Teorema de Abel-Ruffini

En matemáticas, el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como teorema de la imposibilidad de Abel) establece que no hay solución en radicales a las ecuaciones polinómicas generales de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios. Aquí, general significa que los coeficientes de la ecuación se ven y manipulan como indeterminados.

El teorema lleva el nombre de Paolo Ruffini, quien hizo una prueba incompleta en 1799 (que fue refinada y completada en 1813 y aceptada por Cauchy) y Niels Henrik Abel, quien proporcionó una prueba en 1824.

El teorema de Abel-Ruffini se refiere también al resultado ligeramente más fuerte de que hay ecuaciones de grado cinco y superiores que no pueden resolverse mediante radicales. Esto no se sigue del enunciado del teorema de Abel, sino que es un corolario de su prueba, ya que su prueba se basa en el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes de la ecuación no son el polinomio cero. Esta declaración mejorada se deriva directamente de la teoría de Galois § Un ejemplo quíntico no solucionable. La teoría de Galois implica también que

x5− − x− − 1=0{displaystyle x^{5}-x-1=0}

es la ecuación más simple que no se puede resolver en radicales, y que casi todos los polinomios de grado cinco o superior no se pueden resolver en radicales.

La imposibilidad de resolver en grado cinco o superior contrasta con el caso de grado inferior: se tiene la fórmula cuadrática, la fórmula cúbica y la fórmula cuartica para los grados dos, tres y cuatro, respectivamente.

Contexto

Las ecuaciones polinómicas de grado dos se pueden resolver con la fórmula cuadrática, que se conoce desde la antigüedad. De manera similar, la fórmula cúbica para el grado tres y la fórmula cuartica para el grado cuatro se encontraron durante el siglo XVI. En ese momento un problema fundamental era si las ecuaciones de mayor grado podían resolverse de manera similar.

El hecho de que toda ecuación polinomial de grado positivo tiene soluciones, posiblemente no reales, se afirmó durante el siglo XVII, pero se demostró por completo a principios del siglo XIX. Este es el teorema fundamental del álgebra, que no proporciona ninguna herramienta para calcular exactamente las soluciones, aunque el método de Newton permite aproximar las soluciones con la precisión deseada.

Desde el siglo XVI hasta principios del siglo XIX, el principal problema del álgebra fue buscar una fórmula para las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado cinco y superiores, de ahí el nombre de "teorema fundamental del álgebra" 34;. Esto significaba una solución en radicales, es decir, una expresión que involucraba solo los coeficientes de la ecuación y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces enésimas.

El teorema Abel-Ruffini demuestra que esto es imposible. Sin embargo, esta imposibilidad no implica que una ecuación específica de ningún grado no pueda ser resuelta en radicales. Por el contrario, hay ecuaciones de cualquier grado que pueden resolverse en radicales. Este es el caso de la ecuación xn− − 1=0{displaystyle x^{n}-1=0} para cualquier n, y las ecuaciones definidas por polinomios ciclotómicos, todas cuyas soluciones se pueden expresar en radicales.

La prueba del teorema de Abel no contiene explícitamente la afirmación de que hay ecuaciones específicas que no se pueden resolver con radicales. Tal afirmación no es una consecuencia de la declaración del teorema de Abel, ya que la declaración no excluye la posibilidad de que "cada ecuación quíntica particular pueda ser soluble, con una fórmula especial para cada ecuación".; Sin embargo, la existencia de ecuaciones específicas que no se pueden resolver con radicales parece ser una consecuencia de la prueba de Abel, ya que la prueba usa el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes no son el polinomio cero y, dado un número finito de polinomios, hay valores de las variables en los que ninguno de los polinomios toma el valor cero.

Poco después de la publicación de la prueba de Abel, Évariste Galois introdujo una teoría, ahora llamada teoría de Galois, que permite decidir, para cualquier ecuación dada, si es resoluble en radicales (esto es teórico, ya que, en la práctica, esta decisión puede necesitar un gran número de cálculos, lo que puede resultar difícil, incluso con ordenadores potentes). Esta decisión se hace introduciendo polinomios auxiliares, llamados resolventes, cuyos coeficientes dependen polinómicamente de los del polinomio original. El polinomio es soluble en radicales si y solo si algún resolvente tiene una raíz racional.

Prueba

La demostración del teorema de Abel-Ruffini es anterior a la teoría de Galois. Sin embargo, la teoría de Galois permite una mejor comprensión del tema y las pruebas modernas generalmente se basan en ella, mientras que las pruebas originales del teorema de Abel-Ruffini todavía se presentan con fines históricos.

Las demostraciones basadas en la teoría de Galois comprenden cuatro pasos principales: la caracterización de ecuaciones solubles en términos de teoría de campos; el uso de la correspondencia de Galois entre subcampos de un campo dado y los subgrupos de su grupo de Galois para expresar esta caracterización en términos de grupos solubles; la prueba de que el grupo simétrico no es soluble si su grado es cinco o mayor; y la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico.

Soluciones algebraicas y teoría de campos

Una solución algebraica de una ecuación polinomial es una expresión que involucra las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y extracciones de raíces. Tal expresión puede verse como la descripción de un cálculo que parte de los coeficientes de la ecuación que se va a resolver y procede calculando algunos números, uno tras otro.

En cada paso del cálculo, se puede considerar el campo más pequeño que contiene todos los números que se han calculado hasta el momento. Este campo se cambia solo para los pasos que involucran el cálculo de una raíz enésima.

Entonces, una solución algebraica produce una secuencia

F0⊆ ⊆ F1⊆ ⊆ ⋯ ⋯ ⊆ ⊆ Fk{displaystyle F_{0}subseteq F_{1}subseteq cdots subseteq F_{k}

de campos y elementos xi▪ ▪ Fi{displaystyle x_{i}in F_{i} tales que Fi=Fi− − 1()xi){displaystyle F_{i}=F_{i-1}(x_{i}} para i=1,...... ,k,{displaystyle i=1,ldotsk,} con xini▪ ▪ Fi− − 1{displaystyle x_{i} {n_{i}in F_{i-1} para algunos enteros 1.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ni■1.{displaystyle No.1.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d579ec64a4df7340159f2e7997a77a9ede1fae1" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.102ex; height:2.509ex;"/> Una solución algebraica de la ecuación polinomial inicial existe si y sólo si existe tal secuencia de campos tal que Fk{displaystyle F_{k} contiene una solución.

Para tener extensiones normales, que son fundamentales para la teoría, uno debe refinar la secuencia de campos como sigue. Si Fi− − 1{displaystyle F_{i-1} no contiene todo ni{displaystyle No.- las raíces de la unidad, uno introduce el campo Ki{displaystyle K_{i} que se extiende Fi− − 1{displaystyle F_{i-1} por una raíz primitiva de la unidad, y una redesfera Fi{displaystyle F_{i} como Ki()xi).{displaystyle K_{i}(x_{i}).}

Entonces, si se parte de una solución en términos de radicales, se obtiene una secuencia creciente de campos tal que el último contiene la solución, y cada uno es una extensión normal del anterior con un grupo de Galois que es cíclico.

Por el contrario, si uno tiene tal secuencia de campos, la ecuación se puede resolver en términos de radicales. Para probar esto, basta probar que una extensión normal con un grupo de Galois cíclico se puede construir a partir de una sucesión de extensiones radicales.

Correspondencia de Galois

La correspondencia Galois establece una correspondencia entre las subextensiones de una extensión normal de campo F/E{displaystyle F/E} y los subgrupos del grupo Galois de la extensión. Esta correspondencia mapea un campo K tales E⊆ ⊆ K⊆ ⊆ F{displaystyle Esubseteq Ksubseteq F. al grupo Galois Gal⁡ ⁡ ()F/K){displaystyle operatorname {Gal} (F/K)} de los automorfismos F Que se vaya K fijo, y, por el contrario, mapas un subgrupo H de Gal⁡ ⁡ ()F/E){displaystyle operatorname {Gal} (F/E)} a la esfera de los elementos F que se fijan H.

La sección anterior muestra que una ecuación es resoluble en términos de radicales si y solo si el grupo de Galois de su campo divisorio (el cuerpo más pequeño que contiene todas las raíces) es resoluble, es decir, contiene una secuencia de subgrupos tales que cada uno es normal en el anterior, con un grupo cociente que es cíclico. (Los grupos solubles se definen comúnmente con abelianos en lugar de grupos de cocientes cíclicos, pero el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos muestra que las dos definiciones son equivalentes).

Por lo tanto, para probar el teorema Abel-Ruffini, sigue siendo probar que el grupo simétrico S5{displaystyle S_{5} no es solvable, y que hay polinomios con grupo simétrico de Galois.

Grupos simétricos solucionables

Para n ■ 4, el grupo simétrico Sn{displaystyle {fn} {fn}} {fn}}} grado n tiene sólo el grupo alternante An{displaystyle {fn} {fn}}} como subgrupo normal notrivial (ver subgrupos normales del grupo simétrico). Para n ■ 4, el grupo alternante An{displaystyle {fn} {fn}}} no es abeliano y simple (es decir, no tiene ningún subgrupo normal notrivial). Esto implica que ambos An{displaystyle {fn} {fn}}} y Sn{displaystyle {fn} {fn}} {fn}}} no son solvables para n ■ 4. Así, el teorema Abel-Ruffini resulta de la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico; esto se mostrará en la siguiente sección.

Por otro lado, para n ≤ 4, el grupo simétrico y todos sus subgrupos son solucionables. De alguna manera, esto explica la existencia de las fórmulas cuadrática, cúbica y cuártica, ya que un resultado importante de la teoría de Galois es que una ecuación polinomial tiene una solución en radicales si y solo si su grupo de Galois es soluble (el término "soluble grupo" tiene su origen en este teorema).

Polinomios con grupos de Galois simétricos

Ecuación general

La general o genérica ecuación polinomial de grado n es la ecuacion

xn+a1xn− − 1+⋯ ⋯ +an− − 1x+an=0,{displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,}

Donde a1,...... ,an{displaystyle a_{1},ldotsa_{n} son indeterminados distintos. Esta es una ecuación definida sobre el campo F=Q()a1,...... ,an){displaystyle F=mathbb {Q} (a_{1},ldotsa_{n}} de las fracciones racionales en a1,...... ,an{displaystyle a_{1},ldotsa_{n} con coeficientes de número racionales. El teorema original Abel-Ruffini afirma que, para n ■ 4, esta ecuación no es solvable en radicales. En vista de las secciones anteriores, esto resulta del hecho de que el grupo Galois sobre F de la ecuación es el grupo simétrico Sn{displaystyle {fn} {fn}} {fn}}} (este grupo Galois es el grupo de automorfismos de campo del campo de división de la ecuación que fija los elementos de F, donde el campo de división es el campo más pequeño que contiene todas las raíces de la ecuación).

Para probar que el grupo Galois es Sn,{displaystyle {máthcal}_{n}} es más simple empezar desde las raíces. Vamos x1,...... ,xn{displaystyle x_{1},ldotsx_{n} ser nuevos indeterminados, destinados a ser las raíces, y considerar el polinomio

P()x)=xn+b1xn− − 1+⋯ ⋯ +bn− − 1x+bn=()x− − x1)⋯ ⋯ ()x− − xn).{displaystyle P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})cdots (x-x_{n}).}

Vamos H=Q()x1,...... ,xn){displaystyle H=mathbb {Q} (x_{1},ldotsx_{n}) } ser el campo de las fracciones racionales en x1,...... ,xn,{displaystyle x_{1},ldotsx_{n} y K=Q()b1,...... ,bn){displaystyle K=mathbb {Q} (b_{1},ldotsb_{n}} ser su subcampo generado por los coeficientes de P()x).{displaystyle P(x).} Las permutaciones de xi{displaystyle x_{i}} inducir automorfismos de H. Las fórmulas de Vieta implican que cada elemento de K es una función simétrica de la xi,{displaystyle x_{i},} y es así fijado por todos estos automorfismos. Resulta que el grupo Galois Gal⁡ ⁡ ()H/K){displaystyle operatorname {Gal} (H/K)} es el grupo simétrico Sn.{displaystyle {Mathcal {S}_{n}}

El teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que bi{displaystyle B_{i} son algebraica independiente, y por lo tanto que el mapa que envía cada ai{displaystyle A_{i} al correspondiente bi{displaystyle B_{i} es un isomorfismo de campo F a K. Esto significa que uno puede considerar P()x)=0{displaystyle P(x)=0} como una ecuación genérica. Esto termina la prueba de que el grupo Galois de una ecuación general es el grupo simétrico, y por lo tanto prueba el teorema original Abel-Ruffini, que afirma que la ecuación polinomio general de grado n no se puede resolver en radicales para n ■ 4.

Ejemplo explícito

La ecuación x5− − x− − 1=0{displaystyle x^{5}-x-1=0} no es solvable en radicales, como se explica a continuación.

Vamos q Ser x5− − x− − 1{displaystyle x^{5}-x-1}. Vamos G ser su grupo Galois, que actúa fielmente en el conjunto de complejas raíces q. La numeración de las raíces permite identificar G con un subgrupo del grupo simétrico S5{displaystyle {fnMithcal {}} {5}} {fnK}}. Desde qmod2{displaystyle q{bmod {2}} factores ()x2+x+1)()x3+x2+1){displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)} dentro F2[x]{displaystyle mathbb {F} _{2}[x], el grupo G contiene una permutación g que es un producto de ciclos descomunales de longitudes 2 y 3 (en general, cuando un polinomio de entero monico reduce el modulo a un producto de polinomios irreducibles monicos distintos, los grados de los factores dan las longitudes de los ciclos descomunales en alguna permutación perteneciente al grupo Galois); entonces G también contiene g3{displaystyle g^{3}, que es una transposición. Desde qmod3{displaystyle q{bmod {3}} es irreducible en F3[x]{displaystyle mathbb {F} _{3}[x], el mismo principio muestra que G contiene un 5-ciclo. Porque 5 es primo, cualquier transposición y 5 ciclos en S5{displaystyle {fnMithcal {}} {5}} {fnK}} generar todo el grupo; ver Grupo Simétrico § Generadores y relaciones. Así G=S5{displaystyle G={mátcal {S}_{5}. Desde el grupo S5{displaystyle {fnMithcal {}} {5}} {fnK}} no es solvable, la ecuación x5− − x− − 1=0{displaystyle x^{5}-x-1=0} no es solvable en radicales.

Disolvente de Cayley

Se puede probar si un quíntico específico se puede resolver en radicales usando el resolvente de Cayley. Este es un polinomio univariado de grado seis cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de una quíntica genérica. Una quíntica irreducible específica es resoluble en radicales si y solo, cuando sus coeficientes se sustituyen en el resolvente de Cayley, el polinomio sextico resultante tiene una raíz racional.

Historia

Alrededor de 1770, Joseph Louis Lagrange inició el trabajo preliminar que unificó los muchos trucos diferentes que se habían utilizado hasta ese momento para resolver ecuaciones, relacionándolos con la teoría de grupos de permutaciones, en forma de resolventes de Lagrange. Este trabajo innovador de Lagrange fue un precursor de la teoría de Galois, y su fracaso en el desarrollo de soluciones para ecuaciones de quinto grado y superiores insinuó que tales soluciones podrían ser imposibles, pero no proporcionó una prueba concluyente. La primera persona que conjeturó que el problema de resolver las quínticas por radicales podría ser imposible de resolver fue Carl Friedrich Gauss, quien escribió en 1798 en la sección 359 de su libro Disquisitiones Arithmeticae (que se publicaría recién en 1801) que "hay pocas dudas de que este problema no desafía tanto los métodos modernos de análisis como que propone lo imposible". Al año siguiente, en su tesis, escribió: "Después de que el trabajo de muchos geómetras dejó pocas esperanzas de llegar a la resolución algebraica de la ecuación general, parece cada vez más probable que esta resolución sea imposible y contradictoria". #34; Y añadió 'Quizás no sea tan difícil probar, con todo rigor, la imposibilidad por el quinto grado'. Expondré mis investigaciones sobre esto con más detalle en otro lugar." En realidad, Gauss no publicó nada más sobre este tema.

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

Paolo Ruffini estuvo a punto de demostrar el teorema por primera vez en 1799. Envió su demostración a varios matemáticos para que la reconocieran, entre ellos Lagrange (que no respondió) y Augustin-Louis Cauchy, quien le envió una carta que decía: & #34;Su memoria sobre la solución general de ecuaciones es un trabajo que siempre he creído que los matemáticos deberían tener en cuenta y que, en mi opinión, demuestra de manera concluyente la insolubilidad algebraica de las ecuaciones generales de grado superior al cuarto.; Sin embargo, en general, la prueba de Ruffini no se consideró convincente. Abel escribió: "El primero y, si no me equivoco, el único que, antes que yo, ha buscado demostrar la imposibilidad de la solución algebraica de las ecuaciones generales es el matemático Ruffini. Pero sus memorias son tan complicadas que es muy difícil determinar la validez de su argumento. Me parece que su argumento no es del todo satisfactorio."

La prueba también, como se descubrió más tarde, era incompleta. Ruffini asumió que todos los radicales con los que estaba tratando podrían expresarse de las raíces del polinomio utilizando operaciones de campo solo; en términos modernos, asumió que los radicales pertenecían al campo de división del polinomio. Para ver por qué es realmente una suposición extra, considere, por ejemplo, el polinomio P()x)=x3− − 15x− − 20{displaystyle P(x)=x^{3}-15x-20}. Según la fórmula de Cardano, una de sus raíces (todas ellas, en realidad) puede expresarse como la suma de una raíz de cubo 10+5i{displaystyle 10+5i} con una raíz de cubo 10− − 5i{displaystyle 10-5i}. Por otro lado, desde <math alttext="{displaystyle P(-3)P()− − 3).0{displaystyle P(-3)<img alt="{displaystyle P(-3), 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">P()− − 2)■0{displaystyle P(-2)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee327d520830afad3d72df3e921e5302fed5e7f9" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.786ex; height:2.843ex;"/>, <math alttext="{displaystyle P(-1)P()− − 1).0{displaystyle P(-1)<img alt="{displaystyle P(-1), y 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">P()5)■0{displaystyle P(5)]0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af71681217aa4b367a0f6fc2eae293a81b61d32" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.978ex; height:2.843ex;"/>, las raíces r1{displaystyle R_{1}, r2{displaystyle R_{2}, y r3{displaystyle R_{3} de P()x){displaystyle P(x)} son todos reales y por lo tanto el campo Q()r1,r2,r3){displaystyle mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3}}} es un subcampo R{displaystyle mathbf {R}. Pero entonces los números 10± ± 5i{displaystyle 10pm 5i} no puede pertenecer a Q()r1,r2,r3){displaystyle mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3}}}. Aunque Cauchy no notó la suposición de Ruffini o sintió que era menor, la mayoría de los historiadores creen que la prueba no fue completa hasta que Abel demostró el teorema de irracionalidades naturales, lo que afirma que la suposición sostiene en el caso de los polinomios generales. El teorema Abel-Ruffini se acredita generalmente a Abel, quien publicó una prueba comprimida en sólo seis páginas en 1824. (Abel adoptó un estilo muy terse para ahorrar papel y dinero: la prueba fue impresa a su propio costo.) En 1826 se publicará una versión más elaborada de la prueba.

Probar que las ecuaciones generales de quinto grado (y superiores) no se podían resolver mediante radicales no resolvía completamente el asunto, porque el teorema de Abel-Ruffini no proporciona las condiciones necesarias y suficientes para decir con precisión qué ecuaciones de quinto grado (y superiores) no se podían resolver mediante radicales Abel estaba trabajando en una caracterización completa cuando murió en 1829.

Según Nathan Jacobson, "las pruebas de Ruffini y de Abel [...] pronto fueron reemplazadas por el logro supremo de esta línea de investigación: Galois' descubrimientos en la teoría de ecuaciones." En 1830, Galois (a la edad de 18 años) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de la solución por radicales, que finalmente fue rechazada en 1831 por ser demasiado incompleta y por dar una condición en términos de las raíces de la ecuación en lugar de sus coeficientes. Galois estaba al tanto de las contribuciones de Ruffini y Abel, ya que escribió "Es una verdad común, hoy en día, que la ecuación general de grado mayor que 4 no se puede resolver por radicales... esta verdad se ha hecho común (de oídas) a pesar de que los geómetras han ignorado las demostraciones de Abel y Ruffini..." Galois luego murió en 1832 y su artículo Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux permaneció inédito hasta 1846, cuando fue publicado por Joseph Liouville acompañado de algunas de sus propias explicaciones. Antes de esta publicación, Liouville anunció que Galois' resultado a la academia en un discurso que pronunció el 4 de julio de 1843. Pierre Wantzel publicó una simplificación de la prueba de Abel en 1845. Cuando Wantzel la publicó, ya estaba al tanto de las contribuciones de Galois y menciona que, mientras que la prueba de Abel es válida solo para polinomios generales, Galois' El enfoque se puede utilizar para proporcionar un polinomio concreto de grado 5 cuyas raíces no se pueden expresar en radicales a partir de sus coeficientes.

En 1963, Vladimir Arnold descubrió una prueba topológica del teorema de Abel-Ruffini, que sirvió como punto de partida para la teoría topológica de Galois.