Tensión del cilindro

En mecánica, una tensión de cilindro es una distribución de tensión con simetría rotacional; es decir, que permanece sin cambios si el objeto estresado gira alrededor de algún eje fijo.

Los patrones de tensión del cilindro incluyen:

• estrés circunferencialo estrés de aro, un estrés normal en la dirección tangencial (azimut).
• estrés axial, un estrés normal paralelo al eje de la simetría cilíndrica.
• estrés radial, un estrés normal en las direcciones coplanar con pero perpendicular al eje de la simetría.

Estas tres tensiones principales: circunferencial, longitudinal y radial se pueden calcular analíticamente utilizando un sistema de tensiones triaxiales mutuamente perpendiculares.

El ejemplo clásico (y homónimo) de tensión circular es la tensión aplicada a las bandas de hierro, o aros, de un barril de madera. En una tubería recta y cerrada, cualquier fuerza aplicada a la pared del tubo cilíndrico por un diferencial de presión dará lugar en última instancia a tensiones circulares. De manera similar, si esta tubería tiene tapas de extremo planas, cualquier fuerza que se les aplique mediante presión estática inducirá una esfuerzo axial perpendicular en la misma pared de la tubería. Las secciones delgadas a menudo tienen esfuerzos radiales insignificantes, pero los modelos precisos de carcasas cilíndricas de paredes más gruesas requieren que se consideren tales esfuerzos.

En recipientes a presión de paredes gruesas, se pueden utilizar técnicas de construcción que permitan patrones de tensión iniciales favorables. Estas tensiones de compresión en la superficie interior reducen la tensión circular general en cilindros presurizados. Los recipientes cilíndricos de esta naturaleza generalmente se construyen a partir de cilindros concéntricos contraídos (o expandidos) uno sobre el otro, es decir, cilindros ensamblados por ajuste por contracción, pero también se pueden fabricar en cilindros singulares mediante autofrettage de cilindros gruesos.

Definiciones

Tensión del aro

La tensión circular es la fuerza sobre un área ejercida circunferencialmente (perpendicular al eje y al radio del objeto) en ambas direcciones sobre cada partícula en la pared del cilindro. Se puede describir como:

σ σ Silencio Silencio =Ftl {displaystyle sigma _{theta - Sí.

donde:

• F es la fuerza ejercida circunferencialmente en una zona de la pared del cilindro que tiene las siguientes dos longitudes como lados:
• t es el espesor radial del cilindro
• l es la longitud axial del cilindro.

Una alternativa a la tensión de aro para describir la tensión circunferencial es la tensión de pared o la tensión de pared (T), que generalmente se define como la fuerza circunferencial total ejercida a lo largo de todo el espesor radial:

T=Fl {displaystyle T={dfrac .

Junto con el estrés axial y estrés radial, el estrés circunferencial es un componente del tensor de estrés en coordenadas cilíndricas.

Por lo general es útil descomponer cualquier fuerza aplicada a un objeto con simetría rotacional en componentes paralelos a las coordenadas cilíndricas r, z, y Silencio. Estos componentes de fuerza inducen tensiones correspondientes: estrés radial, estrés axial y estrés aromático, respectivamente.

Relación con la presión interna

Hipótesis de paredes gruesas

Para que la suposición de paredes delgadas sea válida, el recipiente debe tener un grosor de pared de no más de una décima parte (a menudo citado como Diámetro / t > 20) de su radio. Esto permite tratar la pared como una superficie, y posteriormente utilizar la ecuación Young-Laplace para estimar el estrés del aro creado por una presión interna en un recipiente de presión cilíndrica de paredes delgadas:

σ σ Silencio Silencio =Prt {displaystyle sigma _{theta }={dfrac {Pr} { t}f} (para un cilindro)

σ σ Silencio Silencio =Pr2t {displaystyle sigma _{theta - Sí. (para una esfera)

dónde

• P es la presión interna
• t es el espesor de la pared
• r es el radio promedio del cilindro
• σ σ Silencio Silencio {displaystyle sigma _{theta ¡Oh! es el estrés del aro.

La ecuación de estrés de aro para capas finas también es aproximadamente válida para los vasos esféricos, incluyendo células vegetales y bacterias en las que la presión de turgor interno puede llegar a varias atmósferas. En aplicaciones de ingeniería práctica para cilindros (pipes y tubos), el estrés de aro se reorganiza a menudo para la presión, y se llama fórmula de Barlow.

Unidades de sistema Inch-pound-second (IPS) P son fuerza de libras por pulgada cuadrada (psi). Unidades para t, y d son pulgadas (en). Unidades SI P son pascals (Pa), mientras t y d=2r están en metros (m).

Cuando el recipiente tiene extremos cerrados, la presión interna actúa sobre ellos para desarrollar una fuerza a lo largo del eje del cilindro. Esto se conoce como tensión axial y suele ser menor que la tensión circunferencial.

σ σ z=FA=Pd2()d+2t)2− − d2 {displaystyle sigma ¿Qué? {F}}={dfrac [Pd^{2}{(d+2t)} {2} }

Aunque esto puede aproximarse a

σ σ z=Pr2t {displaystyle sigma ¿Qué? {Pr}{2t}f}

También hay un estrés radial σ σ r {displaystyle sigma _{r}} que se desarrolla perpendicular a la superficie y se puede estimar en cilindros de paredes delgadas como:

σ σ r=− − P {displaystyle sigma ¿Qué?

En la suposición cortada delgada la relación rt {displaystyle {dfrac {} {fn}}} } es grande, por lo que en la mayoría de los casos este componente se considera insignificante en comparación con el aro y las tensiones axiales.

Vasos de paredes gruesas

Cuando el cilindro a estudiar tiene un radio/espesor{displaystyle {text{radius}/{text{thickness}} ratio de menos de 10 (a menudo citado como <math alttext="{displaystyle {text{diameter}}/{text{thickness}}diámetro/espesorc)20{displaystyle {text{diameter}/{text{thickness}traducidos}}<img alt="{displaystyle {text{diameter}}/{text{thickness}}) las ecuaciones de cilindro de paredes delgadas ya no se sostienen, ya que las tensiones varían significativamente entre superficies internas y externas y el estrés de corte a través de la sección de la cruz ya no se puede descuidar.

Estas tensiones y deformaciones se pueden calcular utilizando las ecuaciones de Lamé, un conjunto de ecuaciones desarrolladas por el matemático francés Gabriel Lamé.

σ σ r=A− − Br2 {displaystyle sigma ¿Qué?

σ σ Silencio Silencio =A+Br2 {displaystyle sigma _{theta - Sí.

donde:

A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son constantes de integración, que pueden encontrarse desde las condiciones de los límites,

r{displaystyle r} es el radio en el punto de interés (por ejemplo, en las paredes interiores o exteriores).

Para cilindros con condiciones de contorno:

p()r=a)=Pa{displaystyle p(r=a)=P_{a} (es decir, presión interna Pa{displaystyle P_{a} en la superficie interna),

p()r=b)=Pb{displaystyle p(r=b)=P_{b} (es decir, presión externa Pb{displaystyle P_{b} en la superficie exterior),

Se obtienen las siguientes constantes:

A=Paa2− − Pbb2b2− − a2 {displaystyle A={dfrac {fn} {fn} {f}}}}} },

B=a2b2()Pa− − Pb)b2− − a2 {displaystyle B={2}(P_{b})}{b^{2}.

Usando estas constantes, se obtiene la siguiente ecuación para la tensión circunferencial:

σ σ Silencio Silencio =Paa2− − Pbb2b2− − a2+a2b2()Pa− − Pb)()b2− − a2)r2 {displaystyle sigma _{theta }={dfrac {fn} {f}}}+{dfrac} {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}} }

Para un cilindro sólido: Ri=0{displaystyle R_{i}=0} entonces B=0{displaystyle B=0} y un cilindro sólido no puede tener una presión interna así A=Po{displaystyle A=P_{o}.

Siendo eso para cilindros de paredes gruesas, la relación rt {displaystyle {dfrac {} {fn}}} } es menos de 10, el estrés radial, en proporción a las otras tensiones, se vuelve no insignificante (es decir, P ya no es mucho, mucho menos que Pr/t y Pr/2t), y por lo tanto el espesor de la pared se convierte en una consideración importante para el diseño (Harvey, 1974, pp. 57).

En la teoría del vaso de presión, cualquier elemento dado de la pared se evalúa en un sistema de estrés triaxial, con las tres principales tensiones siendo el aro, longitudinal y radial. Por lo tanto, por definición, no existen tensiones en los planos transversal, tangencial o radial.

En cilindros de paredes gruesas, el esfuerzo cortante máximo en cualquier punto viene dado por la mitad de la diferencia algebraica entre los esfuerzos máximo y mínimo, que es, por lo tanto, igual a la mitad de la diferencia entre los esfuerzos circulares y radiales. El esfuerzo cortante alcanza un máximo en la superficie interior, lo cual es significativo porque sirve como criterio de falla ya que se correlaciona bien con las pruebas de ruptura reales de cilindros gruesos (Harvey, 1974, p. 57).

Efectos prácticos

Ingeniería

La fractura se rige por el estrés del aro en ausencia de otras cargas externas, ya que es el mayor estrés principal. Tenga en cuenta que un aro experimenta el mayor estrés en su interior (la experiencia exterior y interior de la misma cepa total, que se distribuye en diferentes circunferencias); por lo tanto, las grietas en tuberías deben comenzar teóricamente desde dentro la tubería. Es por eso que las inspecciones de tuberías después de terremotos suelen implicar enviar una cámara dentro de una tubería para inspeccionar las grietas. El rendimiento se rige por un estrés equivalente que incluye el estrés del aro y el estrés longitudinal o radial cuando no existe.

Medicina

En la patología de las paredes vasculares o gastrointestinales, la tensión mural representa la tensión muscular en la pared del vaso. Como resultado de la ley de Laplace, si se forma un aneurisma en la pared de un vaso sanguíneo, el radio del vaso aumenta. Esto significa que la fuerza hacia adentro sobre el vaso disminuye y, por lo tanto, el aneurisma continuará expandiéndose hasta que se rompa. Una lógica similar se aplica a la formación de divertículos en el intestino.

Desarrollo de la teoría

El primer análisis teórico de la tensión en cilindros fue desarrollado por el ingeniero William Fairbairn de mediados del siglo XIX, asistido por su analista matemático Eaton Hodgkinson. Su primer interés fue estudiar el diseño y fallos de las calderas de vapor. Fairbairn se dio cuenta de que la tensión circular era el doble de la tensión longitudinal, un factor importante en el ensamblaje de carcasas de calderas a partir de láminas laminadas unidas mediante remachados. Los trabajos posteriores se aplicaron a la construcción de puentes y a la invención de la viga cajón. En el puente ferroviario de Chepstow, los pilares de hierro fundido están reforzados por bandas externas de hierro forjado. La fuerza vertical y longitudinal es una fuerza de compresión que el hierro fundido puede resistir bien. La tensión circular es de tracción, por lo que se añade hierro forjado, un material con mejor resistencia a la tracción que el hierro fundido.