Tensor antisimétrico

En matemáticas y física teórica, un tensor es antisimétrico (o con respecto a) un subconjunto de índices si alterna el signo (+ /-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto. El subconjunto de índice generalmente debe ser todo covariante o todo contravariante.

Por ejemplo,

$${displaystyle T_{ijkdots }=-T_{jikdots }=T_{jkidots }=-T_{kjidots }=T_{kijdots }=-T_{ikjdots$$

Si un tensor cambia firma bajo cambio de cada uno par de sus índices, entonces el tensor es completamente (o Totalmente) antisimétrico. Un campo covariante completamente antisimétrico de orden ${displaystyle k}$ puede ser referido como diferencial ${displaystyle k}$-forme, y un campo de tensor contravariante completamente antisimétrico puede ser referido como un ${displaystyle k}$-vector campo.

Tensores antisimétricos y simétricos

Un tensor A que es antisimétrico en índices ${displaystyle i}$ y ${displaystyle j}$ tiene la propiedad que la contracción con un tensor B que es simétrico en índices ${displaystyle i}$ y ${displaystyle j}$ es idéntico 0.

Para un tensor general U con componentes ${displaystyle U_{ijkdots}$ y un par de índices ${displaystyle i}$ y ${displaystyle j,}$ U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:

${displaystyle U_{(ij)kdots }={frac {1}{2}(U_{ijkdots - ¿Qué?$		(parte simétrica)
${displaystyle U_{[ij]kdots }={frac {1}{2}(U_{ijkdots ¿Qué?$		(parte antisimétrica).

Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y parte antisimétrica para un par determinado de índices, como en

$${displaystyle U_{ijkdots }=U_{(ij)kdots }$$

Notación

Una notación abreviada para antisimetrización se indica mediante un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M,

$${displaystyle M_{[ab]={frac {1}{2} {M_{ab}-M_{ba}}$$

$${displaystyle T_{[abc]}={frac {1}{3}} (T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

En cualquier dimensión 2 y 3, estas se pueden escribir como

$${displaystyle {begin{aligned}M_{[ab] {1}{2}},delta _{ab} {cd}M_{cd},[2pt]T_{[abc]} limit={frac {1}{3}},delta _{abc} {def}T_{def}end{aligned}}}$$

${displaystyle delta _{abdots }{cddots }$

Más generalmente, independientemente del número de dimensiones, la antisymmetrización sobre ${displaystyle p}$ los índices pueden expresarse como

$${displaystyle T_{[a_{1}dots A_{p}={frac {1} {p}}delta ###{a_{1}dots a_{p} {b_{1}dots #### - Sí.$$

En general, cada tensor de rango 2 se puede descomponer en un par simétrico y antisimétrico como:

$${displaystyle T_{ij}={frac {1}{2}(T_{ij}+T_{ji})+{frac {1}{2}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

Esta descomposición no es cierta en general para tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.

Ejemplos

Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:

• Trivialmente, todos los escalares y vectores (tensores de orden 0 y 1) son totalmente antisimétricos (así como ser totalmente simétricos).
• El tensor electromagnético, ${displaystyle F_{munu}}$ en electromagnetismo.
• El volumen Riemanniano se forma en un manifold pseudo-Riemanniano.