Teorema de Bolzano-Weierstrass

En matemáticas, específicamente en análisis real, el Bolzano-Teorema Weierstrass, nombrado por Bernard Bolzano y Karl Weierstrass, es un resultado fundamental sobre la convergencia en un espacio euclidiano de dimensiones finitas ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$. El teorema declara que cada secuencia infinita ligada en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ tiene una subsequencia convergente. Una formulación equivalente es que un subconjunto de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ es secuencialmente compacto si y sólo si está cerrado y atado. El teorema a veces se llama teorema de compactidad secuencial.

Historia y significado

El teorema de Bolzano-Weierstrass lleva el nombre de los matemáticos Bernard Bolzano y Karl Weierstrass. De hecho, Bolzano lo demostró por primera vez en 1817 como un lema en la demostración del teorema del valor intermedio. Unos cincuenta años más tarde, el resultado fue identificado como significativo por derecho propio y Weierstrass lo probó nuevamente. Desde entonces se ha convertido en un teorema esencial del análisis.

Prueba

Primero demostramos el teorema para ${displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }$ (conjunto de todos los números reales), en cuyo caso el pedido encendido ${displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }$ se puede poner a buen uso. De hecho, tenemos el siguiente resultado:

Lemma: Cada secuencia infinita ${displaystyle (x_{n}}$ dentro ${displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }$ tiene una subsequencia monotona.

Prueba: Llamemos un índice de valor entero positivo ${displaystyle n}$ de una secuencia un "peak" de la secuencia cuando ${displaystyle x_{m}Seguido$ para todos ${displaystyle m prendan}$. Supongamos primero que la secuencia tiene infinitamente muchos picos, lo que significa que hay una subsequencia con los siguientes índices ${displaystyle No.$ y los siguientes términos ${displaystyle x_{n_{1}} {n_{2} {x_{n_{3}} {3}} {dots - No.$. Entonces, la secuencia infinita ${displaystyle (x_{n}}$ dentro ${displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }$ tiene una subsecuencia monotona, que es ${displaystyle (x_{n_{j}}}}$. Pero supongamos ahora que sólo hay muchos picos finitos, que ${displaystyle N}$ ser el pico final y dejar el primer índice de una nueva subsequencia ${displaystyle (x_{n_{j}}}}$ se establecerá ${displaystyle N_{1}=N+1}$. Entonces... ${displaystyle No.$ no es un pico, ya que ${displaystyle No.$ viene después del pico final, lo que implica la existencia de ${displaystyle No.$ con ${displaystyle No.$ y ${displaystyle x_{n_{1}leq x_{n_{2}}}$. Otra vez, ${displaystyle No.$ viene después del pico final, por lo tanto hay un ${displaystyle No.$ Donde ${displaystyle No.$ con ${displaystyle x_{n_{2}leq x_{n_{3}}}$. Repetir este proceso conduce a una subsequencia infinita que no disminuye ${displaystyle x_{n_{1}leq x_{n_{2}leq x_{n_{3}leq ldots }$, demostrando así que cada secuencia infinita ${displaystyle (x_{n}}$ dentro ${displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }$ tiene una subsequencia monotona.

Ahora supongamos que uno tiene una secuencia atada ${displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }$; por la lema probada arriba existe una subsequencia monotona, igualmente ligada. Se deriva del teorema de convergencia monotona que converge esta subsequencia.

Por último, el caso general (${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$), se puede reducir al caso de ${displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }$ como sigue: dada una secuencia atada ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$, la secuencia de las primeras coordenadas es una secuencia real ligada, por lo tanto tiene una subsequencia convergente. Uno puede entonces extraer una sub-subsecuencia en la que convergen las segundas coordenadas, y así sucesivamente, hasta que al final hemos pasado de la secuencia original a una subsecuencia ${displaystyle n}$ tiempos —que sigue siendo una subsequencia de la secuencia original— en la que converge cada secuencia de coordenadas, por lo tanto la subsequencia misma es convergente.

Prueba alternativa

También hay una prueba alternativa del teorema Bolzano-Weierstrass usando intervalos anidados. Comenzamos con una secuencia atada ${displaystyle (x_{n}}$:

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  Porque... ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N}$ esta secuencia tiene un límite inferior ${displaystyle s}$ y un límite superior ${displaystyle S.$.

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  Nos llevamos ${displaystyle I_{1}=[s,S]$ como el primer intervalo para la secuencia de intervalos anidados.

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  Entonces nos separamos ${displaystyle I_{1}$ a mediados en dos subintervalos de igual tamaño.

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  Debido a que cada secuencia tiene infinitamente muchos miembros, debe haber (al menos) uno de estos subintervalos que contiene infinitamente muchos miembros de ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N}$. Tomamos este subintervalo como segundo intervalo ${displaystyle I_{2}$ de la secuencia de intervalos anidados.

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  Entonces nos separamos ${displaystyle I_{2}$ de nuevo a mediados en dos subintervalos de igual tamaño.

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  Una vez más, una de estas subintervalaciones contiene infinitamente muchos miembros de ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N}$. Tomamos este subintervalo como el tercer subintervalo ${displaystyle I_{3}$ de la secuencia de intervalos anidados.

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  Continuamos este proceso infinitamente muchas veces. Así obtenemos una secuencia de intervalos anidados.

Debido a que acortamos la longitud de un intervalo a cada paso, el límite de la longitud del intervalo es cero. Además, por intervalos anidados teorema, que dice que si cada uno ${displaystyle I_{n}$ es un intervalo cerrado y atado, digamos

${displaystyle Yo...$

con

${displaystyle a_{n}leq B_{n}$

entonces bajo la suposición de anidar, la intersección de la ${displaystyle I_{n}$ no está vacío. Por lo tanto hay un número ${displaystyle x}$ que está en cada intervalo ${displaystyle I_{n}$. Ahora mostramos que ${displaystyle x}$ es un punto de acumulación ${displaystyle (x_{n}}$.

Tome un barrio ${displaystyle U}$ de ${displaystyle x}$. Debido a que la longitud de los intervalos converge a cero, hay un intervalo ${displaystyle I_{N}$ que es un subconjunto de ${displaystyle U}$. Porque... ${displaystyle I_{N}$ contiene por construcción infinitamente muchos miembros ${displaystyle (x_{n}}$ y ${displaystyle I_{N}subseteq U}$, también ${displaystyle U}$ contiene infinitamente muchos miembros ${displaystyle (x_{n}}$. Esto prueba que ${displaystyle x}$ es un punto de acumulación ${displaystyle (x_{n}}$. Así, hay una subsequencia de ${displaystyle (x_{n}}$ que converge en ${displaystyle x}$.

Compacidad secuencial en espacios euclidianos

Suppose ${displaystyle A}$ es un subconjunto de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ con la propiedad que cada secuencia en ${displaystyle A}$ tiene una subsequencia convergendo a un elemento ${displaystyle A}$. Entonces... ${displaystyle A}$ debe ser atado, ya que de lo contrario existe una secuencia ${displaystyle x_{m}$ dentro ${displaystyle A}$ con ${displaystyle TENIENDO SUPERVISIÓN$ para todos ${displaystyle m}$, y entonces cada subsequencia es sin límites y por lo tanto no convergen. Además, ${displaystyle A}$ debe ser cerrado, desde un punto no interior ${displaystyle x}$ en el complemento ${displaystyle A}$, uno puede construir un ${displaystyle A}$- secuencia valorada convergiendo ${displaystyle x}$. Así los subconjuntos ${displaystyle A}$ de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ para que cada secuencia en A tiene una subsequencia convergendo a un elemento ${displaystyle A}$ – es decir, los subconjuntos que son secuencialmente compactos en la topología subespacial – son precisamente los subconjuntos cerrados y atados.

Esta forma del teorema deja especialmente clara la analogía del teorema Heine-Borel, que afirma que un subconjunto de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ es compacto si y sólo si está cerrado y atado. De hecho, la topología general nos dice que un espacio metroble es compacto si y sólo si es secuencialmente compacto, de modo que los teoremas Bolzano-Weierstrass y Heine-Borel son esencialmente iguales.

Aplicación a la economía

Hay diferentes conceptos de equilibrio importantes en economía, cuyas pruebas a menudo requieren variaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass. Un ejemplo es la existencia de una asignación eficiente de Pareto. Una asignación es una matriz de paquetes de consumo para los agentes en una economía, y una asignación es eficiente en el sentido de Pareto si no se le puede hacer ningún cambio que empeore la situación de ningún agente y mejore al menos a un agente (aquí las filas de la matriz de asignación deben ser clasificable por una relación de preferencia). El teorema de Bolzano-Weierstrass permite demostrar que si el conjunto de asignaciones es compacto y no vacío, entonces el sistema tiene una asignación eficiente en el sentido de Pareto.