Tensor que tiene índices covariantes y contravariantes
En el análisis de tensores, un tensor mixto es un tensor que no es ni estrictamente covariante ni estrictamente contravariante; al menos uno de los índices de un tensor mixto será un subíndice (covariante) y al menos uno de los índices será un superíndice (contravariante).
Un tensor mixto Tipo o Valence ()MN){fnMicrosoft} {M} {N}}
, también escrito "tipo (M, N), con ambos M " 0 " N Es un tensor que tiene M índices contravariantes y N índices covariantes. Tal tensor se puede definir como una función lineal que mapea un (M + N)-tuple de M una forma y N vectores a un escalar.
Cambiar el tipo de tensor
Considere el siguiente octeto de tensores relacionados:
Tα α β β γ γ ,Tα α β β γ γ ,Tα α β β γ γ ,Tα α β β γ γ ,Tα α β β γ γ ,Tα α β β γ γ ,Tα α β β γ γ ,Tα α β β γ γ .{displaystyle T_{alpha beta gamma }, T_{alpha beta }{} {gamma }, t_{alpha }{beta }{} {beta gamma }, t_{alpha }{}{beta gamma }, T^{alpha }{beta gamma }, T^{alpha } {beta }{gamma } T^{alpha beta }{}_{gamma }, T^{alpha beta gamma }
Generalmente, el tensor métrico covariante, contraído con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M − 1, N + 1), mientras que su inversa contravariante, contraída con un tensor de tipo (M, N), da un tensor de tipo (M + 1, N − 1).
Ejemplos
Como ejemplo, se puede obtener un tensor mixto de tipo (1, 2) elevando un índice de un tensor covariante de tipo (0, 3),
Tα α β β λ λ =Tα α β β γ γ gγ γ λ λ ,{displaystyle T_{alpha beta ♫ {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF}} {cHFF} {cHFF} {cHFF} }=T_{alpha beta gamma },g^{gamma lambda }
Tα α β β γ γ {displaystyle T_{alpha beta } {}{gamma }
Tα α β β λ λ δ δ λ λ γ γ =Tα α β β γ γ ,{displaystyle T_{alpha beta }{}{lambda },delta _{lambda }{} {gamma }=T_{alpha beta }{gamma }
Del mismo modo,
Tα α λ λ γ γ =Tα α β β γ γ gβ β λ λ ,{displaystyle T_{alpha ♫ {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF}} {cHFF} {cHFF} {cHFF} }{} {gamma }=T_{alpha beta gamma },g^{beta lambda }
Tα α λ λ ε ε =Tα α β β γ γ gβ β λ λ gγ γ ε ε ,{displaystyle T_{alpha }{}{lambda epsilon }=T_{alpha beta gamma },g^{beta lambda },g^{gamma epsilon }
Tα α β β γ γ =gγ γ λ λ Tα α β β λ λ ,{displaystyle T^{alpha beta }{} {gamma }=g_{gamma lambda },T^{alpha beta lambda }}
Tα α λ λ ε ε =gλ λ β β gε ε γ γ Tα α β β γ γ .{displaystyle T^{alpha }{} {\lambda epsilon }=g_{lambda beta },g_{epsilon gamma },T^{alpha beta gamma }
Elevar un índice del tensor métrico es equivalente a contraerlo con su inverso, dando como resultado el delta de Kronecker,
gμ μ λ λ gλ λ .. =gμ μ .. =δ δ μ μ .. ,{displaystyle g^{mulambda }g_{lambda nu }=g^{mu ################################################################################################################################################################################################################################################################ } {} {nu }
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