Teorema de Casorati-Weierstrass

En el análisis complejo, una rama de las matemáticas, el teorema de Casorati-Weierstrass describe el comportamiento de las funciones holomorfas cerca de sus singularidades esenciales. Lleva el nombre de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y Felice Casorati. En la literatura rusa se le llama teorema de Sokhotski.

Enunciado formal del teorema

Empieza con un subconjunto abierto ${displaystyle U}$ en el plano complejo que contiene el número ${displaystyle z_{0}$, y una función ${displaystyle f}$ que es holomorfo en ${displaystyle Usetminus {Z_{0}}}$, pero tiene una singularidad esencial ${displaystyle z_{0}$. El Casorati – Teorema Weierstrass entonces declara que

si ${displaystyle V}$ es cualquier barrio ${displaystyle z_{0}$ contenidas en ${displaystyle U}$, entonces ${displaystyle f(Vsetminus {z_{0}}}$ es denso en ${displaystyle mathbb {C}$.

Esto también se puede afirmar de la siguiente manera:

para cualquier ${displaystyle varepsilon >0,delta }$, y un número complejo ${displaystyle w}$, existe un número complejo ${displaystyle z}$ dentro ${displaystyle U}$ con ${displaystyle 0 interpretado habitz-z_{0}$ y ${displaystyle Silenciof(z)-w invisiblevarepsilon }$.

O en términos aún más descriptivos:

${displaystyle f}$ viene arbitrariamente cerca cualquiera complejo valor en cada barrio ${displaystyle z_{0}$.

El teorema se fortalece considerablemente por el gran teorema de Picard, que declara, en la notación anterior, que ${displaystyle f}$ asume cada uno valor complejo, con una posible excepción, infinitamente a menudo ${displaystyle V}$.

En caso de que ${displaystyle f}$ es una función completa y ${displaystyle a=infty}$, el teorema dice que los valores ${displaystyle f(z)}$ cada número complejo y ${displaystyle infty }$, como ${displaystyle z}$ tiende a la infinidad. Es notable que esto no tiene para los mapas holomorficos en dimensiones superiores, como muestra el famoso ejemplo de Pierre Fatou.

Parcela de la función exp(1/z), centrado en la singularidad esencial en z= 0. El tono representa el argumento complejo, la luminancia representa el valor absoluto. Esta trama muestra cómo acercarse a la singularidad esencial de diferentes direcciones produce diferentes comportamientos (a diferencia de un polo, que sería uniformemente blanco).

Ejemplos

La función f(z) = exp(1/z) tiene una singularidad esencial en 0, pero la función g(z) = 1/z³ no (tiene un polo en 0).

Considere la función

$${displaystyle f(z)=e^{1/z}$$

Esta función tiene la siguiente serie de Taylor sobre el punto singular esencial en 0:

$${displaystyle f(z)=sum _{n=0}{infty }{frac !$$

Porque... ${displaystyle f'(z)=-{frac {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}$ existe para todos los puntos z ل 0 sabemos que f()z) es analytic en un barrio puntual de z = 0. De ahí que sea una singularidad aislada, así como una singularidad esencial.

Usando un cambio de coordenadas variables a polares ${displaystyle z=re^{itheta }$ nuestra función, f()z) e^1/z se convierte en:

$${displaystyle f(z)=e^{frac {1}e^{-itheta ¿Qué?$$

Tomando el valor absoluto de ambos lados:

$${fnMicrosoft Sans Serif}cos theta "Justo en la vida" {1} {fn}isin(theta)} 'justo sobre la vida=e^{frac] {1} {r}cos theta }$$

Así, para valores de Silencio tales que # Silencio ■ 0, tenemos ${displaystyle f(z)to infty$ como ${displaystyle rto 0}$, y para ${displaystyle cos theta #$, ${displaystyle f(z)to 0}$ como ${displaystyle rto 0}$.

Considere lo que sucede, por ejemplo, cuando z toma valores en un círculo de diámetro 1/R tangente a la eje imaginario. Este círculo viene dado por r = (1/R) cos θ. Después,

$${displaystyle f(z)=e^{R}left[cos left(Rtan theta right)-isin left(Rtan theta right)right]}$$

$${displaystyle left WordPressf(z)right WordPress=e^{R}$$

Así,${displaystyle left WordPressf(z)right sobrevivir$ puede tomar cualquier valor positivo que no sea cero por la elección apropiada R. As ${displaystyle zto 0}$ en el círculo, ${textstyle theta to {frac ♪ } {2}}$ con R fijo. Así que esta parte de la ecuación:

$${displaystyle left[cos left(Rtan theta right)-isin left(Rtan theta right)right]}$$

Demostración del teorema

Una breve demostración del teorema es la siguiente:

Tome como dado que la función f es meromórfica en algún vecindario perforado V {z₀}, y que z₀ es una singularidad esencial. Asumir a modo de contradicción que existe algún valor b al que la función nunca puede acercarse; es decir: suponga que hay algún valor complejo b y algo ε > 0 tal que ||f(z) − b|| ≥ ε para todos los z en V en el que se define f.

Entonces la nueva función:

$${displaystyle g(z)={frac {1}{f(z)-b}}$$

V {}z₀}fTodosVg

$${displaystyle f(z)={frac {1}{g(z)}+b}$$

zVz₀

$${displaystyle lim _{zto z_{0}g(z).}$$

Si el límite es 0, entonces f tiene un polo en z₀. Si el límite no es 0, entonces z₀ es una singularidad removible de f. Ambas posibilidades contradicen la suposición de que el punto z₀ es una singularidad esencial de la función f. Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema se cumple.

Historia

Collingwood y Lohwater describen la historia de este importante teorema. Fue publicado por Weierstrass en 1876 (en alemán) y por Sokhotski en 1868 en su tesis de maestría (en ruso). Por eso se le llamó teorema de Sokhotski en la literatura rusa y teorema de Weierstrass en la literatura occidental. El mismo teorema fue publicado por Casorati en 1868, y por Briot y Bouquet en la primera edición de su libro (1859). Sin embargo, Briot y Bouquet eliminaron este teorema de la segunda edición (1875).