Teorema de convergencia dominada

En la teoría de la medida, el teorema de convergencia dominada de Lebesgue proporciona condiciones suficientes bajo las cuales casi en todas partes la convergencia de una secuencia de funciones implica convergencia en el L ¹ norma. Su poder y utilidad son dos de las principales ventajas teóricas de la integración de Lebesgue sobre la integración de Riemann.

Además de su aparición frecuente en análisis matemático y ecuaciones diferenciales parciales, se usa ampliamente en teoría de probabilidad, ya que proporciona una condición suficiente para la convergencia de los valores esperados de variables aleatorias.

Declaración

El teorema de convergencia dominado por Lebesgue. Vamos ()fn){displaystyle (f_{n})} ser una secuencia de funciones medibles de valor complejo en un espacio de medida ()S,.. ,μ μ ){displaystyle (S,Sigmamu)}. Supongamos que la secuencia converge punto a punto a una función f{displaystyle f} y está dominado por alguna función integradora g{displaystyle g} en el sentido de que

Silenciofn()x)Silencio≤ ≤ g()x){displaystyle ← ]

para todos los números n en el conjunto índice de la secuencia y todos los puntos x▪ ▪ S{displaystyle xin S}. Entonces... f es integrador (en el sentido Lebesgue) y

limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ SSilenciofn− − fSilenciodμ μ =0{displaystyle lim _{nto infty }int ¿Qué?

lo que también implica

limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfndμ μ =∫ ∫ Sfdμ μ {displaystyle lim _{nto infty }int ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

Nota 1. La declaración "g es integrador" significa que la función mensurable g{displaystyle g} es Lebesgue integradoble; es decir,

<math alttext="{displaystyle int _{S}|g|,dmu ∫ ∫ SSilenciogSilenciodμ μ .JUEGO JUEGO .{displaystyle int _{S}Principios sobre la vida,dmu}<img alt="int_S|g|,dmu

Observación 2. La convergencia de la secuencia y dominación por g{displaystyle g} se puede relajar para mantener sólo μ-casi en todas partes proporcionó el espacio de medida ()S, gh, μ) está completo o f{displaystyle f} es elegido como una función mensurable que está de acuerdo μ-casi en todas partes con μ-casi en todas partes el límite de punto existente. (Estas precauciones son necesarias, porque de lo contrario podría existir un subconjunto no mensurable de un μ-null set N zioDt, por lo tanto f{displaystyle f} podría no ser mensurable.)

Nota 3. Si <math alttext="{displaystyle mu (S)μ μ ()S).JUEGO JUEGO {displaystyle mu (S)traducido<img alt="{displaystyle mu (S), la condición de que hay una función integradora dominante g{displaystyle g} se puede relajar a la integración uniforme de la secuencia (f_n), vea Vitali convergence theorem.

Nota 4. Mientras tanto f{displaystyle f} es Lebesgue integradoble, no es en general Riemann integradoble. Por ejemplo, tome f_n a definir en [0,1]{displaystyle [0,1]} para que sea uno a números racionales y cero en todas partes (en los irracionales). La serie (f_n) converge punto a 0, así que f es idéntico cero, pero Silenciofn− − fSilencio=fn{displaystyle Silencio. no es Riemann integrador, ya que su imagen en cada intervalo finito es {}0,1}{displaystyle {0,1}} y por lo tanto las integrales de Darboux superior e inferior son 1 y 0, respectivamente.

Prueba

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que f es real, porque se puede dividir f en sus partes real e imaginaria (recuerde que una secuencia de números complejos converge si y sólo si sus contrapartes real e imaginaria convergen) y aplica la desigualdad del triángulo al final.

Lebesgue 's dominated convergence theorem is a special case of the Fatou–Lebesgue theorem. Below, however, is a direct proof that uses Fatou’s lemma as the essential tool.

Dado que f es el límite puntual de la secuencia (f_n) de funciones medibles que están dominadas por g, también es medible y dominado por g, por lo tanto es integrable. Además (estos serán necesarios más adelante),

Silenciof− − fnSilencio≤ ≤ SilenciofSilencio+SilenciofnSilencio≤ ≤ 2g{displaystyle Silencioso-f_{n}

para todos los n y

lim supn→ → JUEGO JUEGO Silenciof− − fnSilencio=0.{displaystyle limsup _{nto infty - ¿Qué?

La segunda de ellas es trivialmente cierta (según la definición misma de f). Usando la linealidad y la monotonicidad de la integral de Lebesgue,

Silencio∫ ∫ Sfdμ μ − − ∫ ∫ Sfndμ μ Silencio=Silencio∫ ∫ S()f− − fn)dμ μ Silencio≤ ≤ ∫ ∫ SSilenciof− − fnSilenciodμ μ .{displaystyle left durableint ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? - Hola.

Por el lema de Fatou inverso (es aquí donde usamos el hecho de que |f−f_n| está acotado arriba por un función integrable)

lim supn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ SSilenciof− − fnSilenciodμ μ ≤ ≤ ∫ ∫ Slim supn→ → JUEGO JUEGO Silenciof− − fnSilenciodμ μ =0,{displaystyle limsup _{nto infty }int _{S} habitf-f_{n} durable,dmu leq int _{S}limsup _{nto infty - ¿Qué?

lo que implica que el límite existe y desaparece, es decir.

limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ SSilenciof− − fnSilenciodμ μ =0.{displaystyle lim _{nto infty }int ¿Qué?

Finalmente, desde

limn→ → JUEGO JUEGO Silencio∫ ∫ Sfdμ μ − − ∫ ∫ Sfndμ μ Silencio≤ ≤ limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ SSilenciof− − fnSilenciodμ μ =0.{displaystyle lim _{nto infty.. ¿Qué? _{S}f_{n}dmuright WordPressleq lim _{nto infty }int ¿Qué?

tenemos eso

limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfndμ μ =∫ ∫ Sfdμ μ .{displaystyle lim _{nto infty }int ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

El teorema ahora sigue.

Si los supuestos se cumplen sólo μ-casi en todas partes, entonces existe un conjunto μ-null N ∈ Σ tal que las funciones f_n 1_S  N satisface los supuestos en todas partes de S. Entonces la función f(x) definida como el límite puntual de f_n(x) para x ∈ S  N y por f(x) = 0 para x ∈ N, es medible y es el límite puntual de esta secuencia funcional modificada. Los valores de estas integrales no se ven influenciados por estos cambios en los integrandos en este conjunto μ-nulo N, por lo que el teorema sigue siendo válido.

DCT se mantiene incluso si f_n converge a f en medida (medida finita) y la función dominante no es negativo en casi todas partes.

Discusión de los supuestos

No se puede prescindir de la suposición de que la secuencia está dominada por algún g integrable. Esto se puede ver de la siguiente manera: define f_n(x) = n para x en el intervalo (0, 1/n] y f_n(x) = 0 en caso contrario. Cualquier g que domina la secuencia también debe dominar el supremo puntual h = sup_n f_n. Observe que

∫ ∫ 01h()x)dx≥ ≥ ∫ ∫ 1m1h()x)dx=.. n=1m− − 1∫ ∫ ()1n+1,1n]h()x)dx≥ ≥ .. n=1m− − 1∫ ∫ ()1n+1,1n]ndx=.. n=1m− − 11n+1→ → JUEGO JUEGO comom→ → JUEGO JUEGO {fn} {fn} {fnK}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn} {fn}fn}} {fn} {fn} {fn}} {fnfn}} {fn1} {fn0}} {fn0} {fnfn}}}}fnfn}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnKfnfnfnfnfnfnfnKfnKfnfn}}fnfn}fnfnfnfnKfnKfnKfn}fnKc}fnKfnKfnh}}c}fn ################################################################################################################################################################################################################################################################

por la divergencia de la serie armónica. Por tanto, la monotonicidad de la integral de Lebesgue nos dice que no existe ninguna función integrable que domine la secuencia en [0,1]. Un cálculo directo muestra que la integración y el límite puntual no se conmutan para esta secuencia:

∫ ∫ 01limn→ → JUEGO JUEGO fn()x)dx=0ل ل 1=limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ 01fn()x)dx,{displaystyle int _{0}{1}lim _{nto infty }f_{n}(x),dx=0neq 1=lim _{nto infty }int ¿Qué?

porque el límite puntual de la secuencia es la función cero. Tenga en cuenta que la secuencia (f_n) ni siquiera es uniformemente integrable, por lo que tampoco es aplicable el teorema de convergencia de Vitali.

Teorema de convergencia acotada

Un corolario del teorema de convergencia dominada es el teorema de convergencia acotada, que establece que si (f_n) es una secuencia de funciones medibles de valores complejos uniformemente acotadas que convergen puntualmente en un espacio de medidas acotado (S, Σ, μ) (es decir, uno en el que μ(S) es finito) a una función f, entonces el límite f es una función integrable y

limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfndμ μ =∫ ∫ Sfdμ μ .{displaystyle lim _{nto infty }int ¿Qué? ¿Qué?

Observación: La convergencia puntual y la acotación uniforme de la secuencia se pueden relajar para mantener solo μ-casi en todas partes, siempre que el espacio de medida (S, Σ, μ) está completa o se elige f como una función medible que concuerda μ-casi en todas partes con μ-casi existe un límite puntual en todas partes.

Prueba

Dado que la secuencia está uniformemente acotada, existe un número real M tal que |f_n (x)| ≤ M para todos los x ∈ S y para todos los n. Defina g(x) = M para todos los x ∈ S. Entonces la secuencia está dominada por g. Además, g es integrable ya que es una función constante en un conjunto de medida finita. Por tanto, el resultado se deriva del teorema de convergencia dominada.

Si los supuestos se cumplen sólo μ-casi en todas partes, entonces existe un conjunto μ-null N ∈ Σ tal que las funciones f_n1_SN satisface los supuestos en todas partes de S.

Convergencia dominada en espacios Lp (corolario)

Vamos ()Ω Ω ,A,μ μ ){displaystyle (Omega{mathcal {A}},mu)} ser un espacio de medida, <math alttext="{displaystyle 1leq p1≤ ≤ p.JUEGO JUEGO {displaystyle 1leq p buscadoinfty}<img alt="{displaystyle 1leq p un número real y ()fn){displaystyle (f_{n})} una secuencia de A{displaystyle {fnMithcal}}- Funciones mensurables fn:Ω Ω → → C∪ ∪ {}JUEGO JUEGO }{displaystyle F_{n}: Omega to mathbb {C} cup {infty}.

Asume la secuencia ()fn){displaystyle (f_{n})} convergencias μ μ {displaystyle mu }- casi en todas partes a un A{displaystyle {fnMithcal}}- Función mensurable f{displaystyle f}, y está dominado por un g▪ ▪ Lp{displaystyle gin L^{p} (cf. Lp space), es decir, por cada número natural n{displaystyle n} tenemos: SilenciofnSilencio≤ ≤ g{displaystyle Silenciof_{n}Casi en todas partes.

Entonces todo fn{displaystyle f_{n} así como f{displaystyle f} están dentro Lp{displaystyle L^{p} y la secuencia ()fn){displaystyle (f_{n})} convergencias a f{displaystyle f} dentro el sentido del Lp{displaystyle L^{p}, es decir:

limn→ → JUEGO JUEGO .. fn− − f.. p=limn→ → JUEGO JUEGO ()∫ ∫ Ω Ω Silenciofn− − fSilenciopdμ μ )1p=0.{displaystyle lim _{nto infty }f_{n}-fff}=lim _{nto infty }left(int _{p} Omega - ¿Qué? {1}=0.}

Idea de la prueba: Aplicar el teorema original a la secuencia de funciones hn=Silenciofn− − fSilenciop{displaystyle ¿Qué? con la función dominante ()2g)p{displaystyle (2g)^{p}.

Extensiones

El teorema de convergencia dominada se aplica también a funciones medibles con valores en un espacio de Banach, siendo la función dominante no negativa e integrable como se indicó anteriormente. El supuesto de convergencia en casi todas partes puede debilitarse para exigir sólo una convergencia en medida.

El teorema de la convergencia dominada se aplica también a las expectativas condicionales.