Tasa marginal de sustitución

En economía, la tasa marginal de sustitución (TMS) es la tasa a la que un consumidor puede renunciar a una cantidad de un bien a cambio de otro bien manteniendo el mismo nivel de utilidad. En niveles de consumo de equilibrio (suponiendo que no haya externalidades), las tasas marginales de sustitución son idénticas. La tasa marginal de sustitución es uno de los tres factores de la productividad marginal, los otros son las tasas marginales de transformación y la productividad marginal de un factor.

Como pendiente de la curva de indiferencia

Bajo el supuesto estándar de la economía neoclásica de que los bienes y servicios son continuamente divisibles, las tasas marginales de sustitución serán las mismas independientemente de la dirección del intercambio y corresponderán a la pendiente de una curva de indiferencia (más precisamente, a la pendiente de una curva de indiferencia). pendiente multiplicada por −1) que pasa por la cesta de consumo en cuestión, en ese punto: matemáticamente, es la derivada implícita. MRS de X por Y es la cantidad de Y que un consumidor puede cambiar por una unidad de X localmente. La TMS es diferente en cada punto de la curva de indiferencia, por lo que es importante mantener el lugar geométrico en la definición. Más adelante en este supuesto, o en el supuesto de que la utilidad esté cuantificada, la tasa marginal de sustitución del bien o servicio X por el bien o servicio Y (TMS_xy) también es equivalente a la utilidad marginal de X. sobre la utilidad marginal de Y. Formalmente,

MRSxSí.=− − mindif=− − ()dSí./dx){displaystyle MRS_{xy}=-m_{mathrm {indif} }=-(dis/dx),}

MRSxSí.=MUx/MUSí.{displaystyle MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y},}

Es importante señalar que al comparar paquetes de bienes X e Y que dan una utilidad constante (puntos a lo largo de una curva de indiferencia), la utilidad marginal de X se mide en términos de unidades de Y que se renuncian.

Por ejemplo, si la TMS_xy = 2, el consumidor renunciará a 2 unidades de Y para obtener 1 unidad adicional de X.

A medida que uno desciende por una curva de indiferencia (normalmente convexa), la tasa marginal de sustitución disminuye (medida por el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia, que disminuye). Esto se conoce como ley de la tasa marginal de sustitución decreciente.

Dado que la curva de indiferencia es convexa con respecto al origen y hemos definido la TMS como la pendiente negativa de la curva de indiferencia,

MRSxSí.≥ ≥ 0{displaystyle MRS_{xy}geq 0}

Análisis matemático sencillo

Asumir la función de utilidad del consumidor se define por U()x,Sí.){displaystyle U(x,y)}, donde U es la utilidad del consumidor, x y Sí. son mercancías. A continuación, la tasa marginal de sustitución se puede calcular mediante la diferenciación parcial, como sigue.

Además, tenga en cuenta que:

MUx=∂ ∂ U/∂ ∂ x{displaystyle MU_{x}=partial U/partial x}

MUSí.=∂ ∂ U/∂ ∂ Sí.{displaystyle {fn}=partial U/partial y}

Donde MUx{displaystyle {fnK} es la utilidad marginal con respecto al bien x y MUSí.{displaystyle MU_{y} es la utilidad marginal con respecto al bien Sí..

Al tomar el diferencial total de la ecuación de la función de utilidad, obtenemos los siguientes resultados:

dU=()∂ ∂ U/∂ ∂ x)dx+()∂ ∂ U/∂ ∂ Sí.)dSí.{displaystyle dU=(partial U/partial x)dx+(partial U/partial y)y}, o sustitución desde arriba,

dU=MUxdx+MUSí.dSí.{displaystyle ¿Qué?, o, sin pérdida de generalidad, el derivado total de la función de utilidad con respecto al bien x,

dUdx=MUxdxdx+MUSí.dSí.dx{displaystyle {frac {fnK}=MU_{x}{frac} {fnMicroc} {f}}} {fnK}} {f}}}} {fnK}} {fnK}} {f}}fnK}} {f}fnKfnK}}}}f}}}f}}f}}}f}f}f}f}f}fnKfnKfnKfnKfnKf}fnKfnKfnKfnKf}fnKf}}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}fnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}}}}}}}}}}}} {dx}{dx}+MU_{y}{frac {y} {dx}}, es decir,

dUdx=MUx+MUSí.dSí.dx{displaystyle {frac {dU}=MU_{x}+MU_{y}{y}{frac} {f} {f} {fnK}}} {fnK}}}}} {fnK}} {f}}}}f}}}} {f}fnKf}f}}}f}}}}}f}}}f}}}}f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnKf}f}f}f}f}f}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}fnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}}}}}}}}}}} {y} {dx}}.

A través de cualquier punto de la curva de indiferencia, dU/dx = 0, porque U = c, donde c es una constante. De la ecuación anterior se deduce que:

0=MUx+MUSí.dSí.dx{displaystyle # 0=MU_{x}+MU_{y}{y}{frac {y} {dx}}, o reorganización

− − dSí.dx=MUxMUSí.{displaystyle - {frac {y} {dx}={frac} {MU_{x} {MU_{y}}}

La tasa marginal de sustitución se define como el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia en cualquier paquete de bienes que sean de interés. Esto resulta igual a la relación de las utilidades marginales:

MRSxSí.=MUx/MUSí.{displaystyle ¿Qué?.

Cuando los consumidores maximizan la utilidad con respecto a una restricción presupuestaria, la curva de indiferencia es tangente a la recta presupuestaria, por lo tanto, donde m representa la pendiente:

mindif=mbudget{displaystyle m_{mathrm {indif} - Sí.

− − ()MRSxSí.)=− − ()Px/PSí.){displaystyle -(MRS_{xy})=- P_{x}/P_{y}}

MRSxSí.=Px/PSí.{displaystyle MRS_{xy}=P_{x}/P_{y}

Por lo tanto, cuando el consumidor elige su canasta de mercado maximizada de utilidad en su línea presupuestaria,

MUx/MUSí.=Px/PSí.{displaystyle {fnK} {fnK}fnK}}

MUx/Px=MUSí./PSí.{displaystyle {fnK}/P_{x}=MU_{y}/P_{y}

Este importante resultado nos dice que la utilidad se maximiza cuando el presupuesto del consumidor se asigna de modo que la utilidad marginal por unidad de dinero gastado sea igual para cada bien. Si esta igualdad no se cumpliera, el consumidor podría aumentar su utilidad recortando el gasto en el bien con menor utilidad marginal por unidad de dinero y aumentando el gasto en el otro bien. Para disminuir la tasa marginal de sustitución, el consumidor debe comprar más del bien por el cual desea que caiga la utilidad marginal (debido a la ley de la utilidad marginal decreciente).

Tasa marginal de sustitución decreciente

Un principio importante de la teoría económica es que la tasa marginal de sustitución de X por Y disminuye a medida que se sustituye más y más cantidad del bien X por el bien Y. En otras palabras, a medida que el consumidor tiene más y más cantidad del bien X, dispuesto a renunciar cada vez menos al bien Y.

Significa que a medida que el stock de X del consumidor aumenta y su stock de Y disminuye, está dispuesto a renunciar a cada vez menos de Y para un incremento dado en X. En otras palabras, la tasa marginal de sustitución de X por Y disminuye a medida que el consumidor tiene más de X y menos de Y. También se puede saber que la tasa marginal de sustitución de X por Y disminuye trazando tangentes en diferentes puntos de una curva de indiferencia.

Uso de MRS para determinar la convexidad

Al analizar la función de utilidad de los consumidores en términos de determinar si son convexos o no. Para el horizonte de dos bienes podemos aplicar una prueba rápida de derivada (tomar la derivada de MRS) para determinar si las preferencias de nuestros consumidores son convexas. Si la derivada de MRS es negativa, la curva de utilidad sería cóncava hacia abajo, lo que significa que tiene un máximo y luego disminuye a ambos lados del máximo. Esta curva de utilidad puede tener una apariencia similar a la de una n minúscula. Si la derivada de MRS es igual a 0, la curva de utilidad sería lineal y la pendiente permanecería constante a lo largo de la curva de utilidad. Si la derivada de MRS es positiva, la curva de utilidad sería convexa hacia arriba, lo que significa que tiene un mínimo y luego aumenta a ambos lados del mínimo. Esta curva de utilidad puede tener una apariencia similar a la de una u. Estas declaraciones se muestran matemáticamente a continuación.

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dMRSxSí.dx=0Convexidad débil de la función Utilidad{displaystyle {frac {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}}} {f}}} {f}}}=0{text{f} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {{{f}\\\\\f}}\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Weak Convexity of Utility Function}}}

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Para más de dos variables, se requiere el uso de la matriz de Hesse.