Teorema de Cartan-Kähler

En matemáticas, la Cartan-Kähler teorem es un resultado importante en las condiciones de integración para sistemas diferenciales, en el caso de funciones analíticas, para ideales diferenciales I{displaystyle I}. Se llama por Élie Cartan y Erich Kähler.

Significado

No es cierto que simplemente tener dI{displaystyle ♪ contenidas en I{displaystyle I} es suficiente para la integración. Hay un problema causado por soluciones singulares. El teorema calcula ciertas constantes que deben satisfacer una desigualdad para que haya una solución.

Estado

Vamos. ()M,I){displaystyle (M,I)} ser un EDS analytico real. Supongamos que P⊆ ⊆ M{displaystyle Psubseteq M} es un conectado, k{displaystyle k}-dimensional, analista real, manifold integral regular de I{displaystyle I} con r()P)≥ ≥ 0{displaystyle r(P)geq 0} (es decir, los espacios tangentes TpP{displaystyle T_{p}P} son "extendibles" a elementos integrales dimensionales superiores.

Además, supone que hay un submanifold analytico real R⊆ ⊆ M{displaystyle Rsubseteq M} de la codimensión r()P){displaystyle r(P)} que contiene P{displaystyle P} y tal que TpR∩ ∩ H()TpP){displaystyle T_{p}Rcap H(T_{p}P)} tiene dimensión k+1{displaystyle k+1} para todos p▪ ▪ P{displaystyle pin P}.

Entonces existe un (localmente) único conectado, ()k+1){displaystyle (k+1)}-dimensional, real analytic manifold integral X⊆ ⊆ M{displaystyle Xsubseteq M} de I{displaystyle I} que satisfice P⊆ ⊆ X⊆ ⊆ R{displaystyle Psubseteq Xsubseteq R}.

Pruebas y suposiciones

El teorema de Cauchy-Kovalevskaya se utiliza en la demostración, por lo que la analiticidad es necesaria.