Teorema de Carnot (termodinámica)

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Máxima eficiencia posible de cualquier motor de calor

En termodinámica, el teorema de Carnot, desarrollado en 1824 por Nicolas Léonard Sadi Carnot, también llamado regla de Carnot, es un principio que especifica límites a la eficiencia máxima que puede obtener cualquier máquina térmica.

El teorema de Carnot establece que todas las máquinas térmicas que funcionan entre los mismos dos depósitos térmicos o térmicos no pueden tener eficiencias mayores que una máquina térmica reversible que funciona entre los mismos depósitos. Un corolario de este teorema es que toda máquina térmica reversible que opera entre un par de depósitos de calor es igualmente eficiente, sin importar la sustancia de trabajo empleada o los detalles de la operación. Dado que una máquina térmica de Carnot también es una máquina reversible, la eficiencia de todas las máquinas térmicas reversibles se determina como la eficiencia de la máquina térmica de Carnot que depende únicamente de las temperaturas de sus depósitos fríos y calientes.

La máxima eficiencia (es decir, la eficiencia del motor de calor Carnot) de un motor de calor que opera entre depósitos fríos y calientes, denotado como $H$ y $C$ respectivamente, es la relación de la diferencia de temperatura entre los embalses a la temperatura del depósito caliente, expresada en la ecuación

{displaystyle eta _{text{max}}={frac {T_{mathrm {H} }-T_{mathrm {C} }}{T_{mathrm {H} }}},}

Donde ${displaystyle T_{mathrm {H} }}$ y ${displaystyle T_{mathrm {C} }}$ son las temperaturas absolutas de los depósitos calientes y fríos, respectivamente, y la eficiencia $eta$ es la relación del trabajo realizado por el motor (al entorno) al calor extraído del embalse caliente (al motor).

${displaystyle eta _{text{max}}}$ es mayor que cero si y sólo si hay una diferencia de temperatura entre los dos reservorios térmicos. Desde ${displaystyle eta _{text{max}}}$ es el límite superior de todas las eficiencias reversibles e irreversibles del motor de calor, se concluye que el trabajo de un motor de calor se puede producir si y sólo si hay una diferencia de temperatura entre dos reservorios térmicos que se conectan al motor.

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Carnot 's theorem is a consequence of the second law of thermodynamics. Historically, it was based on contemporary caloric theory, and preceded the establishment of the second law.

Prueba

La prueba del teorema de Carnot es una prueba por contradicción o reductio ad absurdum (un método para probar una declaración asumiendo su falsedad y lógicamente derivando de esta suposición una declaración falsa o contradictoria), basado en una situación como la figura correcta donde dos motores de calor con diferentes eficiencias están operando entre dos depósitos térmicos a diferentes temperaturas. El depósito relativamente más caliente se llama el embalse caliente y el otro embalse se llama el embalse frío. Un (no necesariamente reversible) motor de calor $M$ con mayor eficiencia ${displaystyle eta _{_{M}}}$ está conduciendo un motor de calor reversible $L$ con menos eficiencia ${displaystyle eta _{_{L}}}$ , haciendo que este último actúe como una bomba de calor. El requisito para el motor $L$ ser reversible es necesario para explicar el trabajo $W$ y calor $Q$ asociado con ella utilizando su eficiencia conocida. Sin embargo, desde entonces $eta _{_{L}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. M■.. L{displaystyle eta ¿Por qué? ¿Qué?eta _{_{L}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e070e4281105874e498026b3e425b7d7050c329" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.513ex; height:2.509ex;"/>$ , el flujo de calor neto sería hacia atrás, es decir, en el depósito caliente:

<math alttext="{displaystyle Q_{text{h}}^{text{out}}=QQhFuera.=Q... M.. LQ=Qhdentro,{displaystyle Q_{text{h} {text{out}=Q seculicó {frac} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? ¿Qué?<img alt="{displaystyle Q_{text{h}}^{text{out}}=Q

Donde $Q$ representa calor, ${displaystyle {text{in}}}$ para la entrada a un objeto denotado por el subscript, ${displaystyle {text{out}}}$ para la salida de un objeto denotado por el subscript, y $h$ para el embalse térmico caliente. Si el calor ${displaystyle Q_{text{h}}^{text{out}}}$ flujos del depósito caliente entonces tiene el signo de + mientras que si ${displaystyle Q_{text{h}}^{text{in}}}$ fluye del embalse caliente entonces tiene el signo de -. Esta expresión se puede derivar fácilmente utilizando la definición de la eficiencia de un motor de calor, ${displaystyle eta =W/Q_{h}^{out}}$ , donde el trabajo y el calor en esta expresión son cantidades netas por ciclo del motor, y la conservación de la energía para cada motor como se muestra a continuación. La firma de la convención de trabajo $W$ , con el cual se emplea la señal de + para el trabajo realizado por un motor a su entorno.

La expresión anterior significa que el calor que ingresa al depósito caliente desde el par de motores (puede considerarse como un solo motor) es mayor que el calor que ingresa al par de motores desde el depósito caliente (es decir, el depósito caliente obtiene energía continuamente). Un motor térmico reversible con una eficiencia baja entrega más calor (energía) al depósito caliente por una cantidad dada de trabajo (energía) a este motor cuando se acciona como una bomba de calor. Todo esto significa que el calor puede transferirse de lugares fríos a calientes sin trabajo externo, y tal transferencia de calor es imposible según la segunda ley de la termodinámica.

Puede parecer extraño que una hipotética bomba de calor reversible con una baja eficiencia se utilice para violar la segunda ley de la termodinámica, pero la figura de mérito para unidades de refrigerador no es la eficiencia, ${displaystyle W/Q_{text{h}}^{text{out}}}$ , pero el coeficiente de rendimiento (COP), que es ${displaystyle Q_{text{c}}^{text{out}}/W}$ donde $W$ tiene el signo opuesto a lo anterior (+ para el trabajo hecho al motor).

Vamos a encontrar los valores del trabajo $W$ y calor $Q$ representado en la figura correcta en la que un motor de calor reversible $L$ con menos eficiencia ${displaystyle eta _{_{L}}}$ es impulsado como una bomba de calor por un motor de calor $M$ con más eficiencia ${displaystyle eta _{_{M}}}$ .

La definición de la eficiencia es ${displaystyle eta =W/Q_{text{h}}^{text{out}}}$ para cada motor y se pueden hacer las siguientes expresiones:

{displaystyle eta _{M}={frac {W_{M}}{Q_{text{h}}^{{text{out}},M}}}={frac {eta _{M}Q}{Q}}=eta _{M},}

{displaystyle eta _{L}={frac {W_{L}}{Q_{h}^{{text{out}},L}}}={frac {-eta _{M}Q}{-{frac {eta _{M}}{eta _{L}}}Q}}=eta _{L}.}

El denominador de la segunda expresión, ${displaystyle Q_{h}^{{text{out}},L}=-{frac {eta _{M}}{eta _{L}}}Q}$ , está hecho para que la expresión sea consistente, y ayuda a llenar los valores de trabajo y calor para el motor $L$ .

Para cada motor, el valor absoluto de la energía que entra en el motor, ${displaystyle E_{text{abs}}^{text{in}}}$ , debe ser igual al valor absoluto de la energía que sale del motor, ${displaystyle E_{text{abs}}^{text{out}}}$ . De lo contrario, la energía se acumula continuamente en un motor o la conservación de la energía se viola tomando más energía de un motor que la energía de entrada al motor:

{displaystyle E_{text{M,abs}}^{text{in}}=Q=(1-eta _{M})Q+eta _{M}Q=E_{text{M,abs}}^{text{out}},}

{displaystyle E_{text{L,abs}}^{text{in}}=eta _{M}Q+eta _{M}Qleft({frac {1}{eta _{L}}}-1right)={frac {eta _{M}}{eta _{L}}}Q=E_{text{L,abs}}^{text{out}}.}

En la segunda expresión, ${textstyle left|Q_{h}^{{text{out}},L}right|=left|-{frac {eta _{M}}{eta _{L}}}Qright|}$ se utiliza para encontrar el término ${textstyle eta _{M}Qleft({frac {1}{eta _{L}}}-1right)}$ describiendo la cantidad de calor extraída del embalse frío, completando las expresiones de valor absoluto del trabajo y el calor en la figura correcta.

Did you mean:

Having established that the right figure values are correct, Carnot 's theorem may be proven for irreversible and the reversible heat engines as shown below.

Motores reversibles

Para ver que cada motor reversible que opera entre depósitos a temperaturas $T_{1}$ y $T_{2}$ debe tener la misma eficiencia, asumir que dos motores de calor reversibles tienen diferentes eficiencias, y permitir que el motor relativamente más eficiente $M$ el motor relativamente menos eficiente $L$ como bomba de calor. Como muestra la figura correcta, esto hará que el calor fluya del frío al depósito caliente sin trabajo externo, lo que viola la segunda ley de la termodinámica. Por lo tanto, ambos (reversibles) motores de calor tienen la misma eficiencia, y concluimos que:

Todos los motores de calor reversibles que operan entre los mismos dos térmicas ()calor) los depósitos tienen la misma eficiencia.

La eficiencia de la máquina térmica reversible se puede determinar analizando una máquina térmica de Carnot como una máquina térmica reversible.

Esta conclusión es un resultado importante porque ayuda a establecer el teorema de Clausius, lo que implica que el cambio en la entropía $S$ es único para todos los procesos reversibles:

{displaystyle Delta S=int _{a}^{b}{frac {dQ_{text{rev}}}{T}}}

como el cambio entropía, que se hace durante una transición de un estado de equilibrio termodinámico $a$ a un estado $b$ en una V-T (Volumen-Temperatura) espacio, es el mismo sobre todos los caminos de proceso reversibles entre estos dos estados. Si esta integral no fuera independiente del camino, entonces la entropía no sería una variable estatal.

Motores irreversibles

Considere dos motores, $M$ y $L$ , que son irreversibles y reversibles respectivamente. Construimos la máquina mostrada en la figura correcta, con $M$ conduciendo $L$ como bomba de calor. Entonces si $M$ es más eficiente que $L$ , la máquina violará la segunda ley de la termodinámica. Como un motor de calor Carnot es un motor de calor reversible, y todos los motores de calor reversibles funcionan con la misma eficiencia entre los mismos embalses, tenemos la primera parte del teorema de Carnot:

Ningún motor de calor irreversible es más eficiente que un motor de calor Carnot que opera entre los mismos dos depósitos térmicos.

Definición de temperatura termodinámica

La eficiencia de un motor térmico es el trabajo realizado por el motor dividido por el calor introducido en el motor por ciclo de motor o

{displaystyle eta ={frac {w_{text{cy}}}{q_{H}}}={frac {q_{H}-q_{C}}{q_{H}}}=1-{frac {q_{C}}{q_{H}}}}

()1)

Donde ${displaystyle w_{cy}}$ es el trabajo hecho por el motor, ${displaystyle q_{C}}$ es el calor al depósito frío del motor, y ${displaystyle q_{H}}$ es el calor al motor del depósito caliente, por ciclo. Así, la eficiencia depende sólo de ${displaystyle {frac {q_{C}}{q_{H}}}}$ .

Porque todos los motores de calor reversibles que operan entre temperaturas $T_{1}$ y $T_{2}$ debe tener la misma eficiencia, la eficiencia de un motor de calor reversible es una función de sólo las dos temperaturas del depósito:

{frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})

()2)

Además, un motor de calor reversible que opera entre temperaturas $T_{1}$ y $T_{3}$ debe tener la misma eficiencia que uno que consta de dos ciclos, uno entre $T_{1}$ y otra temperatura (intermediada) $T_{2}$ , y el segundo entre $T_{2}$ y $T_{3}$ () $<math alttext="{displaystyle T_{1}<T_{2}T1.T2.T3{displaystyle T_{1}<img alt="{displaystyle T_{1}<T_{2}$ ). Este solo puede ser el caso si

{displaystyle f(T_{1},T_{3})={frac {q_{3}}{q_{1}}}={frac {q_{2}q_{3}}{q_{1}q_{2}}}=f(T_{1},T_{2})f(T_{2},T_{3})}

()3)

Especialización en el caso de que $T_{1}$ es una temperatura de referencia fija: la temperatura del triple punto de agua como 273.16. (Por supuesto cualquier temperatura de referencia y cualquier valor numérico positivo podría ser utilizado - la elección aquí corresponde a la escala Kelvin.) Entonces para cualquier $T_{2}$ y $T_{3}$ ,

f(T_2,T_3) = frac{f(T_1,T_3)}{f(T_1,T_2)} = frac{273.16 cdot f(T_1,T_3)}{273.16 cdot f(T_1,T_2)}.

Por lo tanto, si la temperatura termodinámica está definida por

{displaystyle T'=273.16cdot f(T_{1},T),}

entonces la función vista como una función de la temperatura termodinámica, es

{displaystyle f(T_{2},T_{3})={frac {T_{3}'}{T_{2}'}}.}

Se sigue inmediatamente que

{displaystyle {frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})={frac {T_{C}'}{T_{H}'}}}

()4)

Sustituir esta ecuación de nuevo en la ecuación anterior ${frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})$ da una relación para la eficiencia en términos de temperaturas termodinámicas:

{displaystyle eta =1-{frac {q_{C}}{q_{H}}}=1-{frac {T_{C}'}{T_{H}'}}}

()5)

Aplicabilidad a pilas de combustible y baterías

Puesto que las pilas y baterías de combustible pueden generar energía útil cuando todos los componentes del sistema están a la misma temperatura ( $T=T_{H}=T_{C}$ ), claramente no están limitados por el teorema de Carnot, que afirma que ningún poder puede ser generado cuando $T_{H}=T_{C}$ . Esto se debe a que el teorema de Carnot se aplica a los motores que convierten la energía térmica al trabajo, mientras que las células de combustible y las baterías convierten la energía química al trabajo. Sin embargo, la segunda ley de la termodinámica sigue imponiendo restricciones a la conversión de pilas de combustible y batería.

Una batería de Carnot es un tipo de sistema de almacenamiento de energía que almacena electricidad en almacenamiento de calor y convierte el calor almacenado nuevamente en electricidad a través de ciclos termodinámicos.

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