Tensor de tensión de Cauchy

En mecánico continuo, el Tensor de estrés de la caqui (símbolo) ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }$, llamado después de Augustin-Louis Cauchy), también llamado verdadero tensor de estrés o simplemente tensión tensor, define completamente el estado de estrés en un punto dentro de un material en el estado deformado, colocación o configuración. El tensor de segunda orden consta de nueve componentes ${\displaystyle \sigma _{ij}$ y relaciona un vector de dirección de longitud de unidad e to the vector de tracción T^()e) en una superficie imaginaria perpendicular a e:

${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {e}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }\quad {\text{or}\quad T_{j}{(e)}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}$

Las unidades básicas del SI tanto del tensor de tensión como del vector de tracción son newton por metro cuadrado (N/m²) o pascal (Pa), correspondiente al escalar de tensión. El vector unitario no tiene dimensiones.

El tensor de tensión de Cauchy obedece a la ley de transformación del tensor ante un cambio en el sistema de coordenadas. Una representación gráfica de esta ley de transformación es el círculo de tensión de Mohr.

El tensor de tensión de Cauchy se utiliza para el análisis de tensiones de cuerpos materiales que experimentan pequeñas deformaciones: es un concepto central en la teoría lineal de la elasticidad. Para deformaciones grandes, también llamadas deformaciones finitas, se requieren otras medidas de tensión, como el tensor de tensión de Piola-Kirchhoff, el tensor de tensión de Biot y el tensor de tensión de Kirchhoff.

Según el principio de conservación del impulso lineal, si el cuerpo continuo está en equilibrio estático se puede demostrar que los componentes del tensor de estrés de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio (las ecuaciones de movimiento de Cauchy para la aceleración cero). Al mismo tiempo, según el principio de la conservación del impulso angular, el equilibrio requiere que la suma de los momentos con respecto a un punto arbitrario sea cero, lo que conduce a la conclusión de que el tensor de estrés es simétrico, teniendo sólo seis componentes de estrés independientes, en lugar de los nueve originales. Sin embargo, en presencia de parejas, es decir, momentos por volumen de unidad, el tensor de estrés no es simétrico. Este también es el caso cuando el número Knudsen está cerca de uno, ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$, o el continuum es un líquido no newtoniano, que puede conducir a fluidos rotacionalmente no invariantes, como polímeros.

Existen ciertas invariantes asociadas con el tensor de tensión, cuyos valores no dependen del sistema de coordenadas elegido ni del elemento de área sobre el que opera el tensor de tensión. Estos son los tres valores propios del tensor de tensiones, que se denominan tensiones principales.

Principio de tensión de Euler-Cauchy – vector de tensión

El Principio de estrés de Euler-Cauchy declara que sobre cualquier superficie (real o imaginaria) que divide el cuerpo, la acción de una parte del cuerpo en la otra es equivalente (equipollent) al sistema de fuerzas distribuidas y parejas en la superficie que divide el cuerpo, y está representado por un campo ${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {n}}}$, llamado el vector de tracción, definido en la superficie ${\displaystyle S.$ y asumido depender continuamente del vector de la superficie ${\displaystyle \mathbf {n}$.

Para formular el principio de estrés Euler-Cauchy, considere una superficie imaginaria ${\displaystyle S.$ pasando por un punto de material interno ${\displaystyle P}$ dividiendo el cuerpo continuo en dos segmentos, como se ve en la Figura 2.1a o 2.1b (se puede utilizar el diagrama del plano de corte o el diagrama con el volumen arbitrario dentro del continuum encerrado por la superficie ${\displaystyle S.$).

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler, el movimiento de un cuerpo material es producido por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se supone que son de dos tipos: fuerzas superficiales ${\displaystyle \mathbf {F}$ y fuerzas del cuerpo ${\displaystyle \mathbf}$. Así pues, la fuerza total ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ aplicado a un cuerpo o a una parte del cuerpo se puede expresar como:

${\displaystyle {\fnMitcal}=\mathbf {b} - No.$

En este artículo solo se analizarán las fuerzas superficiales, ya que son relevantes para el tensor de tensión de Cauchy.

Cuando el cuerpo es sometido a fuerzas de superficie externas o fuerzas de contacto ${\displaystyle \mathbf {F}$, siguiendo las ecuaciones de movimiento de Euler, las fuerzas de contacto y los momentos internos se transmiten de punto a punto en el cuerpo, y de un segmento a otro a través de la superficie divisoria ${\displaystyle S.$, debido al contacto mecánico de una parte del continuum sobre la otra (Figura 2.1a y 2.1b). Sobre un elemento de área ${\displaystyle \Delta S}$ que contiene ${\displaystyle P}$, con vector normal ${\displaystyle \mathbf {n}$, la distribución de la fuerza está llena de fuerza ${\displaystyle \Delta \mathbf {F}$ ejercido en el punto P y momento de superficie ${\displaystyle \Delta \mathbf {M}$. En particular, la fuerza de contacto es dada por

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} {{(\mathbf {n}}\,\Delta S}$

Donde ${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {n}}}$ es tracción superficial media.

El principio de estrés de Cauchy afirma que como ${\displaystyle \Delta S}$ se vuelve muy pequeño y tiende a cero la relación ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$ se convierte en ${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ y el vector de estrés pareja ${\displaystyle \Delta \mathbf {M}$ desaparece. En campos específicos de mecánicos continuos se supone que el estrés de pareja no desaparece; sin embargo, las ramas clásicas de la mecánica continua abordan materiales no polares que no consideran estrés de pareja y momentos corporales.

El vector resultante ${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ se define como superficie de tracción, también llamado vector de estrés, traccióno vector de tracción. dado por ${\displaystyle \mathbf {} {}=T_{ {\f} {\fn} {\fn}}\mathbf {}}}\mathbf {e} ¿Qué?$ en el punto ${\displaystyle P}$ asociado con un plano con un vector normal ${\displaystyle \mathbf {n}$:

${\displaystyle T_{i} {\fn}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac Delta F_{i}{\ Delta S}={dF_{i} \over dS}$

Esta ecuación significa que el vector tensión depende de su ubicación en el cuerpo y de la orientación del plano sobre el que actúa.

Esto implica que la acción de equilibrio de las fuerzas de contacto internas genera un densidad de fuerza de contacto o Campo de tracción Cauchy ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n}\mathbf {x}t)}$ que representa una distribución de fuerzas de contacto internas a lo largo del volumen del cuerpo en una configuración particular del cuerpo en un momento dado ${\displaystyle t}$. No es un campo vectorial porque depende no sólo de la posición ${\displaystyle \mathbf {x}$ de un punto material particular, pero también sobre la orientación local del elemento de superficie definida por su vector normal ${\displaystyle \mathbf {n}$.

Dependiendo de la orientación del plano bajo consideración, el vector de estrés puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, i.e. paralelo a ${\displaystyle \mathbf {n}$, y se puede resolver en dos componentes (Figura 2.1c):

• uno normal al avión, llamado estrés normal

${\displaystyle \mathbf {\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnh} {\fnh} {\fnK}}}} {\fnh}} {\fnh}}}}}} {\\\fn9}}}}}}}} {\\fn9}}\\\\\\\\\\\\cH0}}\\\\\cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\ Delta S}={\frac {dF_{\mathrm {n} ♪♪$

Donde ${\displaystyle dF_{\mathrm {n}}$ es el componente normal de la fuerza ${\displaystyle d\mathbf}$ al área diferencial ${\displaystyle dS}$

• y el otro paralelo a este plano, llamado el estrés

${\displaystyle \mathbf {\tau} =\lim Delta S\to 0}{\frac {\fnK} {\fnMicrom} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\\fn}}} {\\fn}}}}} {\fnK}}}}}}} {\\\\\\\\\fnMicrom}\\\\\\fnMicrom} Delta S}={\frac {dF_{\mathrm {}} {dS}} {dS}} {dF_{} {} {} {} {ds}}} {ds}}} {}} {}} {} {dF_{} {} {} {} {} {} {} {}} {} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {} {} {} {}}}}} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {} {} {}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Donde ${\displaystyle dF_{\mathrm}$ es el componente tangencial de la fuerza ${\displaystyle d\mathbf}$ a la superficie diferencial ${\displaystyle dS}$. El estrés puede ser descompuesto en dos vectores mutuamente perpendiculares.

El postulado de Cauchy

Según el Postulado de Cauchy, el vector de estrés ${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {n}}}$ permanece sin cambios para todas las superficies que pasan por el punto ${\displaystyle P}$ y tener el mismo vector normal ${\displaystyle \mathbf {n}$ a ${\displaystyle P}$, es decir, tener un tangente común ${\displaystyle P}$. Esto significa que el vector de estrés es una función del vector normal ${\displaystyle \mathbf {n}$ sólo, y no está influenciado por la curvatura de las superficies internas.

Lema fundamental de Cauchy

Una consecuencia del postulado de Cauchy es el lema fundamental de Cauchy, también llamado teorema recíproco de Cauchy, que establece que los vectores de tensión que actúan sobre Los lados opuestos de la misma superficie son iguales en magnitud y opuestos en dirección. El lema fundamental de Cauchy es equivalente a la tercera ley del movimiento de acción y reacción de Newton y se expresa como

${\displaystyle -\mathbf {T} {\Mathbf {n}}=\mathbf {T} {\cH00} {\cH00FF}} {\cH00FF}}$

Teorema de tensión de Cauchy: tensor de tensión

El estado de tensión en un punto del cuerpo se define entonces por todos los vectores de tensión T^{(n)< /sup> asociado a todos los planos (infinitos en número) que pasan por ese punto. Sin embargo, según el teorema fundamental de Cauchy, también llamado teorema de tensión de Cauchy, simplemente conociendo los vectores de tensión en tres planos mutuamente perpendiculares, la tensión El vector en cualquier otro plano que pase por ese punto se puede encontrar mediante ecuaciones de transformación de coordenadas.}

El teorema de tensión de Cauchy establece que existe un campo tensor de segundo orden σ(x, t), llamado tensor de tensión de Cauchy, independiente de < b>n, tal que T es una función lineal de n:

${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {n}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }\quad {\text{or}\quad T_{j}=\sigma _{ij}n_{i}$

Esta ecuación implica que el vector de tensión T⁽ⁿ⁾ en cualquier punto P en un continuo asociado con un plano con vector unitario normal n se puede expresar en función de los vectores de tensión en los planos perpendiculares a los ejes de coordenadas, es decir, en términos de los componentes σ_ij del tensor de tensión σ.

Para probar esta expresión, considere un tetraedro con tres caras orientadas en los planos coordenados y con un área infinitesimal dA orientada en una dirección arbitraria especificada por un vector unitario normal n (Figura 2.2). El tetraedro se forma cortando el elemento infinitesimal a lo largo de un plano arbitrario con unidad normal n. El vector de tensión en este plano se denota por T⁽ⁿ⁾. Los vectores de tensión que actúan sobre las caras del tetraedro se denotan como T^(e₁), T^(e₂) y T^(e₃), y son por definición los componentes σ_ij del tensor de tensión σ . Este tetraedro a veces se llama tetraedro de Cauchy. El equilibrio de fuerzas, es decir la primera ley del movimiento de Euler (la segunda ley del movimiento de Newton), da:

${\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}} {\f}} {\f} {\f}} {\f}}} {\f}\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}} {\f}} {\f} {\f} {\f}\f}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

donde el lado derecho representa el producto de la masa encerrada por el tetraedro y su aceleración: ρ es la densidad, a es la aceleración y < i>h es la altura del tetraedro, considerando como base el plano n. El área de las caras del tetraedro perpendicular a los ejes se puede encontrar proyectando dA en cada cara (usando el producto escalar):

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right) DA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

y luego sustituyendo en la ecuación para cancelar dA:

${\fn}-\mathbf {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f})}n_}-\mathbf {} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}\f}\f} {\f}\f}}}}\f} {\f}\f}}}}}}\f}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}}}\f}\f}} {\f}}}}\f}\f}}\f}}}}\f}}}}}}\f} {\f} {\f}\f}}}}}\f}\f}\f}\f}}}\f}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}}}}}\f}}}}}}}}}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Para considerar el caso límite cuando el tetraedro se reduce a un punto, h debe llegar a 0 (intuitivamente, el plano n se traslada a lo largo de n hacia O). Como resultado, el lado derecho de la ecuación tiende a 0, por lo que

${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {n}=\mathbf {T} } {\cH00} {\cH00} {\cH00}\cH00}} ¿Qué? No.$

Suponiendo un elemento material (Figura 2.3) con planos perpendiculares a los ejes de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesiano, los vectores de tensión asociados con cada uno de los planos del elemento, es decir, T^(e₁), T^{(e ₂)}, y T^(e₃) se pueden descomponer en un componente normal y dos componentes de corte, es decir componentes en la dirección de los tres ejes de coordenadas. Para el caso particular de una superficie con un vector unitario normal orientado en la dirección del eje x₁, denota la tensión normal por σ< sub>11, y los dos esfuerzos cortantes como σ₁₂ y σ₁₃:

${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {e} ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3}$

${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {e} ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$

${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {e} ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? _{3}$

En notación de índice esto es

${\displaystyle \mathbf {T} {\Mathbf {e} ¿Por qué? ¿Por qué?$

Los nueve componentes σ_ij de los vectores de tensión son los componentes de un tensor cartesiano de segundo orden llamado tensor de tensión de Cauchy, que se puede utilizar para definir completamente el estado de tensión en un punto y está dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} {\f}\\\\fnMitbf {\f}\\\fnMitbf {\f}\\m}\\mtbf {}}}\\m\s}\mhbf} {\fnMitbf {\cH00}\cH00}\cH00}\cHFF}\cH00}\cH00}\cH0}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00} {\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}}\cH00}}\cH00}}}}\cH00}\ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? - ¿Qué? - ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Por qué? - Bien.$

donde σ₁₁, σ₂₂ y σ ₃₃ son tensiones normales, y σ₁₂, σ₁₃, σ₂₁, σ₂₃, σ₃₁ y σ ₃₂ son tensiones cortantes. El primer índice i indica que la tensión actúa en un plano normal al eje X_i, y el segundo índice j denota la dirección en la que actúa la tensión (por ejemplo, σ₁₂ implica que la tensión actúa en el plano que es normal al 1_er eje, es decir; X₁ y actúa a lo largo del segundo eje, es decir, X₂). Una componente de tensión es positiva si actúa en la dirección positiva de los ejes coordenados y si el plano donde actúa tiene un vector normal hacia afuera que apunta en la dirección coordenada positiva.

Así, utilizando los componentes del tensor de tensión

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} {\m}} {\mthbf {n} {\m} {\cH00}}} {\cH00}} {\cH00}\cH00}} ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?$

o, equivalentemente,

${\displaystyle T_{j} {\fn}=\sigma _{ij}n_{i}$

Alternativamente, en forma matricial tenemos

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn} {\cHFF}} {\cHFF}\fn} {\c\cH00}\c\cH00}\cH00}\cH00} {\cH00}\cH00}\cH00}}}}\cH00}}}\cH00}}\cH00}}}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00} {\cH00}\cH00} {\cH00}}\cH00}}}\cH00}\cH00} {\cH00}}}}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00} {\cH00}}\cH00}}\cH00}\cH00}\cH00}}}\cH00} ¿Por qué? ¿Por qué?$

La representación en notación Voigt del tensor de tensión de Cauchy aprovecha la simetría del tensor de tensión para expresar la tensión como un vector de seis dimensiones de la forma:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma #={\begin{bmatrix}\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {6}\end{bmatrix} {\textosf {T}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {T}}$

La notación de Voigt se utiliza ampliamente para representar las relaciones tensión-deformación en mecánica de sólidos y para la eficiencia computacional en software de mecánica estructural numérica.

Regla de transformación del tensor de tensión

Se puede demostrar que el tensor de tensión es un tensor contravariante de segundo orden, que es una declaración de cómo se transforma bajo un cambio del sistema de coordenadas. De un sistema x_i a un sistema x_i' -system, los componentes σ_ij en el sistema inicial se transforman en los componentes σ_ij' en el nuevo sistema según la regla de transformación tensorial (Figura 2.4):

${\displaystyle \sigma ¿Qué? ¿Por qué? {\sigma ♪♪♪♪♪Mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma ♪♪ {A} ^{\textsf {T}}}$

donde A es una matriz de rotación con componentes a_in. En forma matricial esto es

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11} ################################################################################################################################################################################################################################################################ '_{21} ################################################################################################################################################################################################################################################################ '_{31} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Expandiendo la operación matricial y simplificando términos usando la simetría del tensor de tensión, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ¿Qué? ### {11}+a_{12} {2}\sigma ### {22}+a_{13} {2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma ##{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\\\sigma {22}={21} {2}\sigma ¿Qué? ##{22}+a_{23} {2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma ##{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\\\sigma ¿Qué? ¿Qué? - ¿Por qué? _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma ##{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma {12}={11}a_{21}\sigma ##{11}+a_{12}a_{22}\sigma {22}+a_{13}a_{23}\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22}\sigma _{23}a_{11}a_{23}a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\\sigma {23}={21}a_{31}\sigma ##{11}+a_{22}a_{32}\sigma ##{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{32}a_{31}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32}\sigma _{23}a_{21}a_{33}a_{23}a_{31}\sigma _{13},\\\\sigma {13}={11}a_{31}\sigma ##{11}+a_{12}a_{32}\sigma ##{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{32}a_{31}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma ¿Qué?$

El círculo de Mohr para tensiones es una representación gráfica de esta transformación de tensiones.

Esfuerzos normales y cortantes

La magnitud del componente de tensión normal σ_n de cualquier vector de tensión T^{(n )} actuando sobre un plano arbitrario con el vector unitario normal n en un punto dado, en términos de las componentes σ_ij de la tensor de tensión σ, es el producto escalar del vector de tensión y el vector unitario normal:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} âTMa=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n})}\cdot \mathbf {n}\\\\\\\sig} {\\s}\\cH0} {\c}\c}\\c}\\\c}\c}\c}\c}\c}\\\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\cdot\c}\\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c\c}\cdot\c}\\\\c\c\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c {\fnK}$

La magnitud del componente de tensión cortante τ_n, que actúa ortogonalmente al vector n, se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} {\sqrt {\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n})}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {\n} {\s}} ################################################################################################################################################################################################################################################################$

dónde

${\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n}}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n})}T_{i}{(\mathbf {n}}=\left(\sigma) ¿Por qué? ¿Por qué? _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}$

Leyes del equilibrio: ecuaciones de movimiento de Cauchy

Primera ley del movimiento de Cauchy

De acuerdo con el principio de conservación del momento lineal, si el cuerpo continuo está en equilibrio estático, se puede demostrar que los componentes del tensor de tensión de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio:

${\displaystyle \sigma ¿Qué?$,

Donde ${\displaystyle \sigma _{ji,j}=\sum _{j}\partial _{j}\sigma _{ji}$

Por ejemplo, para un fluido hidrostático en condiciones de equilibrio, el tensor de tensión toma la forma:

${\displaystyle {\sigma - ¿Qué? - ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle p}$ es la presión hidrostática y ${\displaystyle {\delta}}}$ Es el delta de la caballa.

Derivación de ecuaciones de equilibrio

Considerar un órgano continuo (véase el gráfico 4) que ocupa un volumen ${\displaystyle V}$, tener una superficie ${\displaystyle S.$, con tracción definida o fuerzas superficiales ${\displaystyle T_{i} { n)}$ por área unidad actuando en cada punto de la superficie del cuerpo, y fuerzas del cuerpo ${\displaystyle F_{i}$ por unidad de volumen en cada punto dentro del volumen ${\displaystyle V}$. Así, si el cuerpo está en equilibrio, la fuerza resultante actuando en el volumen es cero, por lo tanto: ${\displaystyle \int ¿Por qué? ¿Qué?$ Por definición el vector de estrés es ${\displaystyle T_{i}{(n)}=\sigma ¿Qué?$Entonces ${\displaystyle \int ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$ Usando el teorema de divergencia de Gauss para convertir una superficie integral a un volumen integral ${\displaystyle \int _{V}\sigma ##{ji,j}\,dV+\int ¿Qué?$ ${\displaystyle \int _{V}(\sigma ¿Qué?$ Para un volumen arbitrario la integral desaparece, y tenemos la equilibrio ecuaciones ${\displaystyle \sigma ¿Qué?$

Segunda ley del movimiento de Cauchy

De acuerdo con el principio de conservación del momento angular, el equilibrio requiere que la sumatoria de los momentos con respecto a un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de tensiones es simétrico, teniendo por tanto sólo seis componentes de tensión independientes, en lugar de de los nueve originales:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}$

Derivación de la simetría del tensor de estrés

Resumiendo momentos sobre el punto O (Figura 4) el momento resultante es cero como el cuerpo está en equilibrio. Así, ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{O} _{S}(\mathbf {r} \times \mathbf {T})dS+\int _{V}(\mathbf {r} \times \mathbf {F}dV=0\0\0 _{S}\varepsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{V}\varepsilon ¿Qué?$ Donde ${\displaystyle \mathbf {r}$ es el vector de posición y se expresa como ${\displaystyle \mathbf {r} - Sí.$ Saber que ${\displaystyle T_{k}{(n)}=\sigma ¿Qué?$ y usando el teorema de divergencia de Gauss para cambiar de una superficie integral a un volumen integral, tenemos ${\displaystyle {\begin{aligned}0 limit=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{V}\varepsilon ¿Por qué? _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma ¿Qué? _{V}\varepsilon ¿Por qué? _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk}+\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma - ¿Qué? _{V}\varepsilon ¿Por qué? _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma DV+\int Varepsilon... ¿Por qué?$ La segunda integral es cero ya que contiene las ecuaciones de equilibrio. Esto deja la primera integral, donde ${\displaystyle x_{j,m}=\delta ¿Qué?$, por consiguiente ${\displaystyle \int _{V}(\varepsilon _{ijk}\sigma _{jk})dV=0}$ Para un volumen arbitrario V, entonces tenemos ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\sigma ¿Qué?$ que está satisfecho en cada punto dentro del cuerpo. Ampliando esta ecuación tenemos ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}$, ${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}$, y ${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}$ o en general ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}$ Esto demuestra que el tensor de estrés es simétrico

Sin embargo, en presencia de parejas, es decir, momentos por volumen de unidad, el tensor de estrés no es simétrico. Este también es el caso cuando el número Knudsen está cerca de uno, ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$, o el continuum es un líquido no newtoniano, que puede conducir a fluidos rotacionalmente no invariantes, como polímeros.

Esfuerzos principales e invariantes de estrés

En cada punto de un cuerpo estresado hay al menos tres aviones, llamados aviones principales, con vectores normales ${\displaystyle \mathbf {n}$, llamado direcciones principales, donde el vector de estrés correspondiente es perpendicular al plano, es decir, paralelo o en la misma dirección que el vector normal ${\displaystyle \mathbf {n}$, y donde no hay tensiones normales de oso ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n}}$. Los tres esfuerzos normales para estos aviones principales se llaman principales tensiones.

Los componentes ${\displaystyle \sigma _{ij}$ del tensor de estrés depende de la orientación del sistema de coordenadas en el punto que se examina. Sin embargo, el tensor de estrés en sí es una cantidad física y como tal, es independiente del sistema de coordenadas elegido para representarlo. Hay ciertos invariantes asociados con cada tensor que también son independientes del sistema de coordenadas. Por ejemplo, un vector es un simple tensor de rango uno. En tres dimensiones, tiene tres componentes. El valor de estos componentes dependerá del sistema de coordenadas elegido para representar el vector, pero la magnitud del vector es una cantidad física (un escalar) y es independiente del sistema de coordenadas cartesiano elegido para representar el vector (si es normal). Del mismo modo, cada segundo tensor de rango (como el estrés y los tensores de cepa) tiene tres cantidades invariantes independientes asociadas con él. Un conjunto de tales invariantes son las principales tensiones del tensor de estrés, que son sólo los eigenvalues del tensor de estrés. Sus vectores de dirección son las direcciones principales o los eigenvectores.

Un vector de estrés paralelo al vector de unidad normal ${\displaystyle \mathbf {n}$ es dado por:

${\displaystyle \mathbf {T} {\mathbf {n}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }Mathbf {n}$

Donde ${\displaystyle \lambda }$ es una constante de proporcionalidad, y en este caso en particular corresponde a las magnitudes ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n}}$ de los vectores de estrés normales o tensiones principales.

Saber que ${\displaystyle T_{i}{(n)}=\sigma ¿Qué?$ y ${\displaystyle No. ¿Qué?$, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}{(n)} limit=\lambda No. ################################################################################################################################################################################################################################################################ No. ##{ij}n_{j}-\lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?$

Este es un sistema homogéneo, es decir, igual a cero, de tres ecuaciones lineales donde ${\displaystyle No.$ son los desconocidos. Para obtener una solución no trivial (no cero) ${\displaystyle No.$, la matriz determinante de los coeficientes debe ser igual a cero, es decir, el sistema es singular. Así,

${\displaystyle \lefttención\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right WordPress={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda 'sigma - ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{22}-\lambda &\sigma _{32}\sigma _{33}-\lambda \\end{vmatrix}=0}$

Ampliar el determinante conduce a la ecuación característica

${\displaystyle \lefttención\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right sometida=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda #$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1} _{11}+\sigma _{22}+\sigma - ¿Qué? {\fnK}\[4pt]I_{2}={\begin{vmatrix}\sigma - ¿Qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma ¿Qué? - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{jj}-\sigma ¿Por qué? {\sigma [4pt]I_{3}=\det(\sigma _{ij})=\det({y})=\det({\boldsymbol {\sigma })\\\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma ### {12} {2}\sigma _{33}-\sigma - ¿Qué? _{11}-\sigma ¿Por qué?$

La ecuación característica tiene tres raíces reales ${\displaystyle \lambda _{i}$, es decir, no imaginario por la simetría del tensor de estrés. El ${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$, ${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$ y ${\displaystyle \sigma - Sí. _{1}-\sigma ¿Qué?$, son las principales tensiones, funciones de los eigenvalues ${\displaystyle \lambda _{i}$. Los eigenvalues son las raíces del polinomio característico. Las principales tensiones son únicas para un tensor de estrés dado. Por lo tanto, desde la ecuación característica, los coeficientes ${\displaystyle I_{1}$, ${\displaystyle I_{2}$ y ${\displaystyle I_{3}$, llamado el primero, el segundo y el tercero estrés invariantes, respectivamente, siempre tienen el mismo valor independientemente de la orientación del sistema de coordenadas.

Para cada eigenvalue, hay una solución no trivial para ${\displaystyle No.$ en la ecuación ${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$. Estas soluciones son las direcciones principales o eigenvectores que definen el plano donde actúan las principales tensiones. Las principales tensiones y direcciones principales caracterizan el estrés en un momento y son independientes de la orientación.

Un sistema de coordenadas con ejes orientados a las direcciones principales implica que las tensiones normales son las tensiones principales y el tensor de tensiones está representado por una matriz diagonal:

${\displaystyle \sigma ####### {\begin{bmatrix}\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$

Las principales tensiones se pueden combinar para formar invariantes de estrés, ${\displaystyle I_{1}$, ${\displaystyle I_{2}$, y ${\displaystyle I_{3}$. El primero y tercer invariante son el trazo y determinante respectivamente, del tensor de estrés. Así,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1} _{1}+\sigma _{2}+\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{1}\sigma _{2}+\sigma ¿Qué? _{3}+\sigma _{3}\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Por qué?$

Debido a su simplicidad, el sistema de coordenadas principal suele ser útil cuando se considera el estado del medio elástico en un punto particular. Las tensiones principales a menudo se expresan en la siguiente ecuación para evaluar tensiones en las direcciones x e y o tensiones axiales y de flexión en una pieza. Luego, las tensiones normales principales se pueden utilizar para calcular la tensión de von Mises y, en última instancia, el factor de seguridad y el margen de seguridad.

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma ¿Qué? {\sigma _{x}+\sigma ¿Qué? {\fnMicrosoft {\fnMicroc {\sigma} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?$

Usar solo la parte de la ecuación debajo de la raíz cuadrada es igual al esfuerzo cortante máximo y mínimo para más y menos. Esto se muestra como:

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?$

Esfuerzos cortantes máximos y mínimos

El máximo estresante o el máximo estrés principal es igual a la mitad de la diferencia entre las tensiones principales más grandes y más pequeñas, y actúa en el plano que se bifurca el ángulo entre las direcciones de las mayores y más pequeñas tensiones principales, es decir, el plano del máximo estrés del estiércol está orientado ${\displaystyle 45^{\circ }$ de los principales aviones de estrés. El máximo estrés de la ola se expresa como

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left durable\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right sometida}$

Sumas ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma ¿Qué?$ entonces

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}\left upon\sigma _{1}-\sigma ¿Por qué?$

Cuando el tensor de tensión es distinto de cero, el componente de tensión normal que actúa en el plano para el esfuerzo cortante máximo es distinto de cero y es igual a

${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {1}{2}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)}$

Derivación de las tensiones máximas y mínimas

El estrés normal se puede escribir en términos de tensiones principales ${\displaystyle (\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$ como ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ### {\mathrm {n} } âTMa â\sigma ¿Por qué? # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ¿Qué?$ Saber que ${\displaystyle \left(T^{(n)}\right)^{2}=\sigma _{ij}\sigma ¿Qué?$, se expresa el estresante en términos de los principales componentes de estrés ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}{2} {=\left(T^{(n)}\right)}-\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? _{1}-\sigma _{3}\right)n_{2}+\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)n_{2}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma}\sigma}\sigma ¿Qué? _{2}-\sigma ¿Por qué? _{1}-\sigma ¿Por qué?$ El máximo estrés del tirón en un punto en un cuerpo continuo se determina maximizando ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} {2}}$ sujeto a la condición de que ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################$ Este es un problema de maximización limitada, que se puede resolver utilizando la técnica de multiplicador lagrangiano para convertir el problema en un problema de optimización sin restricciones. Así, los valores estacionarios (valores máximos y mínimos) de ${\displaystyle \tau _{n} {2}}$ ocurre donde el gradiente de ${\displaystyle \tau _{n} {2}}$ es paralelo al gradiente de ${\displaystyle F}$. La función lagrangiana para este problema se puede escribir como ${\displaystyle {\begin{aligned}F\left(n_{1},n_{2},n_{3},\lambda \right) recur=\tau ^{2}+\lambda \left(g\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)-1\right)\ma\sig] ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ¿Por qué?$ Donde ${\displaystyle \lambda }$ es el multiplicador lagrangiano (que es diferente del ${\displaystyle \lambda }$ use to denote eigenvalues). Los valores extremos de estas funciones son ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial {\fnh}}=0\qquad {\fnMicroc {\partial F}{\partial {\fnK}}=0\qquad {\fnMicroc {\partial F}{\partial No.$ Desde entonces ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial #### {1}=n_{1}\sigma _{1}{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma) # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ No.$ ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial #### {2}=n_{2}\sigma ¿Por qué? # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ No.$ ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial #### {3}=n_{3}\sigma ¿Por qué? # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ No.$ Estas tres ecuaciones junto con la condición ${\displaystyle No.$ puede ser resuelto ${\displaystyle \lambdan_{1},n_{2}$ y ${\displaystyle No.$ Multiplicando las tres primeras ecuaciones ${\displaystyle No.$ y ${\displaystyle No.$, respectivamente, y sabiendo que ${\displaystyle \sigma _{n}=\sigma ##{ij}n_{i}n_{j}=\sigma # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ¿Qué?$ obtenemos ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? # {1}n_{1} {2}\sigma ## {\text{n}+n_{1} {2}\lambda =0}$ ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? # {2}n_{2}\sigma ### {\text{n}+n_{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ## {1}n_{3} {2}\sigma ### {\text{n}+n_{3} {2}\lambda =0}$ Añadiendo estas tres ecuaciones obtenemos ${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n_{1}{2}\sigma ¿Qué? ¿Qué? - ¿Por qué? # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ## {3}n_{3} {2}\derecha]\sigma ##{\mathrm {n}+\lambda \left (n_{1}{2}+n_{2}{2}+n_{3}{2}\right) Pulse=0\\\\\left[\tau] ¿Qué? }{2}+\left(\sigma) # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ¿Por qué? ¿Qué? }{2}+\lambda ¿Qué? }{2}+\lambda . 'sigma _{\mathrm {n} }{2}-\tau ¿Qué? } {2}\end{aligned}}$ este resultado se puede sustituir en cada una de las tres primeras ecuaciones para obtener ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial #### {1}=n_{1}\sigma _{1}{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma) # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ¿Por qué? ## {\text{n} {2}-\tau ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{1}{2}-2n_{1}\sigma _{1}\sigma _{\text{n}+\left(\sigma _{n}}{2}-\tau ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{1}{2}-2\sigma _{1}\sigma _{\text{n}+\sigma ## {\text{n} {2}-\tau {\fnh00} {\fn}\fnK}\\fnK}$ Haciendo lo mismo por las otras dos ecuaciones que tenemos ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? ¿Por qué?$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial No. ¿Por qué? - ¿Qué? ¿Por qué?$ Un primer enfoque para resolver estas últimas tres ecuaciones es considerar la solución trivial ${\displaystyle No.$. Sin embargo, esta opción no cumple la restricción ${\displaystyle No.$. Considerando la solución donde ${\displaystyle No.$ y ${\displaystyle n_{3}\neq 0}$, se determina de la condición ${\displaystyle No.$ que ${\displaystyle N_{3}=\pm 1}$, entonces de la ecuación original para ${\displaystyle \tau _{n} {2}}$ se ve que ${\displaystyle \tau _{n}=0}$. Los otros dos valores posibles ${\displaystyle \tau _{n}}$ puede obtenerse de manera similar asumiendo ${\displaystyle No.$ y ${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle No.$ y ${\displaystyle n_{1}\neq 0}$ Así, un conjunto de soluciones para estas cuatro ecuaciones es: ${\displaystyle {\begin{aligned}n_{1} limit=0, limitn_{2} {=0, limitn_{3} duplica=\pm 1, tercero\tau _{\text{n} {\n_} limit=0\n_{1} limit=0, limitn_{2} 1 , 3 } ################################################################################################################################################################################################################################################################ 1.$ Estos corresponden a valores mínimos ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n}}$ y verifica que no hay tensiones en los planos normales a las principales direcciones de estrés, como se muestra anteriormente. Se obtiene un segundo conjunto de soluciones asumiendo ${\displaystyle N_{1}=0,\,n_{2}\neq 0}$ y ${\displaystyle n_{3}\neq 0}$. Así tenemos ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial #### {2}=\sigma - ¿Qué? - ¿Qué? ## {\text{n} {2}-\tau ¿Por qué?$ ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial #### {3}=\sigma ¿Por qué? - ¿Qué? ## {\text{n} {2}-\tau ¿Por qué?$ Para encontrar los valores ${\displaystyle No.$ y ${\displaystyle No.$ primero agregamos estas dos ecuaciones ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ¿Qué? _{3}{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}+2\sigma _{3}\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? _{2}-\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{2}+\sigma ¿Por qué?$ Saber eso para ${\displaystyle No.$ ${\displaystyle \sigma _{n}=\sigma # {1}n_{2}+\sigma # {2}n_{2}}+\sigma # {3}n_{3} {2}=\sigma # {2}n_{2}}+\sigma ¿Qué?$ y ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################$ tenemos ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}+\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{2}+\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ # {2}n_{2}}+\sigma ## {3}n_{3} {2}\derecha]\\\\sigma _{2}+\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ # {2}n_{2}}+\sigma ¿Qué? {\fn_{2} {2}\derecha)=0\end{aligned}}$ y resolución para ${\displaystyle No.$ tenemos ${\displaystyle - No.$ Entonces resolviendo ${\displaystyle No.$ tenemos ${\displaystyle No. {1-n_{2}=\pm {\fnMicroc {1}{\sqrt {2}}}$ y ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}{2} {\sigma _{2}-\sigma ¿Por qué? {\sigma _{2}-\sigma {}} {\fn} {\fnK}} {\fn}}\fnK}} {\fnK}} {\fn} {\fnK}}}}}\fn}}} {\fn}}} {\fn\fn}} {\fnK}}} {\fnK}}}\f}\fn}}\f}}}\f}\f}}}\f}\f}\f}\f}\fn}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn}\f}\fn}\f}\fn}\f}\fn}\fn}\fn}\fn}}\fn}}\fn}\f}\f}\fn\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\f}\fn}\$ Los otros dos valores posibles ${\displaystyle \tau _{n}}$ puede obtenerse de manera similar asumiendo ${\displaystyle N_{2}=0,\,n_{1}\neq 0}$ y ${\displaystyle n_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle N_{3}=0,\,n_{1}\neq 0}$ y ${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ Por lo tanto, el segundo conjunto de soluciones para ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} F}{\partial No.$, representando un máximo para ${\displaystyle \tau _{n}}$ es ${\displaystyle #### {1}=0,\,\,n_{2}=\pm {\fnMicroc {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=\pm {\fnMicroc {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}=\pm #frac {\sigma _{2}-\sigma ¿Qué?$ ${\displaystyle No. {2}},\,\, n_{2}=0,\,n_{3}=\pm {\fnMicroc {1}{\sqrt {2}},\,\,\fnh}=\pm #frac {\sigma _{1}-\sigma ¿Qué?$ ${\displaystyle No. {2}}},\,\,n_{2}=\pm {\fnMicroc {1}{\sqrt {2}},\,\, n_{3}=0,\,\,\tau _{\text{n}=\pm #frac {\sigma _{1}-\sigma ¿Qué?$ Por lo tanto, asumiendo ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma ¿Qué?$, el máximo estrés del tinte se expresa por ${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}\left durable\sigma _{1}-\sigma ¿Por qué? {1}{2}\left durable\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right WordPress}$ y se puede decir que es igual a la mitad de la diferencia entre las tensiones principales más grandes y más pequeñas, actuando en el plano que biseca el ángulo entre las direcciones de las tensiones principales más grandes y más pequeñas.