Teorema de Cayley

En teoría de grupo, Teorema de Cayley, nombrado en honor de Arthur Cayley, afirma que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico. Más específicamente, G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico Sym⁡ ⁡ ()G){displaystyle operatorname {Sym} (G)} cuyos elementos son las permutaciones del conjunto subyacente G. Explícitamente,

• para cada uno g▪ ▪ G{displaystyle gin G}, la izquierda-multiplicación-por-g mapa l l g:: G→ → G{displaystyle ell _{g}colon Gto G} enviar cada elemento x a gx es una permutación de G, y
• el mapa G→ → Sym⁡ ⁡ ()G){displaystyle Gto operatorname {Sym} (G)} enviar cada elemento g a l l g{displaystyle ell _{g} es un homomorfismo inyectable, por lo que define un isomorfismo de G sobre un subgrupo Sym⁡ ⁡ ()G){displaystyle operatorname {Sym} (G)}.

El homomorfismo G→ → Sym⁡ ⁡ ()G){displaystyle Gto operatorname {Sym} (G)} también se puede entender como resultado de la acción de traducción izquierda G sobre el conjunto subyacente G.

Cuando G es finito, Sym⁡ ⁡ ()G){displaystyle operatorname {Sym} (G)} es finito también. La prueba del teorema de Cayley en este caso muestra que si G es un grupo finito de orden n, entonces G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico estándar Sn{displaystyle S_{n}. Pero... G también puede ser isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico menor, Sm{displaystyle S_{m} para algunos <math alttext="{displaystyle mm.n{displaystyle m won}<img alt="m; por ejemplo, el grupo orden 6 G=S3{displaystyle G=S_{3} no es sólo isomorfo a un subgrupo de S6{displaystyle S_{6}, pero también (trivialmente) isomorfo a un subgrupo de S3{displaystyle S_{3}. El problema de encontrar el grupo simétrico de orden mínimo en el que un grupo dado G las incrustaciones son bastante difíciles.

Alperin y Bell señalan que "en general, el hecho de que los grupos finitos estén integrados en grupos simétricos no ha influido en los métodos utilizados para estudiar los grupos finitos".

Cuando G es infinito, Sym⁡ ⁡ ()G){displaystyle operatorname {Sym} (G)} es infinita, pero el teorema de Cayley sigue vigente.

Historia

Si bien parece bastante elemental, en ese momento no existían las definiciones modernas, y cuando Cayley introdujo lo que ahora se llama grupos, no quedó inmediatamente claro que esto fuera equivalente a los grupos conocidos anteriormente, que ahora se llaman grupos de permutación. El teorema de Cayley unifica los dos.

Aunque Burnside atribuye el teorema a jordania, Eric Nummela no obstante, argumenta que el nombre estándar, 'Teorema de Cayley', es de hecho apropiado. Cayley, en su artículo original de 1854, mostró que la correspondencia en el teorema es uno a uno, pero no pudo demostrar explícitamente que era un homomorfismo (y por lo tanto una incrustación). Sin embargo, Nummela señala que Cayley dio a conocer este resultado a la comunidad matemática en ese momento, por lo que se adelantó a Jordan por 16 años más o menos.

El teorema fue publicado posteriormente por Walther Dyck en 1882 y se atribuye a Dyck en la primera edición del libro de Burnside.

Antecedentes

A permutación de un conjunto A es una función bijeactiva A a A. El conjunto de todas las permutaciones de A forma un grupo bajo la composición de la función, llamado el grupo simétrico A, y escrito como Sym⁡ ⁡ ()A){displaystyle operatorname {Sym} (A)}. En particular, A ser el conjunto subyacente de un grupo G produce un grupo simétrico denotado Sym⁡ ⁡ ()G){displaystyle operatorname {Sym} (G)}.

Demostración del teorema

Si g es cualquier elemento de un grupo G con operación, considerar la función f_g: G → G, definida por f_g()x) g Alternativa x. Por la existencia de inversos, esta función tiene también un inverso, fg− − 1{displaystyle f_{g^{-1}}. So multiplication by g actúa como una función bijeactiva. Así, f_g es una permutación de G, y también es miembro de Sym(G).

El conjunto K = {f_g: g ∈ G} es un subgrupo de Sym(G) que es isomorfo a G. La forma más rápida de establecer esto es considerar la función T: G → Sym(G) con T(g) = f_g por cada g en G. T es un homomorfismo de grupo porque (usando · para denotar composición en Sym(G)):

()fg⋅ ⋅ fh)()x)=fg()fh()x))=fg()hAlternativa Alternativa x)=gAlternativa Alternativa ()hAlternativa Alternativa x)=()gAlternativa Alternativa h)Alternativa Alternativa x=fgAlternativa Alternativa h()x),[displaystyle (f_{g}cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x)=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)=f_{g*h}(x),}

para todo x en G, y por lo tanto:

T()g)⋅ ⋅ T()h)=fg⋅ ⋅ fh=fgAlternativa Alternativa h=T()gAlternativa Alternativa h).{displaystyle T(g)cdot T(h)=f_{g}cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).}

El homomorfismo T es inyectivo ya que T(g) = id _G (el elemento de identidad de Sym(G)) implica que g ∗ x = x para todo x en G, y tomando x ser el elemento de identidad e de G produce g = g ∗ e = e, es decir, el núcleo es trivial. Alternativamente, T también es inyectiva ya que g ∗ x = g′ ∗ x implica que g = g′ (porque todo grupo es cancelativo).

Así, G es isomorfo a la imagen de T, que es el subgrupo K.

T a veces se llama la representación regular de G.

Configuración alternativa de prueba

Un entorno alternativo utiliza el lenguaje de las acciones de grupo. Consideramos el grupo G{displaystyle G. como actuar en sí mismo por la multiplicación izquierda, es decir. g⋅ ⋅ x=gx{displaystyle gcdot x=gx}, que tiene una representación de permutación, dicen φ φ :G→ → SSí.m()G){displaystyle phi:Gto mathrm {Sym} (G)}.

La representación es fiel si φ φ {displaystyle phi } es inyectable, es decir, si el núcleo de φ φ {displaystyle phi } es trivial. Suppose g▪ ▪ ker⁡ ⁡ φ φ {displaystyle gin ker phi }. Entonces, g=ge=g⋅ ⋅ e=e{displaystyle g=ge=gcdot e=e}. Así, ker⁡ ⁡ φ φ {displaystyle ker phi } es trivial. El resultado sigue por el uso del primer teorema isomorfismo, del cual obtenemos Imφ φ .. G{displaystyle mathrm {Im} ,phi cong G}.

Comentarios sobre la representación regular del grupo

El elemento de identidad del grupo corresponde a la permutación de identidad. Todos los demás elementos del grupo corresponden a trastornos: permutaciones que no dejan ningún elemento sin cambiar. Como esto también se aplica a potencias de un elemento de grupo, inferiores al orden de ese elemento, cada elemento corresponde a una permutación que consta de ciclos todos de la misma longitud: esta longitud es el orden de ese elemento. Los elementos de cada ciclo forman una clase lateral derecha del subgrupo generado por el elemento.

Ejemplos de la representación del grupo regular

Z₂ = {0,1} con modulo adicional 2; elemento grupo 0 corresponde a la permutación de identidad e, elemento grupo 1 a permutación (12) (ver notación de ciclo). E.g. 0 +1 = 1 y 1+1 = 0, por lo que 1↦ ↦ 0{textstyle 1mapsto 0} y 0↦ ↦ 1,{textstyle 0mapsto 1,} como lo harían bajo una permutación.

Z3={}0,1,2}{displaystyle mathbb {Z} ¿Qué? con modulo adicional 3; elemento grupo 0 corresponde a la permutación de identidad e, elemento grupo 1 a la permutación (123), y elemento grupo 2 a la permutación (132). E.g. 1 + 1 = 2 corresponde a (123)(123) = (132).

Z₄ = {0,1,2,3} con módulo de suma 4; los elementos corresponden a e, (1234), (13)(24), (1432).

Los elementos del grupo de cuatro de Klein {e, a, b, c} corresponden a e, (12)(34), (13)(24) y (14)(23).

S₃ (grupo diédrico de orden 6) es el grupo de todas las permutaciones de 3 objetos, pero también un grupo de permutaciones de los 6 elementos del grupo, y este último es cómo se realiza por su representación ordinaria.

Declaración más general

Teorema: Vamos G ser un grupo, y dejar H ser un subgrupo. Vamos G/H{displaystyle G/H ser el conjunto de los cosets izquierdos H dentro G. Vamos N ser el núcleo normal H dentro G, definido para ser la intersección de los conjugados H dentro G. Luego el grupo cociente G/N{displaystyle G/N} es isomorfo a un subgrupo de Sym⁡ ⁡ ()G/H){displaystyle operatorname {Sym} (G/H)}.

El caso especial H=1{displaystyle H=1} Es el teorema original de Cayley.