Teorema

El teorema pitagórico tiene al menos 370 pruebas conocidas

En matemáticas, un teorema es un enunciado que ha sido probado o puede ser probado. La demostración de un teorema es un argumento lógico que utiliza las reglas de inferencia de un sistema deductivo para establecer que el teorema es una consecuencia lógica de los axiomas y teoremas previamente probados.

En la corriente principal de las matemáticas, los axiomas y las reglas de inferencia comúnmente se dejan implícitos y, en este caso, casi siempre son los de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección, o de una teoría menos poderosa, como la aritmética de Peano. Una excepción notable es la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, que involucra los universos de Grothendieck cuya existencia requiere la adición de un nuevo axioma a la teoría de conjuntos. Generalmente, una afirmación que se llama explícitamente teorema es un resultado probado que no es una consecuencia inmediata de otros teoremas conocidos. Además, muchos autores califican como teoremas solo los resultados más importantes, y utilizan los términos lema, proposición y corolario para teoremas menos importantes.

En lógica matemática, los conceptos de teoremas y demostraciones se han formalizado para permitir el razonamiento matemático sobre los mismos. En este contexto, las declaraciones se convierten en fórmulas bien formadas de algún lenguaje formal. Una teoría consta de algunos enunciados básicos llamados axiomas y algunas reglas de deducción (a veces incluidas en los axiomas). Los teoremas de la teoría son los enunciados que se pueden derivar de los axiomas utilizando las reglas de deducción. Esta formalización condujo a la teoría de la demostración, que permite demostrar teoremas generales sobre teoremas y demostraciones. En particular, los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que cada teoría consistente que contiene los números naturales tiene enunciados verdaderos sobre los números naturales que no son teoremas de la teoría (es decir, no pueden probarse dentro de la teoría).

Como los axiomas son a menudo abstracciones de propiedades del mundo físico, se puede considerar que los teoremas expresan alguna verdad, pero en contraste con la noción de una ley científica, que es experimental, la justificación de la verdad de un teorema es puramente deductiva.

Teorema y verdad

Hasta finales del siglo XIX y la crisis fundacional de las matemáticas, todas las teorías matemáticas se construyeron a partir de unas pocas propiedades básicas que se consideraban evidentes; por ejemplo, los hechos de que todo número natural tiene un sucesor, y que hay exactamente una línea que pasa por dos puntos distintos dados. Estas propiedades básicas que se consideraban absolutamente evidentes se denominaron postulados o axiomas; por ejemplo los postulados de Euclides. Todos los teoremas se demostraban usando implícita o explícitamente estas propiedades básicas y, debido a la evidencia de estas propiedades básicas, un teorema probado se consideraba como una verdad definitiva, a menos que hubiera un error en la prueba. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, y esto se consideraba como un hecho indudable.

Un aspecto de la crisis fundacional de las matemáticas fue el descubrimiento de geometrías no euclidianas que no conducen a ninguna contradicción, aunque, en tales geometrías, la suma de los ángulos de un triángulo es diferente de 180°. Entonces, la propiedad "la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°" es verdadera o falsa, dependiendo de si se asume o se niega el quinto postulado de Euclides. Del mismo modo, el uso de "evidente" propiedades básicas de los conjuntos conduce a la contradicción de la paradoja de Russel. Esto se ha resuelto elaborando las reglas que se permiten para manipular conjuntos.

Esta crisis se ha resuelto revisando los fundamentos de las matemáticas para hacerlos más rigurosos. En estos nuevos fundamentos, un teorema es una fórmula bien formada de una teoría matemática que puede demostrarse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia de la teoría. Entonces, el teorema anterior sobre la suma de los ángulos de un triángulo se convierte en: Bajo los axiomas y las reglas de inferencia de la geometría euclidiana, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. De manera similar, la paradoja de Russel desaparece porque, en una teoría de conjuntos axiomatizada, el conjunto de todos los conjuntos no se puede expresar con una fórmula bien formada. Más precisamente, si el conjunto de todos los conjuntos puede expresarse con una fórmula bien formada, esto implica que la teoría es inconsistente y que toda afirmación bien formada, así como su negación, es un teorema.

En este contexto, la validez de un teorema depende únicamente de la corrección de su prueba. Es independiente de la verdad, o incluso del significado de los axiomas. Esto no significa que el significado de los axiomas no sea interesante, sino que la validez de un teorema es independiente del significado de los axiomas. Esta independencia puede ser útil al permitir el uso de resultados de algún área de las matemáticas en áreas aparentemente no relacionadas.

Una consecuencia importante de esta forma de pensar sobre las matemáticas es que permite definir teorías y teoremas matemáticos como objetos matemáticos y probar teoremas sobre ellos. Ejemplos son los teoremas de incompletitud de Gödel. En particular, hay afirmaciones bien formadas que pueden demostrarse que no son un teorema de la teoría ambiental, aunque pueden demostrarse en una teoría más amplia. Un ejemplo es el teorema de Goodstein, que se puede establecer en la aritmética de Peano, pero se demuestra que no es demostrable en la aritmética de Peano. Sin embargo, es demostrable en algunas teorías más generales, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Consideraciones epistemológicas

Muchos teoremas matemáticos son declaraciones condicionales, cuyas pruebas deducen conclusiones de condiciones conocidas como hipótesis o premisas. A la luz de la interpretación de la prueba como justificación de la verdad, la conclusión suele verse como una consecuencia necesaria de las hipótesis. Es decir, que la conclusión es verdadera en caso de que las hipótesis sean verdaderas, sin más suposiciones. Sin embargo, el condicional también podría interpretarse de manera diferente en ciertos sistemas deductivos, dependiendo de los significados asignados a las reglas de derivación y al símbolo condicional (por ejemplo, lógica no clásica).

Aunque los teoremas se pueden escribir en una forma completamente simbólica (por ejemplo, como proposiciones en cálculo proposicional), a menudo se expresan de manera informal en un lenguaje natural como el inglés para una mejor legibilidad. Lo mismo ocurre con las demostraciones, que a menudo se expresan como argumentos informales lógicamente organizados y claramente redactados, con la intención de convencer a los lectores de la verdad del enunciado del teorema más allá de toda duda, y a partir de los cuales se puede, en principio, construir una demostración simbólica formal.

Además de la mejor legibilidad, los argumentos informales suelen ser más fáciles de verificar que los puramente simbólicos; de hecho, muchos matemáticos expresarían su preferencia por una prueba que no solo demuestre la validez de un teorema, sino que también explique de alguna manera por qué es obviamente cierto. En algunos casos, uno podría incluso corroborar un teorema usando una imagen como prueba.

Debido a que los teoremas se encuentran en el centro de las matemáticas, también son fundamentales para su estética. Los teoremas a menudo se describen como "triviales", o "difíciles", o "profundos", o incluso "hermosos". Estos juicios subjetivos varían no solo de persona a persona, sino también con el tiempo y la cultura: por ejemplo, a medida que se obtiene una demostración, se simplifica o se comprende mejor, un teorema que alguna vez fue difícil puede volverse trivial. Por otro lado, un teorema profundo puede formularse de manera simple, pero su demostración puede involucrar conexiones sorprendentes y sutiles entre áreas dispares de las matemáticas. El último teorema de Fermat es un ejemplo particularmente conocido de dicho teorema.

Cuenta informal de teoremas

Lógicamente, muchos teoremas tienen la forma de un condicional indicativo: Si A, entonces B. Tal teorema no afirma B, solo que B es una consecuencia necesaria de A. En este caso, A se llama la hipótesis del teorema ("hipótesis" aquí significa algo muy diferente de una conjetura), y B la conclusión del teorema. Los dos juntos (sin la prueba) se denominan proposición o enunciado del teorema (por ejemplo, "Si A, entonces B& #34; es la proposición). Alternativamente, A y B también pueden denominarse antecedente y consecuente, respectivamente. El teorema "Si n es un número natural par, entonces n/2 es un número natural" es un ejemplo típico en el que la hipótesis es "n es un número natural par", y la conclusión es "n/2 también es un número natural".

Para que se demuestre un teorema, en principio debe poder expresarse como un enunciado formal y preciso. Sin embargo, los teoremas generalmente se expresan en lenguaje natural en lugar de una forma completamente simbólica, con la presunción de que una declaración formal puede derivarse de una informal.

Es común en matemáticas elegir un número de hipótesis dentro de un lenguaje dado y declarar que la teoría consta de todas las afirmaciones demostrables a partir de estas hipótesis. Estas hipótesis forman la base fundamental de la teoría y se denominan axiomas o postulados. El campo de las matemáticas conocido como teoría de la prueba estudia los lenguajes formales, los axiomas y la estructura de las pruebas.

Un mapa plano con cinco colores tales que no dos regiones con el mismo color se encuentran. En realidad puede ser coloreado de esta manera con sólo cuatro colores. El teorema de cuatro colores establece que tales colorantes son posibles para cualquier mapa plano, pero cada prueba conocida implica una búsqueda computacional que es demasiado larga para comprobar a mano.

Algunos teoremas son "triviales", en el sentido de que se derivan de definiciones, axiomas y otros teoremas de manera obvia y no contienen ideas sorprendentes. Algunos, por otro lado, pueden llamarse 'profundos', porque sus demostraciones pueden ser largas y difíciles, involucrar áreas de las matemáticas superficialmente distintas del enunciado del teorema mismo, o mostrar conexiones sorprendentes entre áreas dispares de las matemáticas. matemáticas. Un teorema puede ser simple de enunciar y, sin embargo, ser profundo. Un excelente ejemplo es el último teorema de Fermat, y hay muchos otros ejemplos de teoremas simples pero profundos en teoría de números y combinatoria, entre otras áreas.

Otros teoremas tienen una demostración conocida que no se puede escribir fácilmente. Los ejemplos más destacados son el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler. Solo se sabe que ambos teoremas son verdaderos al reducirlos a una búsqueda computacional que luego es verificada por un programa de computadora. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de prueba, pero se ha vuelto más aceptada. El matemático Doron Zeilberger incluso ha ido tan lejos como para afirmar que estos son posiblemente los únicos resultados no triviales que los matemáticos han probado. Muchos teoremas matemáticos se pueden reducir a un cálculo más sencillo, incluidas las identidades polinómicas, las identidades trigonométricas y las identidades hipergeométricas.

Relación con las teorías científicas

Los teoremas matemáticos y las teorías científicas son fundamentalmente diferentes en su epistemología. Una teoría científica no puede probarse; su atributo clave es que es falsable, es decir, hace predicciones sobre el mundo natural que se pueden comprobar mediante experimentos. Cualquier desacuerdo entre la predicción y el experimento demuestra la incorrección de la teoría científica, o al menos limita su precisión o dominio de validez. Los teoremas matemáticos, por otro lado, son declaraciones formales puramente abstractas: la prueba de un teorema no puede involucrar experimentos u otra evidencia empírica de la misma manera que dicha evidencia se usa para respaldar teorías científicas.

La conjetura de Collatz: una manera de ilustrar su complejidad es extender la iteración de los números naturales a los números complejos. El resultado es un fractal, que (de acuerdo con la universalidad) se asemeja al conjunto Mandelbrot.

No obstante, existe cierto grado de empirismo y recopilación de datos involucrados en el descubrimiento de teoremas matemáticos. Al establecer un patrón, a veces con el uso de una computadora poderosa, los matemáticos pueden tener una idea de qué probar y, en algunos casos, incluso un plan sobre cómo empezar a hacer la prueba. También es posible encontrar un solo contraejemplo y así establecer la imposibilidad de una prueba para la proposición tal como se establece, y posiblemente sugerir formas restringidas de la proposición original que podrían tener pruebas factibles.

Por ejemplo, tanto la conjetura de Collatz como la hipótesis de Riemann son problemas conocidos sin resolver; se han estudiado extensamente a través de comprobaciones empíricas, pero siguen sin probarse. La conjetura de Collatz se ha verificado para valores iniciales de hasta aproximadamente 2,88 × 10¹⁸. Se ha verificado que la hipótesis de Riemann se cumple para los primeros 10 billones de ceros no triviales de la función zeta. Aunque la mayoría de los matemáticos pueden tolerar suponer que la conjetura y la hipótesis son verdaderas, ninguna de estas proposiciones se considera probada.

Tal evidencia no constituye prueba. Por ejemplo, la conjetura de Mertens es una declaración sobre números naturales que ahora se sabe que es falsa, pero no un contraejemplo explícito (es decir, un número natural n para el cual la función de Mertens M(n) es igual o superior a la raíz cuadrada de n): todos los números menores de 10¹⁴ tienen la propiedad de Mertens, y la Se sabe que el número más pequeño que no tiene esta propiedad es menor que la exponencial de 1,59 × 10⁴⁰, que es aproximadamente 10 elevado a 4,3 × 10³⁹. Dado que el número de partículas en el universo generalmente se considera menor que 10 elevado a 100 (un googol), no hay esperanza de encontrar un contraejemplo explícito mediante una búsqueda exhaustiva.

La palabra "teoría" también existe en matemáticas, para denotar un cuerpo de axiomas, definiciones y teoremas matemáticos, como en, por ejemplo, la teoría de grupos (ver teoría matemática). También hay "teoremas" en ciencia, particularmente física, y en ingeniería, pero a menudo tienen declaraciones y pruebas en las que las suposiciones físicas y la intuición juegan un papel importante; los axiomas físicos sobre los que se basan tales "teoremas" se basan son en sí mismos falsables.

Terminología

Existen varios términos diferentes para declaraciones matemáticas; estos términos indican el papel que juegan las declaraciones en un tema en particular. La distinción entre diferentes términos a veces es bastante arbitraria y el uso de algunos términos ha evolucionado con el tiempo.

• An axiom o postulado es una suposición fundamental respecto al objeto de estudio, que se acepta sin pruebas. Un concepto conexo es el de un definición, que da el significado de una palabra o una frase en términos de conceptos conocidos. La geometría clásica discierne entre axiomas, que son declaraciones generales; y postulados, que son declaraciones sobre objetos geométricos. Históricamente, los axiomas fueron considerados como "auto-evidentes"; hoy son meramente asumido para ser verdad.
• A conjetura es una declaración no probada que se cree que es verdad. Las conjeturas se hacen generalmente en público, y se llaman por su fabricante (por ejemplo, la conjetura de Goldbach y la conjetura de Collatz). El término hipótesis se utiliza también en este sentido (por ejemplo, hipótesis Riemann), que no debe confundirse con la "hipótesis" como premisa de una prueba. Otros términos también se utilizan en ocasiones, por ejemplo problema cuando la gente no está segura de si la declaración debe ser creída como verdadera. El último teorema de Fermat fue históricamente llamado teorema, aunque, durante siglos, era sólo una conjetura.
• A theorem es una declaración que se ha demostrado que es verdad basada en axiomas y otros teoremas.
• A proposición es un teorema de menor importancia, o uno que se considera tan elemental o inmediatamente obvio, que puede ser declarado sin prueba. Esto no debe confundirse con la "proposición" como se utiliza en la lógica proposicional. En la geometría clásica se utilizó el término "proposición" de manera diferente: en los Elementos de Euclides (Euclid)c.300 BCE), todos los teoremas y construcciones geométricas fueron llamados "proposiciones" independientemente de su importancia.
• A lemma es una "proposición de acceso" - una proposición con poca aplicabilidad fuera de su uso en una prueba particular. Con el tiempo un lema puede ganar en importancia y ser considerado como theorem, aunque el término "lemma" se mantiene generalmente como parte de su nombre (por ejemplo, la lema de Gauss, la lema de Zorn y la lema fundamental).
• A corolario es una proposición que sigue inmediatamente de otro teorema o axioma, con poca o ninguna prueba necesaria. Un corolario también puede ser un reinicio de un teorema en una forma más simple, o para un caso especial: por ejemplo, el teorema "todos los ángulos internos en un rectángulo son ángulos rectos" tiene un corolario que "todos los ángulos internos en un cuadrado son ángulos rectos" - un cuadrado es un caso especial de un rectángulo.
• A generalización de un teorema es un teorema con una declaración similar pero un alcance más amplio, desde el cual el teorema original puede ser deducido como un caso especial (a corolario).

También se pueden usar otros términos por razones históricas o habituales, por ejemplo:

• An identidad es un teorema que establece una igualdad entre dos expresiones, que sostiene cualquier valor dentro de su dominio (por ejemplo, la identidad de Bézout y la identidad de Vandermonde).
• A Regla es un teorema que establece una fórmula útil (por ejemplo, la regla de Bayes y la regla de Cramer).
• A Derecho o principio es un teorema con amplia aplicabilidad (por ejemplo, la ley de grandes números, la ley de los cosines, la ley cero de Kolmogorov, el principio de Harnack, el principio de menos ventaja, y el principio de la paloma).

Algunos teoremas conocidos tienen nombres aún más peculiares, por ejemplo, el algoritmo de división, la fórmula de Euler y la paradoja de Banach-Tarski.

Diseño

Un teorema y su demostración normalmente se presentan de la siguiente manera:

Theorem (nombre de la persona que lo probó, junto con el año de descubrimiento o publicación de la prueba)

Declaración de teorema (a veces llamada el proposición)

Prueba

Descripción de la prueba

Final

El final de la prueba se puede señalar con las letras Q.E.D. (quod erat demostrandum) o por una de las marcas de lápidas, como "□" o "∎", que significa "fin de prueba", introducido por Paul Halmos luego de su uso en revistas para marcar el final de un artículo.

El estilo exacto depende del autor o la publicación. Muchas publicaciones brindan instrucciones o macros para la composición tipográfica al estilo de la casa.

Es común que un teorema esté precedido por definiciones que describen el significado exacto de los términos utilizados en el teorema. También es común que un teorema esté precedido por una serie de proposiciones o lemas que luego se usan en la demostración. Sin embargo, los lemas a veces están incrustados en la demostración de un teorema, ya sea con demostraciones anidadas o con sus demostraciones presentadas después de la demostración del teorema.

Los corolarios de un teorema se presentan entre el teorema y la prueba, o directamente después de la prueba. A veces, los corolarios tienen pruebas propias que explican por qué se derivan del teorema.

Tradición

Se estima que cada año se prueban más de un cuarto de millón de teoremas.

El conocido aforismo, "Un matemático es un dispositivo para convertir el café en teoremas", probablemente se deba a Alfréd Rényi, aunque a menudo se atribuye al colega de Rényi, Paul Erdős (y Rényi puede haber estado pensando en Erdős), quien fue famoso por los muchos teoremas que produjo, el número de sus colaboraciones y su consumo de café.

Algunos consideran que la clasificación de grupos simples finitos es la prueba más larga de un teorema. Comprende decenas de miles de páginas en 500 artículos de revistas de unos 100 autores. Se cree que estos documentos en conjunto brindan una prueba completa, y varios proyectos en curso esperan acortar y simplificar esta prueba. Otro teorema de este tipo es el teorema de los cuatro colores cuya prueba generada por computadora es demasiado larga para que la lea un ser humano. Es una de las demostraciones más largas conocidas de un teorema cuyo enunciado puede ser entendido fácilmente por un profano.

Teoremas de lógica

En la lógica matemática, una teoría formal es un conjunto de oraciones dentro de un lenguaje formal. Una frase es una fórmula bien formada sin variables libres. Una frase que es miembro de una teoría es uno de sus teoremas, y la teoría es el conjunto de sus teoremas. Normalmente se entiende que una teoría está cerrada bajo la relación de la consecuencia lógica. Algunas cuentas definen una teoría a cerrar bajo la relación de la consecuencia semántica (⊨ ⊨ {displaystyle models }), mientras que otros definen que se cierra bajo la consecuencia sintáctica, o relación de derivabilidad (⊢ ⊢ {displaystyle vdash }).

Este diagrama muestra las entidades sintácticas que se pueden construir a partir de idiomas formales. Los símbolos y las cadenas de símbolos pueden dividirse ampliamente en fórmulas sin sentido y bien formadas. Un lenguaje formal puede ser considerado como idéntico al conjunto de sus fórmulas bien formadas. El conjunto de fórmulas bien formadas puede dividirse ampliamente en teoremas y no teoremas.

Para que una teoría se cierre bajo una relación de derivabilidad, debe estar asociada con un sistema deductivo que especifique cómo se derivan los teoremas. El sistema deductivo puede establecerse explícitamente, o puede quedar claro por el contexto. El cierre del conjunto vacío bajo la relación de consecuencia lógica produce el conjunto que contiene precisamente aquellas oraciones que son los teoremas del sistema deductivo.

En el sentido amplio en el que se usa el término dentro de la lógica, un teorema no tiene por qué ser verdadero, ya que la teoría que lo contiene puede no ser sólida en relación con una semántica dada o con la interpretación estándar del lenguaje subyacente.. Una teoría que es inconsistente tiene todas las oraciones como teoremas.

La definición de teoremas como oraciones de un lenguaje formal es útil dentro de la teoría de la demostración, que es una rama de las matemáticas que estudia la estructura de las demostraciones formales y la estructura de las fórmulas comprobables. También es importante en la teoría de modelos, que se ocupa de la relación entre las teorías formales y las estructuras que pueden proporcionarles una semántica a través de la interpretación.

Aunque los teoremas pueden ser oraciones no interpretadas, en la práctica los matemáticos están más interesados en los significados de las oraciones, es decir, en las proposiciones que expresan. Lo que hace que los teoremas formales sean útiles e interesantes es que pueden interpretarse como proposiciones verdaderas y sus derivaciones pueden interpretarse como una prueba de su verdad. Un teorema cuya interpretación es un enunciado verdadero sobre un sistema formal (a diferencia de dentro de un sistema formal) se denomina metateorema.

Algunos teoremas importantes en lógica matemática son:

• Compactidad de la lógica de primer orden
• Completeness of first-order logic
• Los teoremas incompletos de Gödel de la aritmética de primer orden
• Consistencia de la aritmética de primer orden
• El teorema indefinible de Tarski
• Church-Turing theorem of undecidability
• Teorema de Löb
• Löwenheim-Skolem theorem
• Teorema de Lindström
• Teorema de Craig
• Teorema de cutre

Sintaxis y semántica

El concepto de teorema formal es fundamentalmente sintáctico, en contraste con la noción de proposición verdadera, que introduce la semántica. Diferentes sistemas deductivos pueden producir otras interpretaciones, dependiendo de las presunciones de las reglas de derivación (es decir, creencia, justificación u otras modalidades). La solidez de un sistema formal depende de si todos sus teoremas son también válidos o no. Una validez es una fórmula que es verdadera bajo cualquier interpretación posible (por ejemplo, en la lógica proposicional clásica, las validezes son tautologías). Un sistema formal se considera semánticamente completo cuando todos sus teoremas son también tautologías.

Interpretación de un teorema formal

Teoremas y teorías

Referencias

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