()Eq.2) |
Funciones de variable discreta (sucesiones)
Por una derivación similar a Eq.1, hay un teorema análogo para secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora F{displaystyle {fnMithcal}} denota los tiempo discreto Fourier transform Operador. Considere dos secuencias g[n]{displaystyle g[n]} y h[n]{displaystyle h[n]} con transformaciones G{displaystyle G. y H{displaystyle H.:
The § Discrete convolution of g{displaystyle g} y h{displaystyle h} se define por:
El teorema de convolución para sucesiones discretas es:
R()f)=F{}gAlternativa Alternativa h}()f)=G()f)H()f).{displaystyle R(f)={mathcal {F}g*h}(f)= G(f)H(f). } | ()Eq.3) |
Convolución periódica
G()f){displaystyle G(f)} y H()f),{displaystyle H(f),} como se define anteriormente, son periódicos, con un período de 1. Considerar N{displaystyle N}- secuencias experimentales gN{displaystyle G_{_{N}} y hN{displaystyle ¿Qué?:
Estas funciones ocurren como resultado del muestreo G{displaystyle G. y H{displaystyle H. a intervalos de 1/N{displaystyle 1/N} y realizar un inverso discreta Transformación de Fourier (DFT) on N{displaystyle N} muestras (ver § Sellling the DTFT). La convolución discreta:
también N{displaystyle N}-peródico, y se llama un periodic convolution. Redefinir el F{displaystyle {fnMithcal}} operador como el N{displaystyle N}- longitud DFT, el teorema correspondiente es:
F{}gNAlternativa Alternativa h}[k]=F{}gN}[k]⏟ ⏟ G()k/N)⋅ ⋅ F{}hN}[k]⏟ ⏟ H()k/N),k▪ ▪ Z.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnh} {fnh} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn}} {fn0}}} {fnh} {fn}}fnMicrosoft}}}fnh} {fnMicrosoft}} {f}f}}}}}}}}}}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnh}fnh}}fnh}f}fnh}fnh}fnh}f}fnh}fnh}f}fnh}fnh}fnhfnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}}fnh} underbrace {{Mathcal {F}g_{_{N}} {k}} {}} {}} {g}} {g}}} {cH}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}}}} {cH}}} {cH}}} {c}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {g}}}}}}}}}}}} {g_}}}}}}}}}}}}}}}} {g_}}}}}}}}}}}}}}}} {g_} {g_}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {g_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {fnMicrosoft Sans Serif}cdot underbrace {\fnMitcal {F} {fn} {fnK}}} {fnK}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {f}}}} {fn}}}} {fn}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { { { { { { {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ¿Por qué? {Z} | ()Eq.4a) |
Y por lo tanto:
{}gNAlternativa Alternativa h}[n]=F− − 1{}F{}gN}⋅ ⋅ F{}hN}}.{displaystyle [n]= {fnMitcal {fnh} {fnMitcal} {fnMitcal} {fnh} {f}} {fnMitcal}} {fnh}} {fnh}} {fnHFF} {f}}}\\\fnMitHFF}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fnMitH\fnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnMitcal}fnhnhnhnMitHfnhnh}fnhnhnhnhnhnhnhnh}f}f}fnhnhnh}}fn {F}cdot {fnMitcal {fn}}\fnMicrosoft Sans Serif} | ()Eq.4b) |
En las condiciones adecuadas, es posible que esta secuencia de N-length contenga un segmento libre de distorsiones de un gAlternativa Alternativa h{displaystyle g*h} Convolution. Pero cuando la porción no cero de la g()n){displaystyle g(n)} o h()n){displaystyle h(n)} secuencia es igual o superior a N,{displaystyle N,} alguna distorsión es inevitable. Tal es el caso cuando el H()k/N){displaystyle H(k/N)} secuencia se obtiene mediante el muestreo directo del DTFT de la respuesta de impulso infinitamente larga § Discreta Hilbert transforma.
Para g{displaystyle g} y h{displaystyle h} secuencias cuya duración no cero es inferior o igual a N,{displaystyle N,} una simplificación final es:
{}gNAlternativa Alternativa h}[n]=F− − 1{}F{}g}⋅ ⋅ F{}h}}.{displaystyle [n]= {fnMitcal {fnh} {fnMitcal} {fnMitcal} {fnh} {f}} {fnMitcal}} {fnh}} {fnh}} {fnHFF} {f}}}\\\fnMitHFF}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fnMitH\fnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnMitHfnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnMitcal}fnhnhnhnMitHfnhnh}fnhnhnhnhnhnhnhnh}f}f}fnhnhnh}}fn {F}g}cdot {fnMitcal {f}\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} | ()Eq.4c) |
Este formulario se usa a menudo para implementar eficientemente la convolución numérica por computadora. (ver § Algoritmos de convolución rápida y § Ejemplo)
Como un recíproco parcial, se ha demostrado que cualquier transformación lineal que convierta la convolución en un producto puntual es la DFT (hasta una permutación de coeficientes).
A time-domain derivation proceeds as follows:
A frequency-domain derivation follows from § Periodic data, which indicates that the DTFTs can be written as:
F
{
g
N
∗
h
}
(
f
)
=
1
N
∑
k
=
−
∞
∞
(
D
F
T
{
g
N
∗
h
}
[
k
]
)
⋅
δ
(
f
−
k
/
N
)
.
{displaystyle {mathcal {F}}{g_{_{N}}*h}(f)={frac {1}{N}}sum _{k=-infty }^{infty }left({scriptstyle {rm {DFT}}}{g_{_{N}}*h}[k]right)cdot delta left(f-k/Nright).}
|
|
(5a) |
The product with H ( f ) {displaystyle H(f)} is thereby reduced to a discrete-frequency function:
We can also verify the inverse DTFT of (5b):
Teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier
También existe un teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier:
Teorema de convolución para distribuciones temperadas
El teorema convolutivo se extiende a distribuciones templadas. Aquí, g{displaystyle g} es una distribución templada arbitraria (por ejemplo, el peine Dirac)
En particular, cada distribución templada compactamente apoyada, como el Delta Dirac, está "disminuyendo rápidamente". Funciones equivalentemente limitadas, como la función que es constantemente 1{displaystyle 1} son suaves funciones ordinarias "de crecimiento lento". Si, por ejemplo, g↑ ↑ .{displaystyle gequiv operatorname {text{¶} es el peine Dirac ambas ecuaciones producen la fórmula de summación Poisson y si, además, f↑ ↑ δ δ {displaystyle fequiv delta } es el Dirac delta entonces α α ↑ ↑ 1{displaystyle alpha equiv 1} es constantemente uno y estas ecuaciones producen la identidad de Dirac comb.
Recursos adicionales
Para obtener una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales, consulte:
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