Tensor de curvatura de Riemann

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Tensor field in Riemannian geometry

En el campo matemático de la geometría diferencial, el tensor de curvatura de Riemann o tensor de Riemann-Christoffel (después de Bernhard Riemann y Elwin Bruno Christoffel) es la forma más común utilizada para expresar la curvatura de las variedades de Riemann. Asigna un tensor a cada punto de una variedad de Riemann (es decir, es un campo tensorial). Es una invariante local de la métrica de Riemann que mide el fracaso de las derivadas de la segunda covariante para conmutar. Una variedad de Riemann tiene curvatura cero si y solo si es plana, es decir, localmente isométrica al espacio euclidiano. El tensor de curvatura también se puede definir para cualquier variedad pseudo-riemanniana o, de hecho, para cualquier variedad equipada con una conexión afín.

Es una herramienta matemática central en la teoría de la relatividad general, la teoría moderna de la gravedad, y la curvatura del espacio-tiempo es, en principio, observable a través de la ecuación de desviación geodésica. El tensor de curvatura representa la fuerza de marea experimentada por un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de una geodésica en un sentido precisado por la ecuación de Jacobi.

Definición

Vamos.M, g) ser un manifold Riemanniano o pseudo-Riemanniano, y ${displaystyle {mathfrak {X}}(M)}$ ser el espacio de todos los campos vectoriales en M. Definimos el Riemann curvatura tensor como mapa ${displaystyle Rcolon {mathfrak {X}}(M)times {mathfrak {X}}(M)times {mathfrak {X}}(M)rightarrow {mathfrak {X}}(M)}$ por la siguiente fórmula donde $nabla$ es una conexión afine:

{displaystyle R(X,Y)Z=nabla _{X}nabla _{Y}Z-nabla _{Y}nabla _{X}Z-nabla _{[X,Y]}Z}

o equivalente

{displaystyle R(X,Y)=[nabla _{X},nabla _{Y}]-nabla _{[X,Y]}}

DondeX, Y] es el soporte de Lie de campos vectoriales y ${displaystyle [nabla _{X},nabla _{Y}]}$ es un conmutador de operadores diferenciales. Para cada par de vectores tangentes u, v, R()u, v) es una transformación lineal del espacio tangente del manifold. Es lineal en u y v, y así define un tensor. En ocasiones, el tensor de curvatura se define con el signo opuesto.

Si ${displaystyle X=partial /partial x^{i}}$ y ${displaystyle Y=partial /partial x^{j}}$ son campos vectoriales de coordinación ${displaystyle [X,Y]=0}$ y por lo tanto la fórmula simplifica

{displaystyle R(X,Y)Z=nabla _{X}nabla _{Y}Z-nabla _{Y}nabla _{X}Z.}

El tensor de curvatura mide noncommutativity of the covariant derivative, y como tal es la obstrucción de la integración para la existencia de una isometría con el espacio euclidiano (llamado, en este contexto, plana espacio). La transformación lineal ${displaystyle wmapsto R(u,v)w}$ también se llama transformación de curvatura o endomorfismo.

La fórmula de curvatura también se puede expresar en términos de la segunda derivada covariante definida como:

nabla^2_{u,v} w = nabla_unabla_v w - nabla_{nabla_u v} w

que es lineal en u y v. Entonces:

{displaystyle R(u,v)=nabla _{u,v}^{2}-nabla _{v,u}^{2}}

Así, en el caso general de los vectores no coordinados u y v, el tensor de curvatura mide la no conmutatividad de la segunda derivada covariante.

Significado geométrico

Figura mostrando el significado geométrico del tensor de curvatura Riemann en un manifold esférico curvado. El hecho de que esta transferencia pueda definir dos flechas diferentes en el punto de partida da lugar al tensor de curvatura Riemann. El símbolo ortogonal indica que el producto de punto (provista por el tensor métrico) entre las flechas transmitidas (o las flechas tangentes en la curva) es cero. El ángulo entre las dos flechas es cero cuando el espacio es plano y superior a cero cuando el espacio es curvado. Cuanto más curva el espacio, mayor es el ángulo.

Informalmente

Se pueden ver los efectos del espacio curvo comparando una cancha de tenis y la Tierra. Comience en la esquina inferior derecha de la cancha de tenis, con una raqueta hacia el norte. Luego, mientras camina por el contorno de la cancha, en cada paso asegúrese de que la raqueta de tenis se mantenga en la misma orientación, paralela a sus posiciones anteriores. Una vez que se complete el bucle, la raqueta de tenis estará paralela a su posición inicial inicial. Esto se debe a que las canchas de tenis están construidas para que la superficie sea plana. Por otro lado, la superficie de la Tierra es curva: podemos completar un bucle en la superficie de la Tierra. Comenzando en el ecuador, apunta una raqueta de tenis hacia el norte a lo largo de la superficie de la Tierra. Una vez más, la raqueta de tenis debe permanecer siempre paralela a su posición anterior, tomando como referencia el plano local del horizonte. Para este camino, primero camine hacia el polo norte, luego gire 90 grados y camine hasta el ecuador, y finalmente gire 90 grados y camine de regreso al inicio. Sin embargo, ahora la raqueta de tenis apuntará hacia atrás (hacia el este). Este proceso es similar al transporte paralelo de un vector a lo largo de la ruta y la diferencia identifica cómo las líneas que parecen "rectas" son solo "recta" en la zona. Cada vez que se completa un bucle, la raqueta de tenis se desviará más de su posición inicial en una cantidad que depende de la distancia y la curvatura de la superficie. Es posible identificar caminos a lo largo de una superficie curva donde el transporte paralelo funciona como lo hace en un espacio plano. Estas son las geodésicas del espacio, por ejemplo cualquier segmento de un gran círculo de una esfera.

El concepto de un espacio curvo en matemáticas difiere del uso conversacional. Por ejemplo, si el proceso anterior se completó en un cilindro, se encontraría que no está curvado en general, ya que la curvatura alrededor del cilindro se cancela con la planitud a lo largo del cilindro, esto es una consecuencia de la curvatura gaussiana y Gauss' Teorema Egregium. Un ejemplo familiar de esto es una rebanada de pizza flexible que permanecerá rígida a lo largo si se curva a lo ancho.

El tensor de curvatura de Riemann es una forma de capturar una medida de la curvatura intrínseca. Cuando lo escribes en términos de sus componentes (como escribir los componentes de un vector), consiste en una matriz multidimensional de sumas y productos de derivadas parciales (algunas de esas derivadas parciales se pueden considerar similares a la captura de la curvatura impuesta a alguien que camina en línea recta sobre una superficie curva).

Formalmente

Cuando un vector en un espacio euclidiano se transporta en paralelo alrededor de un bucle, volverá a apuntar en la dirección inicial después de regresar a su posición original. Sin embargo, esta propiedad no se cumple en el caso general. El tensor de curvatura de Riemann mide directamente el fallo de este en una variedad general de Riemann. Este fallo se conoce como la no holonomía de lo múltiple.

Vamos $x_{t}$ ser una curva en un manifold Riemanniano $M$ . Denote by ${displaystyle tau _{x_{t}}:T_{x_{0}}Mto T_{x_{t}}M}$ el mapa de transporte paralelo $x_{t}$ . Los mapas de transporte paralelo están relacionados con el derivado covariante por

{displaystyle nabla _{{dot {x}}_{0}}Y=lim _{hto 0}{frac {1}{h}}left(Y_{x_{0}}-tau _{x_{h}}^{-1}left(Y_{x_{h}}right)right)=left.{frac {d}{dt}}left(tau _{x_{t}}Yright)right|_{t=0}}

para cada campo vectorial $Y$ definido a lo largo de la curva.

Supongamos que $X$ y $Y$ son un par de campos vectoriales de conmutación. Cada uno de estos campos genera un grupo de difeomorfismos de un parámetro en un barrio $x_{0}$ . Denote by ${displaystyle tau _{tX}}$ y ${displaystyle tau _{tY}}$ , respectivamente, los transportes paralelos a lo largo de las corrientes de $X$ y $Y$ por tiempo $t$ . Transporte paralelo de un vector ${displaystyle Zin T_{x_{0}}M}$ alrededor del cuadrilátero con lados ${displaystyle tY}$ , ${displaystyle sX}$ , ${displaystyle -tY}$ , ${displaystyle -sX}$ es dado por

tau_{sX}^{-1}tau_{tY}^{-1}tau_{sX}tau_{tY}Z.

Esto mide el fracaso del transporte paralelo al regreso $Z$ a su posición original en el espacio tangente ${displaystyle T_{x_{0}}M}$ . Arrugando el bucle enviando ${displaystyle s,tto 0}$ da la descripción infinitesimal de esta desviación:

{displaystyle left.{frac {d}{ds}}{frac {d}{dt}}tau _{sX}^{-1}tau _{tY}^{-1}tau _{sX}tau _{tY}Zright|_{s=t=0}=left(nabla _{X}nabla _{Y}-nabla _{Y}nabla _{X}-nabla _{[X,Y]}right)Z=R(X,Y)Z}

Donde $R$ Es el tensor de curvatura Riemann.

Expresión de coordenadas

Convirtiendo a la notación de índice tensorial, el tensor de curvatura de Riemann viene dado por

{displaystyle R^{rho }{}_{sigma mu nu }=dx^{rho }left(Rleft(partial _{mu },partial _{nu }right)partial _{sigma }right)}

Donde $partial_{mu} = partial/partial x^{mu}$ son los campos vectoriales de coordenadas. La expresión anterior se puede escribir usando símbolos de Christoffel:

{displaystyle R^{rho }{}_{sigma mu nu }=partial _{mu }Gamma ^{rho }{}_{nu sigma }-partial _{nu }Gamma ^{rho }{}_{mu sigma }+Gamma ^{rho }{}_{mu lambda }Gamma ^{lambda }{}_{nu sigma }-Gamma ^{rho }{}_{nu lambda }Gamma ^{lambda }{}_{mu sigma }}

(ver también la lista de fórmulas en geometría Riemanniana).

El tensor de curvatura Riemann es también el conmutador del derivado covariante de un covector arbitrario ${displaystyle A_{nu }}$ con sí mismo:

{displaystyle A_{nu;rho sigma }-A_{nu;sigma rho }=A_{beta }R^{beta }{}_{nu rho sigma },}

desde la conexión ${displaystyle Gamma ^{alpha }{}_{beta mu }}$ es sin torsión, lo que significa que el tensor de la torsión ${displaystyle Gamma ^{lambda }{}_{mu nu }-Gamma ^{lambda }{}_{nu mu }}$ desaparece.

Esta fórmula se llama a menudo Identidad de Ricci. Este es el método clásico utilizado por Ricci y Levi-Civita para obtener una expresión para el tensor de curvatura Riemann. De esta manera, el carácter tensor del conjunto de cantidades ${displaystyle R^{beta }{}_{nu rho sigma }}$ está probado.

Esta identidad se puede generalizar para obtener los conmutadores de dos derivadas covariantes de tensores arbitrarios de la siguiente manera

{displaystyle {begin{aligned}&nabla _{delta }nabla _{gamma }T^{alpha _{1}cdots alpha _{r}}{}_{beta _{1}cdots beta _{s}}-nabla _{gamma }nabla _{delta }T^{alpha _{1}cdots alpha _{r}}{}_{beta _{1}cdots beta _{s}}\[3pt]={}&R^{alpha _{1}}{}_{rho delta gamma }T^{rho alpha _{2}cdots alpha _{r}}{}_{beta _{1}cdots beta _{s}}+ldots +R^{alpha _{r}}{}_{rho delta gamma }T^{alpha _{1}cdots alpha _{r-1}rho }{}_{beta _{1}cdots beta _{s}}-R^{sigma }{}_{beta _{1}delta gamma }T^{alpha _{1}cdots alpha _{r}}{}_{sigma beta _{2}cdots beta _{s}}-ldots -R^{sigma }{}_{beta _{s}delta gamma }T^{alpha _{1}cdots alpha _{r}}{}_{beta _{1}cdots beta _{s-1}sigma }end{aligned}}}

Esta fórmula también se aplica a densidades de tensores sin alteración, porque para la conexión Levi-Civita (no genérica) se obtiene:

{displaystyle nabla _{mu }left({sqrt {g}}right)equiv left({sqrt {g}}right)_{;mu }=0,}

dónde

{displaystyle g=left|det left(g_{mu nu }right)right|.}

A veces es conveniente definir también la versión puramente covariante mediante

{displaystyle R_{rho sigma mu nu }=g_{rho zeta }R^{zeta }{}_{sigma mu nu }.}

Simetrías e identidades

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes simetrías e identidades:

Simetría de Skew	${displaystyle R(u,v)=-R(v,u)}$	${displaystyle R_{abcd}=-R_{abdc}Leftrightarrow R_{ab(cd)}=0}$
Simetría de Skew	${displaystyle langle R(u,v)w,zrangle =-langle R(u,v)z,wrangle }$	${displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}Leftrightarrow R_{(ab)cd}=0}$
Primero (algebraico) Bianchi identity	${displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0}$	${displaystyle R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0Leftrightarrow R_{a[bcd]}=0}$
Simetría de intercambio	${displaystyle langle R(u,v)w,zrangle =langle R(w,z)u,vrangle }$	${displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}}$
II (diferencial) Identidad Bianchi	${displaystyle left(nabla _{u}Rright)(v,w)+left(nabla _{v}Rright)(w,u)+left(nabla _{w}Rright)(u,v)=0}$	${displaystyle R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0Leftrightarrow R_{ab[cd;e]}=0}$

donde el soporte $langlerangle$ se refiere al producto interno en el espacio tangente inducido por el tensor métrico y los corchetes y paréntesis de los índices denotan los operadores de antisymmetrización y simmetrización, respectivamente. Si hay torsión no cero, las identidades Bianchi involucran al tensor de la torsión.

La primera identidad (algebraica) de Bianchi fue descubierta por Ricci, pero a menudo se la llama primera identidad de Bianchi o identidad algebraica de Bianchi, porque se parece a la diferencial de Bianchi identidad.

Las tres primeras identidades forman una lista completa de simetrías del tensor de curvatura, es decir, dado cualquier tensor que satisface las identidades anteriores, se puede encontrar un manifold Riemanniano con un tensor de curvatura en algún momento. Cálculos simples muestran que tal tensor tiene ${displaystyle n^{2}left(n^{2}-1right)/12}$ componentes independientes. La simetría de intercambio sigue de éstos. Las simetrías algebraicas también equivalen a decir que R pertenece a la imagen de la Simetradora Joven correspondiente a la partición 2+2.

En un manifold Riemanniano tiene el derivado covariante $nabla_u R$ y la identidad Bianchi (a menudo llamada la segunda identidad Bianchi o identidad diferencial Bianchi) toma la forma de la última identidad en la tabla.

Curvatura de Ricci

El tensor de curvatura de Ricci es la contracción del primer y tercer índice del tensor de Riemann.

{displaystyle underbrace {R_{ab}} _{text{Ricci}}equiv underbrace {R^{c}{}_{acb}} _{text{Riemann}}=g^{cd}underbrace {R_{cadb}} _{text{Riemann}}}

Casos especiales

Superficies

Para una superficie bidimensional, las identidades de Bianchi implican que el tensor de Riemann tiene solo un componente independiente, lo que significa que el escalar de Ricci determina completamente el tensor de Riemann. Solo hay una expresión válida para el tensor de Riemann que se ajusta a las simetrías requeridas:

{displaystyle R_{abcd}=f(R)left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}right)}

y contrayendo dos veces la métrica encontramos la forma explícita:

{displaystyle R_{abcd}=Kleft(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}right),}

Donde $g_{ab}$ es el tensor métrico y ${displaystyle K=R/2}$ es una función llamada la curvatura Gausiana y a, b, c y d tomar los valores 1 o 2. El tensor Riemann tiene sólo un componente funcionalmente independiente. La curvatura gaussiana coincide con la curvatura seccional de la superficie. También es exactamente la mitad de la curvatura del cuero cabelludo del doble, mientras que el tensor de curvatura Ricci de la superficie se da simplemente por

{displaystyle R_{ab}=Kg_{ab}.}

Formas espaciales

Una variedad de Riemann es una forma espacial si su curvatura seccional es igual a una constante K. El tensor de Riemann de una forma espacial viene dado por

{displaystyle R_{abcd}=Kleft(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}right).}

Por el contrario, excepto en la dimensión 2, si la curvatura de una variedad de Riemann tiene esta forma para alguna función K, entonces las identidades de Bianchi implican que K es constante y por lo tanto que la variedad es (localmente) una forma espacial.

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