Tensor tensión-energía

Componentes contravariantes del tensor de estrés-energía.

El tensor tensión-energía, a veces llamado tensor tensión-energía-momento o tensor energía-momento, es un tensor físico cantidad que describe la densidad y el flujo de energía y el momento en el espacio-tiempo, generalizando el tensor de tensión de la física newtoniana. Es un atributo de la materia, la radiación y los campos de fuerza no gravitacionales. Esta densidad y flujo de energía y momento son las fuentes del campo gravitatorio en las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein, al igual que la densidad de masa es la fuente de dicho campo en la gravedad newtoniana.

Definición

El tensor tensión-energía implica el uso de variables en superíndice (no exponentes; consulte la notación de índice de tensor y la notación de suma de Einstein). Si se utilizan coordenadas cartesianas en unidades SI, entonces los componentes del cuadrivector de posición vienen dados por: x⁰ = t, x¹ = x, x² = y, y x< /i>³ = z, donde t es el tiempo en segundos, y x, < i>y y z son distancias en metros.

El tensor tensión-energía se define como el tensor T^αβ de orden dos que da el flujo de la α< /i>ésima componente del vector de cantidad de movimiento a través de una superficie con coordenadas x^β constantes. En la teoría de la relatividad, este vector de cantidad de movimiento se toma como el cuatro-momento. En relatividad general, el tensor tensión-energía es simétrico,

${displaystyle T^{alpha beta }=T^{beta alpha }$

En algunas teorías alternativas, como la teoría de Einstein-Cartan, el tensor de tensión-energía puede no ser perfectamente simétrico debido a un tensor de espín distinto de cero, que geométricamente corresponde a un tensor de torsión distinto de cero.

Los componentes del tensor estrés-energía

Debido a que el tensor de tensión-energía es de orden 2, sus componentes se pueden mostrar en forma de matriz de 4 × 4:

${displaystyle (T^{munu })_{munu {0,1,2,3}={begin{pmatrix}T^{00} {0} {01} {T^{02}T^{03}\T^{10} {11} {12}} {T^{13}T^{20}}T^{21}}T^{22}{23}{31}{30}}}{30}}}}}}}}}}}}}}}}{0}}}}}}}}{30}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

A continuación, k y ℓ rango de 1 a 3:

En física del estado sólido y mecánica de fluidos, el tensor de tensión se define como los componentes espaciales del tensor de tensión-energía en el marco de referencia adecuado. En otras palabras, el tensor de tensión-energía en ingeniería difiere del tensor de tensión-energía relativista en un término convectivo de cantidad de movimiento.

Formas covariantes y mixtas

La mayor parte de este artículo trabaja con la forma contravariante, T^μν del estrés-energía tensor. Sin embargo, a menudo es necesario trabajar con la forma covariante,

${displaystyle T_{munu }=T^{alpha beta }g_{alpha mu }g_{beta nu }}$

o la forma mixta,

${displaystyle T^{mu ♫ {fn} {fn} }=T^{mu alpha }g_{alpha nu }$

o como una densidad de tensor mixta

${\displaystyle {\fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft} {fn}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} ♫ {fn} {fn} }=T^{mu ♫ {fn} {fn} } {sqrt {-g},}$

Este artículo utiliza la convención de signos espaciales (−+++) para la firma métrica.

Ley de conservación

En relatividad especial

El tensor tensión-energía es la corriente de Noether conservada asociada con las traducciones del espacio-tiempo.

La divergencia de la tensión-energía no gravitacional es cero. En otras palabras, la energía y el momento no gravitacionales se conservan,

${displaystyle 0=T^{munu }{}nu }=nabla _{nu }T^{munu }{}}}}}$

Cuando la gravedad es insignificante y se usa un sistema de coordenadas cartesianas para el espacio-tiempo, esto se puede expresar en términos de derivadas parciales como

${displaystyle ¿Qué?$

La forma integral de esto es

${displaystyle 0=int _{partial N}T^{munu }mathrm {d} ¡Oh!$

Donde N es cualquier región compacta de cuatro dimensiones de tiempo espacial; ${displaystyle partial N}$ es su límite, una hipersuperficie tridimensional; y ${displaystyle mathrm {d} ^{3}s_{nu }$ es un elemento del límite considerado como el exterior señalando normal.

En el espacio-tiempo plano y utilizando coordenadas cartesianas, si se combina esto con la simetría del tensor tensión-energía, se puede demostrar que el momento angular también se conserva:

${displaystyle 0=(x^{alpha }T^{mu nu }-x^{mu }T^{alpha nu })_{,nu }.!}$

En relatividad general

Cuando la gravedad no es despreciable o cuando se utilizan sistemas de coordenadas arbitrarios, la divergencia de la tensión-energía sigue desapareciendo. Pero en este caso, se utiliza una definición libre de coordenadas de la divergencia que incorpora la derivada covariante

${displaystyle 0=nombre de operador {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {nMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {f}f}f}f}}f}f}f}f}f}\fnMicrosoft}f}f}f}fnMicrosoft}f}fnMicrosoft}\f}f}f}\f}fnKf}fnun}\fnun}\\\\\fnK\\fnun}fnMicrosoft}fnK\\\\\\\\\\fnMi "Gamma" }{sigma nu }T^{sigma nu }+ Gamma ^{nu }{sigma nu }T^{mu sigma }$

Donde ${displaystyle Gamma ^{mu } {sigma nu}$ es el símbolo Christoffel que es el campo de fuerza gravitacional.

En consecuencia, si ${displaystyle xi ^{mu }$ es cualquier campo vectorial asesino, entonces la ley de conservación asociada a la simetría generada por el campo vector asesino puede ser expresada como

${fnK} {fnh}m}m}m}m}m} {fnh}m} {fn} {fn} {fnfn}}}m}fnh}}m}}m} {fnh}}fn}m} {fn}}}}f}}\\\fn}}}}\\\\\nhnh}}}}\\\\\\\\\nhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhn}}\\\\\\\\\\\\\\\\nhnhnhnhnhnh00}}}\\\\\\nhnhnh$

La forma integral de esto es

${displaystyle 0=int _{partial No. ^{3}s_{nu }=int _{partial No. ^{3}s_{nu }$

En relatividad especial

En la relatividad especial, el tensor tensión-energía contiene información sobre las densidades de energía y cantidad de movimiento de un sistema dado, además de las densidades de cantidad de movimiento y flujo de energía.

Dada una Densidad Lagrangia ${displaystyle {fnMithcal}}$ que es una función de un conjunto de campos ${displaystyle phi _{alpha }$ y sus derivados, pero explícitamente no de ninguna de las coordenadas espacio-tiempo, podemos construir el tensor mirando el derivado total con respecto a una de las coordenadas generalizadas del sistema. Así que, con nuestra condición

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {fnMitcal {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {\fn}} {fn}}} {\fn}}} {\fn}}}}}} {\\\\\\\fn\\\fn\\\\\\fnh}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }=0}$

Usando la regla de la cadena, tenemos

${fnMicroc {fnMithcal} {L}}{dx_{nu }=partial ^{nu # {fnMitcal {fnK}= {fnMicroc {cHFF} {fnMicroc {cH} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMitcal} {fnMicroc} {fnMicroc {c} {c}}} {fnMicroc}} {fnMicroc {f}}f}f}}\fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {b}b}f}\\c {b}c}}\c}fnMicroc}fnMicroc {fnMicroc}c}c {fnMicroc {c {c {c}\c}fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}c {c}b}\b}b}c}c {\b}b} {}}{partial (partial _{mu }phi _{alpha }}}{frac {partial _{mu }phi _{alpha }}{partial x_{nu }+{frac {partial # Mathcal {L}}{partial} {f}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} { phi _{alpha {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} phi _{alpha }{partial x_{nu }$

Escrito en taquigrafía útil,

${displaystyle partial ^{nu }{mathcal {fnK}= {fnMicroc {cHFF} {fnMicroc {cH} {fnMicroc} {fnMitcal} {fnMitcal}} {fnMicroc {c}}} {fnMicroc {f}fnMicroc {fnMicroc} {f}}f}f}f}f}fnMicroc {b}fnMicroc {c {fnMicroc {f}b}c {b}c}b}\fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}c}c {fnMicroc {c {c {fnMicroc {fnMicroc {f}\\fnMicroc}}c {c}b}\b}f}f}f}\\b}} {L}} {partial (partial _{mu }phi _{alpha }}}partial ^{nu }partial _{mu ################################################################################################################################################################################################################################################################ }+{frac {partial # Mathcal {L}}{partial} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {f}}}} {fn}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}} {f}}}}}}}} { phi _{alpha }partial ^{nu ################################################################################################################################################################################################################################################################ }$

Entonces, podemos usar la ecuación de Euler-Lagrange:

${displaystyle partial _{mu }left({frac {partial {mathcal {}}} {partial (partial _{mu }phi _{alpha }}}right)={frac {partial {mathcal {}}}{partial}}} {m}}} {fn}}} {m}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} { phi _{alpha }$

Y luego use el hecho de que las derivadas parciales conmutan para que ahora tengamos

${displaystyle partial ^{nu }{mathcal {fnK}= {fnMicroc {cHFF} {fnMicroc {cH} {fnMicroc} {fnMitcal} {fnMitcal}} {fnMicroc {c}}} {fnMicroc {f}fnMicroc {fnMicroc} {f}}f}f}f}f}fnMicroc {b}fnMicroc {c {fnMicroc {f}b}c {b}c}b}\fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}c}c {fnMicroc {c {c {fnMicroc {fnMicroc {f}\\fnMicroc}}c {c}b}\b}f}f}f}\\b}} {L}}{partial (partial _{mu }phi _{alpha }}partial _{mu }partial ^{nu ################################################################################################################################################################################################################################################################ }+partial _{mu }left({frac {partial {mathcal {L}} {partial (partial _{mu }phi _{alpha }}}right)partial ^{nu ################################################################################################################################################################################################################################################################ }$

Podemos reconocer el lado derecho como una regla de producto. Escribirlo como la derivada de un producto de funciones nos dice que

${displaystyle partial ^{nu }{mathcal {}=partial _{mu }left[{frac {partial {mathcal {}}{partial _{mu }phi _{alpha }}}}}partial ^{nu }phi _{alpha }right)}}}}}}}}partial } {nu }}f}}}} {f}}m}}}}}}}}}} {m}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}} {m} {m}m}}}}}}}}}}}}}}m}}}}m} {m} {m}}m}}}}m}}}m}m}m}m}m}m}}}}}m}}}}}}}m}m}m}m}m}m}}m}m}}$

Ahora, en espacio plano, uno puede escribir ${displaystyle partial ^{nu }{mathcal {L}=partial _{mu }g^{munu }{mathcal {L}}$. Hacer esto y moverlo al otro lado de la ecuación nos dice que

${displaystyle partial _{mu }left[{frac {partial {Mathcal {L}}} {partial (partial _{mu }phi _{alpha }}}partial ^{nu }phi _{alpha }right]-partial _{munu}}}}} {m} {cH}}}}}}}}}} {m}}}}}} {m}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}m}}}}}}}}}}}}}m}}}}m}m}}}}m}m}m}m}m}m}m}m}}}}m}m}m}}}}m}}}}m}}m}m}m}m}m}m}}}}}}}m}m}m}m}m}m}m}}m}}}}m}}} }left(g^{munu }{mathcal {L}right)=0}$

Y al reagrupar términos,

${displaystyle partial _{mu }left[{frac {partial {mathcal {}}{partial _{mu }phi _{alpha }}}}partial ^{nu }phi _{alpha - Sí.$

Es decir que la divergencia del tensor entre paréntesis es 0. Efectivamente, con esto definimos el tensor tensión-energía:

${displaystyle T^{munu }equiv {partial {mathcal {}{partial (partial _{mu }phi _{alpha }}}partial ^{nu ################################################################################################################################################################################################################################################################ }-g^{munu }{mathcal {L}}$

Por construcción tiene la propiedad de que

${displaystyle partial _{mu }T^{munu }=0}$

Tenga en cuenta que esta propiedad sin divergencia de este tensor es equivalente a cuatro ecuaciones de continuidad. Es decir, los campos tienen al menos cuatro conjuntos de cantidades que obedecen a la ecuación de continuidad. Como ejemplo, se puede ver que ${displaystyle T_{0} {0}$ es la densidad energética del sistema y que es posible obtener la densidad Hamiltoniana del tensor de estrés-energía.

De hecho, ya que este es el caso, observando que ${displaystyle partial _{mu }T^{mu 0}=0}$, entonces tenemos

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {fnMitcal {} {f}}}nbla cdot left({frac {partial {mthcal {L}}{partial nabla phi _{alpha } { dot {phi } {alpha }right)=0}$

Entonces podemos concluir que los términos ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {fnMitcal {} {fnMitcal {fnMitcal} {fnMitcal {fnMitcal {f} {fnMitcal {fnMitcal {}}} {fnMitcal {f} {fnMitcal {f}}}}{nMitcalal nabla nbla nbla phi}}}} { }{dot {fi }$ representan la densidad del flujo energético del sistema.

Rastrear

Tenga en cuenta que el trazo del tensor de la energía-estres se define para ser ${displaystyle T_{mu } {mu}}$, donde

${displaystyle T_{mu }{mu }=T^{mu nu }g_{nu mu }$

Cuando usamos la fórmula para el tensor de tensión-energía que se encuentra arriba,

${displaystyle T_{mu } {mu }={frac {partial {mathcal {L}}{partial (partial _{mu }phi _{alpha }}}}} {munu }partial ^{nu }phi _{alpha }-g_{munu }g^{munu }{mathcal {L}}$

Utilizando las propiedades de elevación y reducción de la métrica y que ${displaystyle g^{munu }g_{mualpha }=delta ¿Por qué?$,

${displaystyle T_{mu }{mu }={frac {partial # Mathcal {L}}{partial (partial _{mu }phi _{alpha }}partial _{mu ################################################################################################################################################################################################################################################################ }-delta _{mu # {fnMitcal {L}}$

Desde ${displaystyle delta* }=4}$,

${displaystyle T_{mu }{mu }={frac {partial # Mathcal {L}}{partial (partial _{mu }phi _{alpha }}partial _{mu ################################################################################################################################################################################################################################################################ }-4{mathcal {L}}$

En relatividad general

En la relatividad general, el tensor simétrico de tensión-energía actúa como la fuente de la curvatura del espacio-tiempo y es la densidad de corriente asociada con las transformaciones de calibre de la gravedad, que son transformaciones de coordenadas curvilíneas generales. (Si hay torsión, entonces el tensor ya no es simétrico. Esto corresponde al caso con un tensor de espín distinto de cero en la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan).

En la relatividad general, las derivadas parciales utilizadas en la relatividad especial se reemplazan por derivadas covariantes. Lo que esto significa es que la ecuación de continuidad ya no implica que la energía no gravitatoria y el momento expresados por el tensor se conserven absolutamente, es decir, el campo gravitatorio puede realizar trabajo sobre la materia y viceversa. En el límite clásico de la gravedad newtoniana, esto tiene una interpretación simple: la energía cinética se intercambia con la energía potencial gravitacional, que no está incluida en el tensor, y el momento se transfiere a través del campo a otros cuerpos. En relatividad general, el pseudotensor de Landau-Lifshitz es una forma única de definir la energía del campo gravitacional y las densidades de momento. Cualquier pseudotensor de tensión-energía de este tipo puede desaparecer localmente mediante una transformación de coordenadas.

En el espaciotiempo curvo, la integral espacial ahora depende de la porción espacial, en general. De hecho, no hay forma de definir un vector de energía-momento global en un espacio-tiempo curvo general.

Ecuaciones de campo de Einstein

En relatividad general, el tensor tensión-energía se estudia en el contexto de las ecuaciones de campo de Einstein, que a menudo se escriben como

${displaystyle R_{munu}-{tfrac {1}{2}R,g_{munu }+ Lambda g_{munu }={8pi G over c^{4} T_{munu },}$

Donde ${displaystyle R_{munu}$ es el tensor Ricci, ${displaystyle R.$ es el escalar Ricci (la contracción de tensor del tensor Ricci), ${displaystyle g_{munu },}$ es el tensor métrico, ▪ es la constante cosmológica (negible a la escala de una galaxia o menor), y ${displaystyle G.$ es la constante gravitacional universal.

Estrés–energía en situaciones especiales

Partícula aislada

En la relatividad especial, el estrés – energía de una partícula no interaccionante con masa de reposo m y trayectoria ${displaystyle mathbf {x} _{text{p}(t)}$ es:

${displaystyle T^{alpha beta }(mathbf {x}t)={frac {m,v^{alpha }(t)v^{beta }(t)}{sqrt {1-(v/c)^{2}}};,deltaleft(mathbf {x} - Mathbf {x};v^{alpha }(t)={beta }(t);,delta (mathbf {x}) -mathbf {x}(x}) {fnMitbf}(t)} {f} {fnMitbf} {f} {fnMit]f}$

Donde ${displaystyle left(v^{alpha }right)_{alpha =0,1,2,3}!$ es el vector de velocidad (que no debe confundirse con cuatro velocidades, ya que falta un ${displaystyle gamma }$)

${displaystyle left(v^{alpha }right)_{alpha =0,1,2,3}=left(1,{frac {dmathbf {x} _{text{p}} {dt} {dt)right),}$

${displaystyle delta }$ es la función Dirac delta y ${textstyle E={sqrt {fnK}$ es la energía de la partícula.

Escrito en el lenguaje de la física clásica, el tensor de tensión-energía sería (masa relativista, cantidad de movimiento, el producto diádico de cantidad de movimiento y velocidad)

${displaystyle left({frac {E}{c^{2}},,mathbf {p},mathbf {p} ,mathbf {v}right)}$.

Esfuerzo–energía de un fluido en equilibrio

Para un fluido perfecto en equilibrio termodinámico, el tensor tensión-energía adopta una forma particularmente simple

${displaystyle T^{alpha beta },=left(rho +{pover c^{2}right)u^{alpha }u^{beta }+pg^{alpha beta }$

Donde ${displaystyle rho }$ es la densidad de masa-energía (kilogramas por metro cúbico), ${displaystyle p}$ es la presión hidrostática (pascals), ${displaystyle u^{alpha}$ es la cuatro-velocidad del fluido, y ${displaystyle g^{alpha beta }$ es la matriz inversa del tensor métrico. Por lo tanto, el rastro es dado por

${displaystyle T_{,alpha. }=g_{alpha beta }T^{beta alpha }=3p-rho c^{2},.}$

La velocidad de cuatro satisface

${displaystyle u^{alpha }u^{beta }g_{alpha beta }=-c^{2},}$

En un marco de referencia inercial que se mueve con el fluido, mejor conocido como el marco de referencia propio del fluido, la velocidad de cuatro es

${displaystyle (u^{alpha })_{alpha =0,1,2,3}=(1,0,0,0),}$

la matriz inversa del tensor métrico es simplemente

${displaystyle (g^{alpha beta })_{alphabeta =0,1,2,3},=left({begin{matrix}-{frac {1}{c^{2}} {0 ventaja0 unos cuantos0$