Teorema de bloch

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Teorema fundamental en la física de materia condensada

En física de la materia condensada, el teorema de Bloch establece que las soluciones de la ecuación de Schrödinger en un potencial periódico se pueden expresar como ondas planas moduladas por funciones periódicas. El teorema lleva el nombre del físico Felix Bloch, quien lo descubrió en 1929. Matemáticamente, se escriben

Función de bloque

${displaystyle psi (mathbf {r})=e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }u(mathbf {r})}$

Donde $mathbf {r}$ es posición, $psi$ es la función de onda, $u$ es una función periódica con la misma periodicidad que el cristal, el vector de onda $mathbf {k}$ es el vector de impulso de cristal, $e$ es el número de Euler, y $i$ es la unidad imaginaria.

Las funciones de esta forma se conocen como funciones de Bloch o estados de Bloch y sirven como base adecuada para las funciones de onda o estados de los electrones en sólidos cristalinos.

La descripción de los electrones en términos de funciones de Bloch, denominados electrones de Bloch (o menos frecuentemente ondas de Bloch), subyace al concepto de electrónica. estructuras de bandas.

Estos eigentales están escritos con subscriptos como ${displaystyle psi _{nmathbf {k} }}$ , donde $n$ es un índice discreto, llamado índice de banda, que está presente porque hay muchas funciones de onda diferentes con el mismo $mathbf {k}$ (cada uno tiene un componente periódico diferente $u$ ). Dentro de una banda (es decir, para fijar $n$ ), ${displaystyle psi _{nmathbf {k} }}$ varía continuamente $mathbf {k}$ , al igual que su energía. También, ${displaystyle psi _{nmathbf {k} }}$ es único hasta un vector de celo recíproco constante $mathbf {K}$ , o ${displaystyle psi _{nmathbf {k} }=psi _{n(mathbf {k+K})}}$ . Por lo tanto, el vector de onda $mathbf {k}$ se puede restringir a la primera zona Brillouin de la celosía recíproca sin pérdida de generalidad.

Aplicaciones y consecuencias

Aplicabilidad

El ejemplo más común del teorema de Bloch es la descripción de los electrones en un cristal, especialmente al caracterizar las propiedades electrónicas del cristal, como la estructura de bandas electrónicas. Sin embargo, una descripción de onda de Bloch se aplica de manera más general a cualquier fenómeno ondulatorio en un medio periódico. Por ejemplo, una estructura dieléctrica periódica en el electromagnetismo conduce a cristales fotónicos y un medio acústico periódico conduce a cristales fonónicos. Generalmente se trata en las diversas formas de la teoría dinámica de la difracción.

Vector de onda

Una función de onda Bloch (bottom) se puede dividir en el producto de una función periódica (top) y una onda de avión (centro). El lado izquierdo y el lado derecho representan el mismo estado Bloch roto de dos maneras diferentes, involucrando el vector de onda $k 1$ (izquierda) o $k 2$ (derecho). La diferencia ( $k 1 - k 2$ ) es un vector de celo recíproco. En todas las parcelas, el azul es parte real y el rojo es parte imaginaria.

Supongamos que un electrón está en estado de Bloch.

{displaystyle psi (mathbf {r})=e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }u(mathbf {r}),}

u

psi

k

u

k

u

psi

k

también

() k + K)

K

La primera zona de Brillouin es un conjunto restringido de valores de $k$ con la propiedad de que no hay dos de ellos equivalentes, pero todos los $k$ es equivalente a un (y sólo uno) vector en la primera zona de Brillouin. Por lo tanto, si restringimos $k$ a la primera zona de Brillouin, entonces cada estado de Bloch tiene un $k único.$ . Por lo tanto, la primera zona de Brillouin se utiliza a menudo para representar todos los estados de Bloch sin redundancia, por ejemplo en una estructura de bandas, y se utiliza por la misma razón en muchos cálculos.

Cuando $k$ se multiplica por la constante de Planck reducida, es igual al momento cristalino del electrón. En relación con esto, la velocidad de grupo de un electrón se puede calcular en función de cómo varía la energía de un estado de Bloch con $k$ ; para obtener más detalles, consulte impulso de cristal.

Ejemplo detallado

Did you mean:

For a detailed example in which the consequences of Bloch 's theorem are worked out in a specific situation, see the article Particle in a one-dimensional lattice (periodic potential).

Teorema

Did you mean:

Bloch 's theorem is as follows:

Para los electrones en un cristal perfecto, existe una base de funciones de onda con las dos propiedades siguientes:

cada una de estas funciones de onda es un eigenstat de energía,
cada una de estas funciones de onda es un estado Bloch, lo que significa que esta función de onda $psi$ puede ser escrito en la forma ${displaystyle psi (mathbf {r})=e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }u(mathbf {r}),}$ Donde $u () r)$ tiene la misma periodicidad que la estructura atómica del cristal, tal que ${displaystyle u_{mathbf {k} }(mathbf {x})=u_{mathbf {k} }(mathbf {x} +mathbf {n} cdot mathbf {a}).}$

Prueba

Usando la periodicidad reticular

Preliminares: simetrías cristalinas, red y red recíproca

La propiedad que define a un cristal es la simetría traslacional, lo que significa que si el cristal se desplaza una cantidad adecuada, termina con todos sus átomos en los mismos lugares. (Un cristal de tamaño finito no puede tener una simetría de traslación perfecta, pero es una aproximación útil).

Un cristal tridimensional tiene tres vectores reticulares primitivos $a 1, a 2, a 3$ . Si el cristal es desplazado por cualquiera de estos tres vectores, o una combinación de ellos de la forma

{displaystyle n_{1}mathbf {a} _{1}+n_{2}mathbf {a} _{2}+n_{3}mathbf {a} _{3},}

n i

Otro ingrediente útil en la demostración son los vectores reticulares recíprocos. Estos son tres vectores $b 1, b 2, b 3$ (con unidades de longitud inversa), con la propiedad de que $a i \cdot b i = 2 π$ , pero $a i \cdot b j = 0$ cuando $i \neq j$ . (Para conocer la fórmula de $b i$ , consulte vector de red recíproco).

Lema sobre operadores de traducción

Vamos ${displaystyle {hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$ denota un operador de traducción que cambia cada función de onda por la cantidad $n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3$ (como arriba, $n j$ son enteros). El siguiente hecho es útil para la prueba del teorema de Bloch:

Lemma—Si una función de onda $↑$ es un eigenstat de todos los operadores de traducción (simultaneamente), entonces $↑$ Es un estado Bloch.

Prueba de Lemma

Supongamos que tenemos una función de onda $↑$ que es un eigenstate de todos los operadores de traducción. Como caso especial de esto,

{displaystyle psi (mathbf {r} +mathbf {a} _{j})=C_{j}psi (mathbf {r})}

para

j = 1, 2, 3

, donde

C j

son tres números (los eigenvalues) que no dependen de

r

. Es útil escribir los números

C j

en una forma diferente, eligiendo tres números

Silencio 1, Silencio 2, Silencio 3

con

e 2 πiθ j = C j

{displaystyle psi (mathbf {r} +mathbf {a} _{j})=e^{2pi itheta _{j}}psi (mathbf {r})}

De nuevo, el

Silencio j

son tres números que no dependen de

r

. Define

k = Silencio 1 b 1 + Silencio 2 b 2 + Silencio 3 b 3

, donde

b j

son los vectores de celo recíproco (ver arriba). Finalmente, definir

{displaystyle u(mathbf {r})=e^{-imathbf {k} cdot mathbf {r} }psi (mathbf {r}),.}

Entonces...

{displaystyle {begin{aligned}u(mathbf {r} +mathbf {a} _{j})&=e^{-imathbf {k} cdot (mathbf {r} +mathbf {a} _{j})}psi (mathbf {r} +mathbf {a} _{j})\&={big (}e^{-imathbf {k} cdot mathbf {r} }e^{-imathbf {k} cdot mathbf {a} _{j}}{big)}{big (}e^{2pi itheta _{j}}psi (mathbf {r}){big)}\&=e^{-imathbf {k} cdot mathbf {r} }e^{-2pi itheta _{j}}e^{2pi itheta _{j}}psi (mathbf {r})\&=u(mathbf {r}).end{aligned}}}

Esto prueba que

u

tiene la periodicidad de la celosía. Desde

{displaystyle psi (mathbf {r})=e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }u(mathbf {r}),}

Eso demuestra que el estado es un estado Bloch.

Did you mean:

Finally, we are ready for the main proof of Bloch 's theorem which is as follows.

Como arriba, déjese ${displaystyle {hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$ denota a operador de traducción que cambia cada función de onda por la cantidad $n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3$ , donde $n i$ son enteros. Debido a que el cristal tiene simetría traduccional, este operador se comunica con el operador Hamiltoniano. Además, cada operador de traducción de este tipo se comunica con todos los demás. Por lo tanto, hay una eigenbasis simultánea del operador Hamiltoniano y todo lo posible ${hat {T}}_{{n_{1},n_{2},n_{3}}}!$ operador. Esta base es lo que estamos buscando. Las funciones de onda en esta base son eigenstates energéticos (porque son eigenstates del Hamiltonian), y también son estados Bloch (porque son eigenstates de los operadores de traducción; ver Lemma arriba).

Usar operadores

Definimos el operador de traducción

{displaystyle {begin{aligned}{hat {mathbf {T} }}_{mathbf {n} }psi (mathbf {r})&=psi (mathbf {r} +mathbf {T} _{mathbf {n} })\&=psi (mathbf {r} +n_{1}mathbf {a} _{1}+n_{2}mathbf {a} _{2}+n_{3}mathbf {a} _{3})\&=psi (mathbf {r} +mathbf {A} mathbf {n})end{aligned}}}

{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}mathbf {a} _{1}&mathbf {a} _{2}&mathbf {a} _{3}end{bmatrix}},quad mathbf {n} ={begin{pmatrix}n_{1}\n_{2}\n_{3}end{pmatrix}}}

{displaystyle U(mathbf {x} +mathbf {T} _{mathbf {n} })=U(mathbf {x})}

{displaystyle {hat {H}}={frac {{hat {mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(mathbf {x})}

{displaystyle [{hat {H}},{hat {mathbf {T} }}_{mathbf {n} }]=0}

{displaystyle {hat {mathbf {T} }}_{mathbf {n} }psi (mathbf {x})=lambda _{mathbf {n} }psi (mathbf {x})}

{displaystyle {hat {mathbf {T} }}_{mathbf {n} }}

{displaystyle {hat {mathbf {T} }}_{mathbf {n} _{1}}{hat {mathbf {T} }}_{mathbf {n} _{2}}psi (mathbf {x})=psi (mathbf {x} +mathbf {A} mathbf {n} _{1}+mathbf {A} mathbf {n} _{2})={hat {mathbf {T} }}_{mathbf {n} _{1}+mathbf {n} _{2}}psi (mathbf {x})}

psi(mathbf{x})

{displaystyle lambda _{mathbf {n} _{1}}lambda _{mathbf {n} _{2}}=lambda _{mathbf {n} _{1}+mathbf {n} _{2}}}

Esto es cierto para

{displaystyle lambda _{mathbf {n} }=e^{smathbf {n} cdot mathbf {a} }}

{displaystyle sin mathbb {C} }

si usamos la condición de normalización sobre una sola celda primitiva del volumen V

{displaystyle 1=int _{V}|psi (mathbf {x})|^{2}dmathbf {x} =int _{V}left|{hat {mathbf {T} }}_{mathbf {n} }psi (mathbf {x})right|^{2}dmathbf {x} =|lambda _{mathbf {n} }|^{2}int _{V}|psi (mathbf {x})|^{2}dmathbf {x} }

{displaystyle 1=|lambda _{mathbf {n} }|^{2}}

{displaystyle s=ik}

{displaystyle kin mathbb {R} }

{displaystyle mathbf {{hat {T}}_{n}} psi (mathbf {x})=psi (mathbf {x} +mathbf {n} cdot mathbf {a})=e^{ikmathbf {n} cdot mathbf {a} }psi (mathbf {x})}

{displaystyle psi _{mathbf {k} }(mathbf {x})=e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})}

{displaystyle u_{mathbf {k} }(mathbf {x})=u_{mathbf {k} }(mathbf {x} +mathbf {A} mathbf {n})}

Usando la teoría de grupos

Prueba con la teoría del personaje

Todas las traducciones son unitarias y abelianas. Las traducciones se pueden escribir en términos de vectores de unidad

{displaystyle {boldsymbol {tau }}=sum _{i=1}^{3}n_{i}mathbf {a} _{i}}

Podemos pensar en esto como operadores de conmutación

{displaystyle {hat {boldsymbol {tau }}}={hat {boldsymbol {tau }}}_{1}{hat {boldsymbol {tau }}}_{2}{hat {boldsymbol {tau }}}_{3}}

Donde

{displaystyle {hat {boldsymbol {tau }}}_{i}=n_{i}{hat {mathbf {a} }}_{i}}

La conmutación de la ${displaystyle {hat {boldsymbol {tau }}}_{i}}$ Los operadores dan tres subgrupos cíclicos de conmutación (aunque pueden ser generados por un solo elemento) que son infinitos, 1-dimensionales y abelianos. Todas las representaciones irreducibles de los grupos abelianos son una dimensión.

Dado que son una dimensión la representación de la matriz y el carácter son iguales. El personaje es la representación sobre los números complejos del grupo o también la traza de la representación que en este caso es una matriz dimensional. Todos estos subgrupos, dado que son cíclicos, tienen caracteres que son las raíces apropiadas de la unidad. De hecho tienen un generador $gamma$ que obedecerá ${displaystyle gamma ^{n}=1}$ , y por lo tanto el carácter ${displaystyle chi (gamma)^{n}=1}$ . Tenga en cuenta que esto es sencillo en el caso del grupo cíclico finito pero en el caso infinito contable del grupo cíclico infinito (es decir, el grupo de traducción aquí) hay un límite para $nto infty$ donde el personaje permanece finito.

Dado el carácter es una raíz de unidad, para cada subgrupo el carácter puede ser escrito como

{displaystyle chi _{k_{1}}({hat {boldsymbol {tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}

Si presentamos la condición límite de Born-von Karman sobre el potencial:

{displaystyle Vleft(mathbf {r} +sum _{i}N_{i}mathbf {a} _{i}right)=V(mathbf {r} +mathbf {L})=V(mathbf {r})}

donde L es una periodicidad macroscópica en la dirección

mathbf {a}

que también se puede ver como un

a_{i}

Donde

{textstyle mathbf {L} =sum _{i}N_{i}mathbf {a} _{i}}

Esta sustitución en el tiempo independiente Schrödinger ecuación con un simple efectivo Hamiltonian

{displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+V(mathbf {r})}

induce una periodicidad con la función de onda:

{displaystyle psi left(mathbf {r} +sum _{i}N_{i}mathbf {a} _{i}right)=psi (mathbf {r})}

Y para cada dimensión un operador de traducción con un período L

{displaystyle {hat {P}}_{varepsilon |tau _{i}+L_{i}}={hat {P}}_{varepsilon |tau _{i}}}

Desde aquí podemos ver que también el carácter será invariable por una traducción de $L_i$ :

{displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}

y de la última ecuación obtenemos para cada dimensión una condición periódica:

{displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2pi m_{1}}

Donde

{displaystyle m_{1}in mathbb {Z} }

es un entero y

{displaystyle k_{1}={frac {2pi m_{1}}{L_{1}}}}

El vector de onda $k_{1}$ identificar la representación irreducible de la misma manera $m_{1}$ , y $L_{1}$ es una longitud periódica macroscópica del cristal en dirección $a_{1}$ . En este contexto, el vector de onda sirve como un número cuántico para el operador de traducción.

Podemos generalizar esto para 3 dimensiones ${displaystyle chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{imathbf {k} cdot {boldsymbol {tau }}}}$ y la fórmula genérica para la función de onda se convierte en:

{displaystyle {hat {P}}_{R}psi _{j}=sum _{alpha }psi _{alpha }chi _{alpha j}(R)}

i.e. especializándolo para una traducción

{displaystyle {hat {P}}_{varepsilon |{boldsymbol {tau }}}psi (mathbf {r})=psi (mathbf {r})e^{imathbf {k} cdot {boldsymbol {tau }}}=psi (mathbf {r} +{boldsymbol {tau }})}

y hemos probado el teorema de Bloch.

Aparte de los tecnicismos de la teoría de grupos, esta prueba es interesante porque queda claro cómo generalizar el teorema de Bloch para grupos que no son solo traducciones.

Esto generalmente se hace para grupos espaciales que son una combinación de una traslación y un grupo de puntos y se usa para calcular la estructura de banda, el espectro y los calores específicos de cristales dada una simetría de grupo de cristal específica como FCC o BCC y eventualmente una base extra.

En esta prueba también es posible notar cómo es clave que el grupo de puntos extra esté impulsado por una simetría en el potencial efectivo, pero conmutará con el hamiltoniano.

En la versión generalizada del teorema de Bloch, la transformada de Fourier, es decir, la expansión de la función de onda, se generaliza a partir de una transformada de Fourier discreta que es aplicable sólo para grupos cíclicos y, por lo tanto, se traduce en una expansión de caracteres de la función de onda donde los caracteres se dan a partir del grupo de puntos finitos específico.

Aquí también es posible ver cómo los personajes (como las invariantes de las representaciones irreductibles) pueden ser tratados como los bloques de construcción fundamentales en lugar de las representaciones irreductibles mismas.

Velocidad y masa efectiva

Si aplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo a la función de onda de Bloch obtenemos

{displaystyle {hat {H}}_{mathbf {k} }u_{mathbf {k} }(mathbf {r})=left[{frac {hbar ^{2}}{2m}}left(-inabla +mathbf {k} right)^{2}+U(mathbf {r})right]u_{mathbf {k} }(mathbf {r})=varepsilon _{mathbf {k} }u_{mathbf {k} }(mathbf {r})}

{displaystyle u_{mathbf {k} }(mathbf {r})=u_{mathbf {k} }(mathbf {r} +mathbf {R})}

{displaystyle {mathbf {k} }}

{displaystyle varepsilon _{n}(mathbf {k})}

{displaystyle {mathbf {k} }}

Prueba

{displaystyle E_{mathbf {k} }left(e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})right)=left[{frac {-hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+U(mathbf {x})right]left(e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})right)}

Nos quedamos con

{displaystyle {begin{aligned}E_{mathbf {k} }e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})&={frac {-hbar ^{2}}{2m}}nabla cdot left(imathbf {k} e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})+e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }nabla u_{mathbf {k} }(mathbf {x})right)+U(mathbf {x})e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})\[1.2ex]E_{mathbf {k} }e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})&={frac {-hbar ^{2}}{2m}}left(imathbf {k} cdot left(imathbf {k} e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})+e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }nabla u_{mathbf {k} }(mathbf {x})right)+imathbf {k} cdot e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }nabla u_{mathbf {k} }(mathbf {x})+e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }nabla ^{2}u_{mathbf {k} }(mathbf {x})right)+U(mathbf {x})e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})\[1.2ex]E_{mathbf {k} }e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})&={frac {hbar ^{2}}{2m}}left(mathbf {k} ^{2}e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})-2imathbf {k} cdot e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }nabla u_{mathbf {k} }(mathbf {x})-e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }nabla ^{2}u_{mathbf {k} }(mathbf {x})right)+U(mathbf {x})e^{imathbf {k} cdot mathbf {x} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})\[1.2ex]E_{mathbf {k} }u_{mathbf {k} }(mathbf {x})&={frac {hbar ^{2}}{2m}}left(-inabla +mathbf {k} right)^{2}u_{mathbf {k} }(mathbf {x})+U(mathbf {x})u_{mathbf {k} }(mathbf {x})end{aligned}}}

Esto muestra cómo el impulso efectivo puede verse como compuesto de dos partes,

{displaystyle {hat {mathbf {p} }}_{text{eff}}=-ihbar nabla +hbar mathbf {k}}

{displaystyle -ihbar nabla }

{displaystyle hbar mathbf {k} }

Para la velocidad efectiva podemos derivar

velocidad media de un electron Bloch

${displaystyle {frac {partial varepsilon _{n}}{partial mathbf {k} }}={frac {hbar ^{2}}{m}}int dmathbf {r} ,psi _{nmathbf {k} }^{*}(-inabla)psi _{nmathbf {k} }={frac {hbar }{m}}langle {hat {mathbf {p} }}rangle =hbar langle {hat {mathbf {v} }}rangle }$

Prueba

Evaluamos los derivados ${displaystyle {frac {partial varepsilon _{n}}{partial mathbf {k} }}}$ y ${displaystyle {frac {partial ^{2}varepsilon _{n}(mathbf {k})}{partial k_{i}partial k_{j}}}}$ dado que son los coeficientes de la siguiente expansión en $q$ Donde $q$ se considera pequeña con respecto a $k$

{displaystyle varepsilon _{n}(mathbf {k} +mathbf {q})=varepsilon _{n}(mathbf {k})+sum _{i}{frac {partial varepsilon _{n}}{partial k_{i}}}q_{i}+{frac {1}{2}}sum _{ij}{frac {partial ^{2}varepsilon _{n}}{partial k_{i}partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})}

Dado

{displaystyle varepsilon _{n}(mathbf {k} +mathbf {q})}

son eigenvalues de

{displaystyle {hat {H}}_{mathbf {k} +mathbf {q} }}

Podemos considerar el siguiente problema de perturbación en q:

{displaystyle {hat {H}}_{mathbf {k} +mathbf {q} }={hat {H}}_{mathbf {k} }+{frac {hbar ^{2}}{m}}mathbf {q} cdot (-inabla +mathbf {k})+{frac {hbar ^{2}}{2m}}q^{2}}

La teoría de la perturbación del segundo orden establece que

{displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+int dmathbf {r} ,psi _{n}^{*}{hat {V}}psi _{n}+sum _{n'neq n}{frac {|int dmathbf {r} ,psi _{n}^{*}{hat {V}}psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...}

Para calcular el orden lineal

q

{displaystyle sum _{i}{frac {partial varepsilon _{n}}{partial k_{i}}}q_{i}=sum _{i}int dmathbf {r} ,u_{nmathbf {k} }^{*}{frac {hbar ^{2}}{m}}(-inabla +mathbf {k})_{i}q_{i}u_{nmathbf {k} }}

donde las integraciones están sobre una célula primitiva o todo el cristal, dado si

{displaystyle int dmathbf {r} ,u_{nmathbf {k} }^{*}u_{nmathbf {k} }}

se normaliza a través de la célula o el cristal.

Podemos simplificar $q$ para obtener

{displaystyle {frac {partial varepsilon _{n}}{partial mathbf {k} }}={frac {hbar ^{2}}{m}}int dmathbf {r} ,u_{nmathbf {k} }^{*}(-inabla +mathbf {k})u_{nmathbf {k} }}

y podemos reinsertar las funciones de onda completa

{displaystyle {frac {partial varepsilon _{n}}{partial mathbf {k} }}={frac {hbar ^{2}}{m}}int dmathbf {r} ,psi _{nmathbf {k} }^{*}(-inabla)psi _{nmathbf {k} }}

Para la masa efectiva

teorema de masa eficaz

${displaystyle {frac {partial ^{2}varepsilon _{n}(mathbf {k})}{partial k_{i}partial k_{j}}}={frac {hbar ^{2}}{m}}delta _{ij}+left({frac {hbar ^{2}}{m}}right)^{2}sum _{n'neq n}{frac {langle nmathbf {k} |-inabla _{i}|n'mathbf {k} rangle langle n'mathbf {k} |-inabla _{j}|nmathbf {k} rangle +langle nmathbf {k} |-inabla _{j}|n'mathbf {k} rangle langle n'mathbf {k} |-inabla _{i}|nmathbf {k} rangle }{varepsilon _{n}(mathbf {k})-varepsilon _{n'}(mathbf {k})}}}$

Prueba

El segundo mandato

{displaystyle {frac {1}{2}}sum _{ij}{frac {partial ^{2}varepsilon _{n}}{partial k_{i}partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={frac {hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+sum _{n'neq n}{frac {|int dmathbf {r} ,u_{nmathbf {k} }^{*}{frac {hbar ^{2}}{m}}mathbf {q} cdot (-inabla +mathbf {k})u_{n'mathbf {k} }|^{2}}{varepsilon _{nmathbf {k} }-varepsilon _{n'mathbf {k} }}}}

Otra vez con

{displaystyle psi _{nmathbf {k} }=|nmathbf {k} rangle =e^{imathbf {k} mathbf {x} }u_{nmathbf {k} }}

{displaystyle {frac {1}{2}}sum _{ij}{frac {partial ^{2}varepsilon _{n}}{partial k_{i}partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={frac {hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+sum _{n'neq n}{frac {|langle nmathbf {k} |{frac {hbar ^{2}}{m}}mathbf {q} cdot (-inabla)|n'mathbf {k} rangle |^{2}}{varepsilon _{nmathbf {k} }-varepsilon _{n'mathbf {k} }}}}

Eliminar

q_{i}

q_{j}

tenemos el teorema

{displaystyle {frac {partial ^{2}varepsilon _{n}(mathbf {k})}{partial k_{i}partial k_{j}}}={frac {hbar ^{2}}{m}}delta _{ij}+left({frac {hbar ^{2}}{m}}right)^{2}sum _{n'neq n}{frac {langle nmathbf {k} |-inabla _{i}|n'mathbf {k} rangle langle n'mathbf {k} |-inabla _{j}|nmathbf {k} rangle +langle nmathbf {k} |-inabla _{j}|n'mathbf {k} rangle langle n'mathbf {k} |-inabla _{i}|nmathbf {k} rangle }{varepsilon _{n}(mathbf {k})-varepsilon _{n'}(mathbf {k})}}}

La cantidad de la derecha multiplicada por un factor ${displaystyle {frac {1}{hbar ^{2}}}}$ se llama tensor de masa eficaz ${displaystyle mathbf {M} (mathbf {k})}$ y podemos utilizarlo para escribir una ecuación semiclásica para un portador de carga en una banda

Segunda orden ecuación semi-clásica de movimiento para un portador de carga en una banda

${displaystyle mathbf {M} (mathbf {k})mathbf {a} =mp eleft(mathbf {E} +mathbf {v} (mathbf {k})times mathbf {B} right)}$

Donde $mathbf {a}$ es una aceleración. Esta ecuación es análoga al tipo de onda de Broglie de aproximación

Primera orden ecuación semi-clásica del movimiento para el electrón en una banda

${displaystyle hbar {dot {k}}=-eleft(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B} right)}$

Como interpretación intuitiva, las dos ecuaciones anteriores se parecen formalmente y están en una analogía semiclásica con la ecuación de Newton en una fuerza externa de Lorentz.

Historia y ecuaciones relacionadas

El concepto de estado de Bloch fue desarrollado por Felix Bloch en 1928 para describir la conducción de electrones en sólidos cristalinos. Sin embargo, las mismas matemáticas subyacentes también fueron descubiertas de forma independiente varias veces: por George William Hill (1877), Gaston Floquet (1883) y Alexander Lyapunov (1892). Como resultado, es común una variedad de nomenclaturas: aplicada a ecuaciones diferenciales ordinarias, se llama teoría de Floquet (u ocasionalmente teorema de Lyapunov-Floquet). La forma general de una ecuación de potencial periódico unidimensional es la ecuación de Hill:

{displaystyle {frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}

f () t)

Did you mean:

Mathematically Bloch 's theorem is interpreted in terms of unitary characters of a lattice group, and is applied to spectral geometry.

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