Teorema de Apolonio

En geometría, el teorema de Apolo es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con la longitud de sus lados. Afirma que la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera de un triángulo es igual al doble del cuadrado de la mitad del tercer lado, más el doble del cuadrado de la mediana que divide el tercer lado. El teorema recibe su nombre del antiguo matemático griego Apolonio de Perga.

En cualquier triángulo ${\displaystyle ABC,}$ si ${\displaystyle AD!$ es una mediana, entonces $${\displaystyle Silencio. }$$Es un caso especial del teorema de Stewart. Para un triángulo isosceles con ${\displaystyle TENAB SUPERVISIÓN=$ la mediana ${\displaystyle AD!$ es perpendicular a ${\displaystyle BC!$ y el teorema reduce al teorema pitagórico para el triángulo ${\displaystyle ADB}$ (o triángulo ${\displaystyle ADC}$). Por el hecho de que las diagonales de un biseco paralelogramo entre sí, el teorema es equivalente a la ley paralelograma.

El teorema puede demostrarse como un caso especial del teorema de Stewart, o puede demostrarse utilizando vectores (véase la ley del paralelogramo). La siguiente es una demostración independiente utilizando la ley de los cosenos.

Deja que el triángulo tenga lados ${\displaystyle a,b,c}$ con mediana ${\displaystyle d}$ dibujado a lado ${\displaystyle a.}$ Vamos. ${\displaystyle m}$ ser la longitud de los segmentos de ${\displaystyle a}$ formado por la mediana, así que ${\displaystyle m}$ es la mitad ${\displaystyle a.}$ Deja que los ángulos se formen entre ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle d}$ Ser ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \theta ^{\prime }$ Donde ${\displaystyle \theta }$ Incluye ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle \theta ^{\prime }$ Incluye ${\displaystyle c.}$ Entonces... ${\displaystyle \theta ^{\prime }$ es el suplemento de ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta.}$ La ley de los cosines para ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \theta ^{\prime }$ declara que $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2} limit=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2} limit=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\\=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta.$$

Añadir las ecuaciones primera y tercera para obtener $${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2}}$$según sea necesario.

• Fórmulas que implican longitudes de las medianas – Segmento de línea que une el vértice de un triángulo al punto medio del lado opuesto

• Apollonius Theorem en PlanetMath.
• David B. Surowski: Matemáticas avanzadas de alta escuela. p. 27